삼각법 예제

$2 \sin^{2} (x) > 3 \cos (x)$

단계 1

부등식의 양변에서 $3 \cos (x)$ 를 뺍니다.

$2 \sin^{2} (x) - 3 \cos (x) > 0$

단계 2

항등식 $\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) = 1$ 를 사용하여 $2 \sin^{2} (x)$ 를 $2 (1 - \cos^{2} (x))$ 로 바꿉니다.

$2 (1 - \cos^{2} (x)) - 3 \cos (x) = 0$

단계 3

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

분배 법칙을 적용합니다.

$2 \cdot 1 + 2 (- \cos^{2} (x)) - 3 \cos (x) = 0$

단계 3.2

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$2 + 2 (- \cos^{2} (x)) - 3 \cos (x) = 0$

단계 3.3

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$2 - 2 \cos^{2} (x) - 3 \cos (x) = 0$

단계 4

다항식을 다시 정렬합니다.

$- 2 \cos^{2} (x) - 3 \cos (x) + 2 = 0$

단계 5

$\cos (x)$ 에 $u$ 를 대입합니다.

$- 2 {(u)}^{2} - 3 u + 2 = 0$

단계 6

방정식의 좌변을 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1

$- 2 u^{2} - 3 u + 2$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1.1

$- 2 u^{2}$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$- (2 u^{2}) - 3 u + 2 = 0$

단계 6.1.2

$- 3 u$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$- (2 u^{2}) - (3 u) + 2 = 0$

단계 6.1.3

$2$ 을 $- 1 (- 2)$ 로 바꿔 씁니다.

$- (2 u^{2}) - (3 u) - 1 \cdot - 2 = 0$

단계 6.1.4

$- (2 u^{2}) - (3 u)$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$- (2 u^{2} + 3 u) - 1 \cdot - 2 = 0$

단계 6.1.5

$- (2 u^{2} + 3 u) - 1 (- 2)$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$- (2 u^{2} + 3 u - 2) = 0$

단계 6.2

인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.1

공통인수를 이용하여 인수분해를 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.1.1

$a x^{2} + b x + c$ 형태의 다항식에 대해 곱이 $a \cdot c = 2 \cdot - 2 = - 4$ 이고 합이 $b = 3$ 인 두 항의 합으로 중간항을 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.1.1.1

$3 u$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$- (2 u^{2} + 3 u - 2) = 0$

단계 6.2.1.1.2

$3$ 를 $- 1$ + $4$ 로 다시 씁니다.

$- (2 u^{2} + (- 1 + 4) u - 2) = 0$

단계 6.2.1.1.3

분배 법칙을 적용합니다.

$- (2 u^{2} - 1 u + 4 u - 2) = 0$

단계 6.2.1.2

각 그룹에서 최대공약수를 밖으로 뺍니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.1.2.1

처음 두 항과 마지막 두 항을 묶습니다.

$- (2 u^{2} - 1 u + 4 u - 2) = 0$

단계 6.2.1.2.2

각 그룹에서 최대공약수를 밖으로 뺍니다.

$- (u (2 u - 1) + 2 (2 u - 1)) = 0$

단계 6.2.1.3

최대공약수 $2 u - 1$ 을 밖으로 빼어 다항식을 인수분해합니다.

$- ((2 u - 1) (u + 2)) = 0$

단계 6.2.2

불필요한 괄호를 제거합니다.

$- (2 u - 1) (u + 2) = 0$

단계 7

방정식 좌변의 한 인수가 $0$ 이면 전체 식은 $0$ 이 됩니다.

$2 u - 1 = 0$

$u + 2 = 0$

단계 8

$2 u - 1$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $u$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.1

$2 u - 1$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$2 u - 1 = 0$

단계 8.2

$2 u - 1 = 0$ 을 $u$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.2.1

방정식의 양변에 $1$ 를 더합니다.

$2 u = 1$

단계 8.2.2

$2 u = 1$ 의 각 항을 $2$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.2.2.1

$2 u = 1$ 의 각 항을 $2$ 로 나눕니다.

$\frac{2 u}{2} = \frac{1}{2}$

단계 8.2.2.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.2.2.2.1

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.2.2.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{2 u}{2} = \frac{1}{2}$

단계 8.2.2.2.1.2

$u$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$u = \frac{1}{2}$

단계 9

$u + 2$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $u$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.1

$u + 2$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$u + 2 = 0$

단계 9.2

방정식의 양변에서 $2$ 를 뺍니다.

$u = - 2$

단계 10

$- (2 u - 1) (u + 2) = 0$ 을 참으로 만드는 모든 값이 최종 해가 됩니다.

$u = \frac{1}{2}, - 2$

단계 11

$u$ 에 $\cos (x)$ 를 대입합니다.

$\cos (x) = \frac{1}{2}, - 2$

단계 12

각 식에 대하여 $x$ 를 구합니다.

$\cos (x) = \frac{1}{2}$

$\cos (x) = - 2$

단계 13

$\cos (x) = \frac{1}{2}$ 의 $x$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 13.1

코사인 안의 $x$ 를 꺼내기 위해 방정식 양변에 코사인의 역을 취합니다.

$x = \arccos (\frac{1}{2})$

단계 13.2

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 13.2.1

$\arccos (\frac{1}{2})$ 의 정확한 값은 $\frac{π}{3}$ 입니다.

$x = \frac{π}{3}$

단계 13.3

코사인 함수는 제1사분면과 제4사분면에서 양의 값을 가집니다. 두 번째 해를 구하려면 $2 π$ 에서 기준각을 빼어 제4사분면에 있는 해를 구합니다.

$x = 2 π - \frac{π}{3}$

단계 13.4

$2 π - \frac{π}{3}$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 13.4.1

공통 분모를 가지는 분수로 $2 π$ 을 표현하기 위해 $\frac{3}{3}$ 을 곱합니다.

$x = 2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

단계 13.4.2

분수를 통분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 13.4.2.1

$2 π$ 와 $\frac{3}{3}$ 을 묶습니다.

$x = \frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3}$

단계 13.4.2.2

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$x = \frac{2 π \cdot 3 - π}{3}$

단계 13.4.3

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 13.4.3.1

$3$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$x = \frac{6 π - π}{3}$

단계 13.4.3.2

$6 π$ 에서 $π$ 을 뺍니다.

$x = \frac{5 π}{3}$

단계 13.5

$\cos (x)$ 주기를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 13.5.1

함수의 주기는 $\frac{2 π}{| b |}$ 를 이용하여 구할 수 있습니다.

$\frac{2 π}{| b |}$

단계 13.5.2

주기 공식에서 $b$ 에 $1$ 을 대입합니다.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

단계 13.5.3

절댓값은 숫자와 0 사이의 거리를 말합니다. $0$ 과 $1$ 사이의 거리는 $1$ 입니다.

$\frac{2 π}{1}$

단계 13.5.4

$2 π$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$2 π$

단계 13.6

함수 $\cos (x)$ 의 주기는 $2 π$ 이므로 양 방향으로 $2 π$ 라디안마다 값이 반복됩니다.

임의의 정수 $n$ 에 대해 $x = \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n$

단계 14

$\cos (x) = - 2$ 의 $x$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 14.1

코사인의 치역은 $- 1 \leq y \leq 1$ 입니다. $- 2$ 가 이 영역에 속하지 않으므로 해는 존재하지 않습니다.

해 없음

단계 15

모든 해를 나열합니다.

임의의 정수 $n$ 에 대해 $x = \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n$

단계 16

각 근을 사용하여 시험 구간을 만듭니다.

$\frac{π}{3} < x < \frac{5 π}{3}$

$\frac{5 π}{3} < x < \frac{7 π}{3}$

$\frac{7 π}{3} < x < \frac{11 π}{3}$

단계 17

각 구간에서 실험값을 선택하고 이를 원래의 부등식에 대입하여 어느 구간이 부등식을 만족하는지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 17.1

$\frac{π}{3} < x < \frac{5 π}{3}$ 구간에서 하나의 값을 시험하여 이 값이 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 17.1.1

$\frac{π}{3} < x < \frac{5 π}{3}$ 구간에서 하나의 값을 선택하고 이 값이 원래의 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

$x = 3$

단계 17.1.2

원래 부등식에서 $x$ 를 $3$ 로 치환합니다.

$2 \sin^{2} (3) > 3 \cos (3)$

단계 17.1.3

좌변 $0.03982971$ 가 우변 $- 2.96997748$ 보다 크므로 주어진 명제는 항상 참입니다.

True

단계 17.2

$\frac{5 π}{3} < x < \frac{7 π}{3}$ 구간에서 하나의 값을 시험하여 이 값이 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 17.2.1

$\frac{5 π}{3} < x < \frac{7 π}{3}$ 구간에서 하나의 값을 선택하고 이 값이 원래의 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

$x = 6$

단계 17.2.2

원래 부등식에서 $x$ 를 $6$ 로 치환합니다.

$2 \sin^{2} (6) > 3 \cos (6)$

단계 17.2.3

좌변 $0.15614604$ 이 우변 $2.88051085$ 보다 크지 않으므로 주어진 명제는 거짓입니다.

False

단계 17.3

$\frac{7 π}{3} < x < \frac{11 π}{3}$ 구간에서 하나의 값을 시험하여 이 값이 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 17.3.1

$\frac{7 π}{3} < x < \frac{11 π}{3}$ 구간에서 하나의 값을 선택하고 이 값이 원래의 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

$x = 9$

단계 17.3.2

원래 부등식에서 $x$ 를 $9$ 로 치환합니다.

$2 \sin^{2} (9) > 3 \cos (9)$

단계 17.3.3

좌변 $0.33968329$ 가 우변 $- 2.73339078$ 보다 크므로 주어진 명제는 항상 참입니다.

True

단계 17.4

구간을 비교하여 원래의 부등식을 만족하는 구간을 찾습니다.

$\frac{π}{3} < x < \frac{5 π}{3}$ 참

$\frac{5 π}{3} < x < \frac{7 π}{3}$ 거짓

$\frac{7 π}{3} < x < \frac{11 π}{3}$ 참

$\frac{π}{3} < x < \frac{5 π}{3}$ 참

$\frac{5 π}{3} < x < \frac{7 π}{3}$ 거짓

$\frac{7 π}{3} < x < \frac{11 π}{3}$ 참

단계 18

해는 모두 참인 구간으로 이루어져 있습니다.

임의의 정수 $n$ 에 대한 $\frac{π}{3} + 2 π n < x < \frac{5 π}{3} + 2 π n$ 또는 $\frac{7 π}{3} + 2 π n < x < \frac{11 π}{3} + 2 π n$

단계 19