삼각법 예제

$\frac{16}{y + 2} - \frac{7 y}{y^{2} - 7}$

단계 1

식 $\frac{9 y^{2} - 14 y - 112}{(y + 2) (y^{2} - 7)}$ 가 정의되지 않는 구간을 찾습니다.

$y = - \sqrt{7}, y = - 2, y = \sqrt{7}$

단계 2

왼쪽에서 $\frac{9 y^{2} - 14 y - 112}{(y + 2) (y^{2} - 7)}$ $\to$ $\infty$ 이(가) $y$ $\to$ $- \sqrt{7}$ 이고, 오른쪽에서 $\frac{9 y^{2} - 14 y - 112}{(y + 2) (y^{2} - 7)}$ $\to$ $- \infty$ 이(가) $y$ $\to$ $- \sqrt{7}$ 이므로 $y = - \sqrt{7}$ 는 수직점근선입니다.

$y = - \sqrt{7}$

단계 3

왼쪽에서 $\frac{9 y^{2} - 14 y - 112}{(y + 2) (y^{2} - 7)}$ $\to$ $- \infty$ 이(가) $y$ $\to$ $- 2$ 이고, 오른쪽에서 $\frac{9 y^{2} - 14 y - 112}{(y + 2) (y^{2} - 7)}$ $\to$ $\infty$ 이(가) $y$ $\to$ $- 2$ 이므로 $y = - 2$ 는 수직점근선입니다.

$y = - 2$

단계 4

왼쪽에서 $\frac{9 y^{2} - 14 y - 112}{(y + 2) (y^{2} - 7)}$ $\to$ $\infty$ 이(가) $y$ $\to$ $\sqrt{7}$ 이고, 오른쪽에서 $\frac{9 y^{2} - 14 y - 112}{(y + 2) (y^{2} - 7)}$ $\to$ $- \infty$ 이(가) $y$ $\to$ $\sqrt{7}$ 이므로 $y = \sqrt{7}$ 는 수직점근선입니다.

$y = \sqrt{7}$

단계 5

모든 수직점근선을 나열하기:

$y = - \sqrt{7}, - 2, \sqrt{7}$

단계 6

$x = \frac{9 y^{2} - 14 y - 112}{(y + 2) (y^{2} - 7)}$ 은 직선의 방정식이므로 수평점근선이 존재하지 않습니다.

수평점근선 없음

단계 7

다항식의 나눗셈을 이용하여 사선점근선을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1

분모를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1.1

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{9 y^{2} - 14 y - 112}{y^{3} + 2 y^{2} - 7 y - 14}$

단계 7.1.2

각 그룹에서 최대공약수를 밖으로 뺍니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1.2.1

처음 두 항과 마지막 두 항을 묶습니다.

$\frac{9 y^{2} - 14 y - 112}{(y^{3} + 2 y^{2}) - 7 y - 14}$

단계 7.1.2.2

각 그룹에서 최대공약수를 밖으로 뺍니다.

$\frac{9 y^{2} - 14 y - 112}{y^{2} (y + 2) - 7 (y + 2)}$

단계 7.1.3

최대공약수 $y + 2$ 을 밖으로 빼어 다항식을 인수분해합니다.

$\frac{9 y^{2} - 14 y - 112}{(y + 2) (y^{2} - 7)}$

단계 7.2

$(y + 2) (y^{2} - 7)$ 을 전개합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{9 y^{2} - 14 y - 112}{y (y^{2} - 7) + 2 (y^{2} - 7)}$

단계 7.2.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{9 y^{2} - 14 y - 112}{y \cdot y^{2} + y \cdot - 7 + 2 (y^{2} - 7)}$

단계 7.2.3

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{9 y^{2} - 14 y - 112}{y \cdot y^{2} + y \cdot - 7 + 2 y^{2} + 2 \cdot - 7}$

단계 7.2.4

$y$ 와 $- 7$ 을 다시 정렬합니다.

$\frac{9 y^{2} - 14 y - 112}{y \cdot y^{2} - 7 y + 2 y^{2} + 2 \cdot - 7}$

단계 7.2.5

$y$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{9 y^{2} - 14 y - 112}{y \cdot y^{2} - 7 y + 2 y^{2} + 2 \cdot - 7}$

단계 7.2.6

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{9 y^{2} - 14 y - 112}{y^{1 + 2} - 7 y + 2 y^{2} + 2 \cdot - 7}$

단계 7.2.7

$1$ 를 $2$ 에 더합니다.

$\frac{9 y^{2} - 14 y - 112}{y^{3} - 7 y + 2 y^{2} + 2 \cdot - 7}$

단계 7.2.8

$2$ 에 $- 7$ 을 곱합니다.

$\frac{9 y^{2} - 14 y - 112}{y^{3} - 7 y + 2 y^{2} - 14}$

단계 7.2.9

$- 7 y$ 를 옮깁니다.

$\frac{9 y^{2} - 14 y - 112}{y^{3} + 2 y^{2} - 7 y - 14}$

단계 7.3

다항식을 나눗셈 형태로 적습니다. 각 지수에 대하여 항이 없는 경우 값이 $0$ 인 항을 삽입합니다.

$y^{3}$

$2 y^{2}$

$7 y$

$14$

$9 y^{2}$

$14 y$

$112$

단계 7.4

최종 답은 몫에 제수 분의 나머지를 더한 값입니다.

$0 + \frac{y^{3} + 11 y^{2} - 21 y - 126}{y^{3} + 2 y^{2} - 7 y - 14}$

단계 7.5

사선점근선은 긴 나눗셈의 결과에서 다항식 부분입니다.

$y = 0$

단계 8

모든 점근선의 집합입니다.

수직점근선: $y = - \sqrt{7}, - 2, \sqrt{7}$

수평점근선 없음

사선점근선: $y = 0$

단계 9