삼각법 예제

$2 \cos^{2} (3 x) + 5 \cos (3 x) - 3 < 0$

단계 1

공통인수를 이용하여 인수분해를 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

$a x^{2} + b x + c$ 형태의 다항식에 대해 곱이 $a \cdot c = 2 \cdot - 3 = - 6$ 이고 합이 $b = 5$ 인 두 항의 합으로 중간항을 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.1

$5 \cos (3 x)$ 에서 $5$ 를 인수분해합니다.

$2 \cos^{2} (3 x) + 5 \cos (3 x) - 3 = 0$

단계 1.1.2

$5$ 를 $- 1$ + $6$ 로 다시 씁니다.

$2 \cos^{2} (3 x) + (- 1 + 6) \cos (3 x) - 3 = 0$

단계 1.1.3

분배 법칙을 적용합니다.

$2 \cos^{2} (3 x) - 1 \cos (3 x) + 6 \cos (3 x) - 3 = 0$

단계 1.2

각 그룹에서 최대공약수를 밖으로 뺍니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.1

처음 두 항과 마지막 두 항을 묶습니다.

$2 \cos^{2} (3 x) - 1 \cos (3 x) + 6 \cos (3 x) - 3 = 0$

단계 1.2.2

각 그룹에서 최대공약수를 밖으로 뺍니다.

$\cos (3 x) (2 \cos (3 x) - 1) + 3 (2 \cos (3 x) - 1) = 0$

단계 1.3

최대공약수 $2 \cos (3 x) - 1$ 을 밖으로 빼어 다항식을 인수분해합니다.

$(2 \cos (3 x) - 1) (\cos (3 x) + 3) = 0$

단계 2

방정식 좌변의 한 인수가 $0$ 이면 전체 식은 $0$ 이 됩니다.

$2 \cos (3 x) - 1 = 0$

$\cos (3 x) + 3 = 0$

단계 3

$2 \cos (3 x) - 1$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

$2 \cos (3 x) - 1$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$2 \cos (3 x) - 1 = 0$

단계 3.2

$2 \cos (3 x) - 1 = 0$ 을 $x$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1

방정식의 양변에 $1$ 를 더합니다.

$2 \cos (3 x) = 1$

단계 3.2.2

$2 \cos (3 x) = 1$ 의 각 항을 $2$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.2.1

$2 \cos (3 x) = 1$ 의 각 항을 $2$ 로 나눕니다.

$\frac{2 \cos (3 x)}{2} = \frac{1}{2}$

단계 3.2.2.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.2.2.1

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.2.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{2 \cos (3 x)}{2} = \frac{1}{2}$

단계 3.2.2.2.1.2

$\cos (3 x)$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$\cos (3 x) = \frac{1}{2}$

단계 3.2.3

코사인 안의 $x$ 를 꺼내기 위해 방정식 양변에 코사인의 역을 취합니다.

$3 x = \arccos (\frac{1}{2})$

단계 3.2.4

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.4.1

$\arccos (\frac{1}{2})$ 의 정확한 값은 $\frac{π}{3}$ 입니다.

$3 x = \frac{π}{3}$

단계 3.2.5

$3 x = \frac{π}{3}$ 의 각 항을 $3$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.5.1

$3 x = \frac{π}{3}$ 의 각 항을 $3$ 로 나눕니다.

$\frac{3 x}{3} = \frac{\frac{π}{3}}{3}$

단계 3.2.5.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.5.2.1

$3$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.5.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{3 x}{3} = \frac{\frac{π}{3}}{3}$

단계 3.2.5.2.1.2

$x$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$x = \frac{\frac{π}{3}}{3}$

단계 3.2.5.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.5.3.1

분자에 분모의 역수를 곱합니다.

$x = \frac{π}{3} \cdot \frac{1}{3}$

단계 3.2.5.3.2

$\frac{π}{3} \cdot \frac{1}{3}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.5.3.2.1

$\frac{π}{3}$ 에 $\frac{1}{3}$ 을 곱합니다.

$x = \frac{π}{3 \cdot 3}$

단계 3.2.5.3.2.2

$3$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$x = \frac{π}{9}$

단계 3.2.6

코사인 함수는 제1사분면과 제4사분면에서 양의 값을 가집니다. 두 번째 해를 구하려면 $2 π$ 에서 기준각을 빼어 제4사분면에 있는 해를 구합니다.

$3 x = 2 π - \frac{π}{3}$

단계 3.2.7

$x$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.7.1

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.7.1.1

공통 분모를 가지는 분수로 $2 π$ 을 표현하기 위해 $\frac{3}{3}$ 을 곱합니다.

$3 x = 2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

단계 3.2.7.1.2

$2 π$ 와 $\frac{3}{3}$ 을 묶습니다.

$3 x = \frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3}$

단계 3.2.7.1.3

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$3 x = \frac{2 π \cdot 3 - π}{3}$

단계 3.2.7.1.4

$3$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$3 x = \frac{6 π - π}{3}$

단계 3.2.7.1.5

$6 π$ 에서 $π$ 을 뺍니다.

$3 x = \frac{5 π}{3}$

단계 3.2.7.2

$3 x = \frac{5 π}{3}$ 의 각 항을 $3$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.7.2.1

$3 x = \frac{5 π}{3}$ 의 각 항을 $3$ 로 나눕니다.

$\frac{3 x}{3} = \frac{\frac{5 π}{3}}{3}$

단계 3.2.7.2.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.7.2.2.1

$3$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.7.2.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{3 x}{3} = \frac{\frac{5 π}{3}}{3}$

단계 3.2.7.2.2.1.2

$x$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$x = \frac{\frac{5 π}{3}}{3}$

단계 3.2.7.2.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.7.2.3.1

분자에 분모의 역수를 곱합니다.

$x = \frac{5 π}{3} \cdot \frac{1}{3}$

단계 3.2.7.2.3.2

$\frac{5 π}{3} \cdot \frac{1}{3}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.7.2.3.2.1

$\frac{5 π}{3}$ 에 $\frac{1}{3}$ 을 곱합니다.

$x = \frac{5 π}{3 \cdot 3}$

단계 3.2.7.2.3.2.2

$3$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$x = \frac{5 π}{9}$

단계 3.2.8

$\cos (3 x)$ 주기를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.8.1

함수의 주기는 $\frac{2 π}{| b |}$ 를 이용하여 구할 수 있습니다.

$\frac{2 π}{| b |}$

단계 3.2.8.2

주기 공식에서 $b$ 에 $3$ 을 대입합니다.

$\frac{2 π}{| 3 |}$

단계 3.2.8.3

절댓값은 숫자와 0 사이의 거리를 말합니다. $0$ 과 $3$ 사이의 거리는 $3$ 입니다.

$\frac{2 π}{3}$

단계 3.2.9

함수 $\cos (3 x)$ 의 주기는 $\frac{2 π}{3}$ 이므로 양 방향으로 $\frac{2 π}{3}$ 라디안마다 값이 반복됩니다.

임의의 정수 $n$ 에 대해 $x = \frac{π}{9} + \frac{2 π n}{3}, \frac{5 π}{9} + \frac{2 π n}{3}$

단계 4

$\cos (3 x) + 3$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

$\cos (3 x) + 3$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$\cos (3 x) + 3 = 0$

단계 4.2

$\cos (3 x) + 3 = 0$ 을 $x$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.1

방정식의 양변에서 $3$ 를 뺍니다.

$\cos (3 x) = - 3$

단계 4.2.2

코사인의 치역은 $- 1 \leq y \leq 1$ 입니다. $- 3$ 가 이 영역에 속하지 않으므로 해는 존재하지 않습니다.

해 없음

단계 5

$(2 \cos (3 x) - 1) (\cos (3 x) + 3) = 0$ 을 참으로 만드는 모든 값이 최종 해가 됩니다.

임의의 정수 $n$ 에 대해 $x = \frac{π}{9} + \frac{2 π n}{3}, \frac{5 π}{9} + \frac{2 π n}{3}$

단계 6

각 근을 사용하여 시험 구간을 만듭니다.

$\frac{π}{9} < x < \frac{5 π}{9}$

$\frac{5 π}{9} < x < \frac{7 π}{9}$

$\frac{7 π}{9} < x < \frac{11 π}{9}$

단계 7

각 구간에서 실험값을 선택하고 이를 원래의 부등식에 대입하여 어느 구간이 부등식을 만족하는지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1

$\frac{π}{9} < x < \frac{5 π}{9}$ 구간에서 하나의 값을 시험하여 이 값이 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1.1

$\frac{π}{9} < x < \frac{5 π}{9}$ 구간에서 하나의 값을 선택하고 이 값이 원래의 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

$x = 1$

단계 7.1.2

원래 부등식에서 $x$ 를 $1$ 로 치환합니다.

$2 \cos^{2} (3 (1)) + 5 \cos (3 (1)) - 3 < 0$

단계 7.1.3

좌변 $- 5.98979219$ 이 우변 $0$ 보다 작으므로 주어진 명제는 항상 참입니다.

True

단계 7.2

$\frac{5 π}{9} < x < \frac{7 π}{9}$ 구간에서 하나의 값을 시험하여 이 값이 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.1

$\frac{5 π}{9} < x < \frac{7 π}{9}$ 구간에서 하나의 값을 선택하고 이 값이 원래의 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

$x = 2$

단계 7.2.2

원래 부등식에서 $x$ 를 $2$ 로 치환합니다.

$2 \cos^{2} (3 (2)) + 5 \cos (3 (2)) - 3 < 0$

단계 7.2.3

좌변 $3.64470539$ 이 우변 $0$ 보다 작지 않으므로 주어진 명제는 거짓입니다.

False

단계 7.3

$\frac{7 π}{9} < x < \frac{11 π}{9}$ 구간에서 하나의 값을 시험하여 이 값이 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.3.1

$\frac{7 π}{9} < x < \frac{11 π}{9}$ 구간에서 하나의 값을 선택하고 이 값이 원래의 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

$x = 3$

단계 7.3.2

원래 부등식에서 $x$ 를 $3$ 로 치환합니다.

$2 \cos^{2} (3 (3)) + 5 \cos (3 (3)) - 3 < 0$

단계 7.3.3

좌변 $- 5.8953346$ 이 우변 $0$ 보다 작으므로 주어진 명제는 항상 참입니다.

True

단계 7.4

구간을 비교하여 원래의 부등식을 만족하는 구간을 찾습니다.

$\frac{π}{9} < x < \frac{5 π}{9}$ 참

$\frac{5 π}{9} < x < \frac{7 π}{9}$ 거짓

$\frac{7 π}{9} < x < \frac{11 π}{9}$ 참

$\frac{π}{9} < x < \frac{5 π}{9}$ 참

$\frac{5 π}{9} < x < \frac{7 π}{9}$ 거짓

$\frac{7 π}{9} < x < \frac{11 π}{9}$ 참

단계 8

해는 모두 참인 구간으로 이루어져 있습니다.

임의의 정수 $n$ 에 대한 $\frac{π}{9} + \frac{2 π n}{3} < x < \frac{5 π}{9} + \frac{2 π n}{3}$ 또는 $\frac{7 π}{9} + \frac{2 π n}{3} < x < \frac{11 π}{9} + \frac{2 π n}{3}$

단계 9