삼각법 예제

$\tan (x) < 2 \sin (x)$

단계 1

$\tan (x) < 2 \sin (x)$ 의 각 항을 $\tan (x)$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

$\tan (x) < 2 \sin (x)$ 의 각 항을 $\tan (x)$ 로 나눕니다.

$\frac{\tan (x)}{\tan (x)} < \frac{2 \sin (x)}{\tan (x)}$

단계 1.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.1

$\tan (x)$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{\tan (x)}{\tan (x)} < \frac{2 \sin (x)}{\tan (x)}$

단계 1.2.1.2

수식을 다시 씁니다.

$1 < \frac{2 \sin (x)}{\tan (x)}$

단계 1.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.1

분수를 나눕니다.

$1 < \frac{2}{1} \cdot \frac{\sin (x)}{\tan (x)}$

단계 1.3.2

$\tan (x)$ 를 사인과 코사인을 사용하여 다시 표현합니다.

$1 < \frac{2}{1} \cdot \frac{\sin (x)}{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}}$

단계 1.3.3

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ 로 나누기 위해 분수의 역수를 곱합니다.

$1 < \frac{2}{1} (\sin (x) \frac{\cos (x)}{\sin (x)})$

단계 1.3.4

$\sin (x)$ 를 분모가 $1$ 인 분수로 표현합니다.

$1 < \frac{2}{1} (\frac{\sin (x)}{1} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)})$

단계 1.3.5

$\sin (x)$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.5.1

공약수로 약분합니다.

$1 < \frac{2}{1} (\frac{\sin (x)}{1} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)})$

단계 1.3.5.2

수식을 다시 씁니다.

$1 < \frac{2}{1} \cos (x)$

단계 1.3.6

$2$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$1 < 2 \cos (x)$

단계 2

$\cos (x)$ 이 부등식의 좌변으로 가도록 식을 다시 씁니다.

$2 \cos (x) > 1$

단계 3

$2 \cos (x) > 1$ 의 각 항을 $2$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

$2 \cos (x) > 1$ 의 각 항을 $2$ 로 나눕니다.

$\frac{2 \cos (x)}{2} > \frac{1}{2}$

단계 3.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{2 \cos (x)}{2} > \frac{1}{2}$

단계 3.2.1.2

$\cos (x)$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$\cos (x) > \frac{1}{2}$

단계 4

코사인 안의 $x$ 를 꺼내기 위해 방정식 양변에 코사인의 역을 취합니다.

$x > \arccos (\frac{1}{2})$

단계 5

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

$\arccos (\frac{1}{2})$ 의 정확한 값은 $\frac{π}{3}$ 입니다.

$x > \frac{π}{3}$

단계 6

코사인 함수는 제1사분면과 제4사분면에서 양의 값을 가집니다. 두 번째 해를 구하려면 $2 π$ 에서 기준각을 빼어 제4사분면에 있는 해를 구합니다.

$x = 2 π - \frac{π}{3}$

단계 7

$2 π - \frac{π}{3}$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1

공통 분모를 가지는 분수로 $2 π$ 을 표현하기 위해 $\frac{3}{3}$ 을 곱합니다.

$x = 2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

단계 7.2

분수를 통분합니다.

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단계 7.2.1

$2 π$ 와 $\frac{3}{3}$ 을 묶습니다.

$x = \frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3}$

단계 7.2.2

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$x = \frac{2 π \cdot 3 - π}{3}$

단계 7.3

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.3.1

$3$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$x = \frac{6 π - π}{3}$

단계 7.3.2

$6 π$ 에서 $π$ 을 뺍니다.

$x = \frac{5 π}{3}$

단계 8

$\cos (x)$ 주기를 구합니다.

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단계 8.1

함수의 주기는 $\frac{2 π}{| b |}$ 를 이용하여 구할 수 있습니다.

$\frac{2 π}{| b |}$

단계 8.2

주기 공식에서 $b$ 에 $1$ 을 대입합니다.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

단계 8.3

절댓값은 숫자와 0 사이의 거리를 말합니다. $0$ 과 $1$ 사이의 거리는 $1$ 입니다.

$\frac{2 π}{1}$

단계 8.4

$2 π$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$2 π$

단계 9

함수 $\cos (x)$ 의 주기는 $2 π$ 이므로 양 방향으로 $2 π$ 라디안마다 값이 반복됩니다.

임의의 정수 $n$ 에 대해 $x = \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n$

단계 10

$\tan (x) - 2 \sin (x)$ 의 정의역을 구합니다.

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단계 10.1

식이 정의되지 않은 지점을 알아내려면 $\tan (x)$ 의 진수를 $\frac{π}{2} + π n$ 과 같게 설정해야 합니다.

임의의 정수 $n$ 에 대해 $x = \frac{π}{2} + π n$

단계 10.2

정의역은 수식을 정의하는 모든 유효한 $x$ 값입니다.

임의의 정수 $n$ 에 대한 ${x | x \neq \frac{π}{2} + π n}$ $n$

단계 11

각 근을 사용하여 시험 구간을 만듭니다.

$\frac{π}{3} < x < \frac{π}{2}$

$\frac{π}{2} < x < \frac{3 π}{2}$

$\frac{3 π}{2} < x < \frac{5 π}{3}$

$\frac{5 π}{3} < x < \frac{7 π}{3}$

$\frac{7 π}{3} < x < \frac{5 π}{2}$

$\frac{5 π}{2} < x < \frac{7 π}{2}$

$\frac{7 π}{2} < x < \frac{11 π}{3}$

단계 12

각 구간에서 실험값을 선택하고 이를 원래의 부등식에 대입하여 어느 구간이 부등식을 만족하는지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.1

$\frac{π}{3} < x < \frac{π}{2}$ 구간에서 하나의 값을 시험하여 이 값이 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.1.1

$\frac{π}{3} < x < \frac{π}{2}$ 구간에서 하나의 값을 선택하고 이 값이 원래의 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

$x = 1.31$

단계 12.1.2

원래 부등식에서 $x$ 를 $1.31$ 로 치환합니다.

$\tan (1.31) < 2 \sin (1.31)$

단계 12.1.3

좌변 $3.74708097$ 이 우변 $1.9323699$ 보다 작지 않으므로 주어진 명제는 거짓입니다.

False

단계 12.2

$\frac{π}{2} < x < \frac{3 π}{2}$ 구간에서 하나의 값을 시험하여 이 값이 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.2.1

$\frac{π}{2} < x < \frac{3 π}{2}$ 구간에서 하나의 값을 선택하고 이 값이 원래의 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

$x = 3$

단계 12.2.2

원래 부등식에서 $x$ 를 $3$ 로 치환합니다.

$\tan (3) < 2 \sin (3)$

단계 12.2.3

좌변 $- 0.14254654$ 이 우변 $0.28224001$ 보다 작으므로 주어진 명제는 항상 참입니다.

True

단계 12.3

$\frac{3 π}{2} < x < \frac{5 π}{3}$ 구간에서 하나의 값을 시험하여 이 값이 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.3.1

$\frac{3 π}{2} < x < \frac{5 π}{3}$ 구간에서 하나의 값을 선택하고 이 값이 원래의 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

$x = 5$

단계 12.3.2

원래 부등식에서 $x$ 를 $5$ 로 치환합니다.

$\tan (5) < 2 \sin (5)$

단계 12.3.3

좌변 $- 3.380515$ 이 우변 $- 1.91784854$ 보다 작으므로 주어진 명제는 항상 참입니다.

True

단계 12.4

$\frac{5 π}{3} < x < \frac{7 π}{3}$ 구간에서 하나의 값을 시험하여 이 값이 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.4.1

$\frac{5 π}{3} < x < \frac{7 π}{3}$ 구간에서 하나의 값을 선택하고 이 값이 원래의 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

$x = 6$

단계 12.4.2

원래 부등식에서 $x$ 를 $6$ 로 치환합니다.

$\tan (6) < 2 \sin (6)$

단계 12.4.3

좌변 $- 0.29100619$ 이 우변 $- 0.55883099$ 보다 작지 않으므로 주어진 명제는 거짓입니다.

False

단계 12.5

$\frac{7 π}{3} < x < \frac{5 π}{2}$ 구간에서 하나의 값을 시험하여 이 값이 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.5.1

$\frac{7 π}{3} < x < \frac{5 π}{2}$ 구간에서 하나의 값을 선택하고 이 값이 원래의 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

$x = 7.59$

단계 12.5.2

원래 부등식에서 $x$ 를 $7.59$ 로 치환합니다.

$\tan (7.59) < 2 \sin (7.59)$

단계 12.5.3

좌변 $3.69973691$ 이 우변 $1.93071743$ 보다 작지 않으므로 주어진 명제는 거짓입니다.

False

단계 12.6

$\frac{5 π}{2} < x < \frac{7 π}{2}$ 구간에서 하나의 값을 시험하여 이 값이 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.6.1

$\frac{5 π}{2} < x < \frac{7 π}{2}$ 구간에서 하나의 값을 선택하고 이 값이 원래의 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

$x = 9$

단계 12.6.2

원래 부등식에서 $x$ 를 $9$ 로 치환합니다.

$\tan (9) < 2 \sin (9)$

단계 12.6.3

좌변 $- 0.45231565$ 이 우변 $0.82423697$ 보다 작으므로 주어진 명제는 항상 참입니다.

True

단계 12.7

$\frac{7 π}{2} < x < \frac{11 π}{3}$ 구간에서 하나의 값을 시험하여 이 값이 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.7.1

$\frac{7 π}{2} < x < \frac{11 π}{3}$ 구간에서 하나의 값을 선택하고 이 값이 원래의 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

$x = 11$

단계 12.7.2

원래 부등식에서 $x$ 를 $11$ 로 치환합니다.

$\tan (11) < 2 \sin (11)$

단계 12.7.3

좌변 $- 225.95084645$ 이 우변 $- 1.99998041$ 보다 작으므로 주어진 명제는 항상 참입니다.

True

단계 12.8

구간을 비교하여 원래의 부등식을 만족하는 구간을 찾습니다.

$\frac{π}{3} < x < \frac{π}{2}$ 거짓

$\frac{π}{2} < x < \frac{3 π}{2}$ 참

$\frac{3 π}{2} < x < \frac{5 π}{3}$ 참

$\frac{5 π}{3} < x < \frac{7 π}{3}$ 거짓

$\frac{7 π}{3} < x < \frac{5 π}{2}$ 거짓

$\frac{5 π}{2} < x < \frac{7 π}{2}$ 참

$\frac{7 π}{2} < x < \frac{11 π}{3}$ 참

$\frac{π}{3} < x < \frac{π}{2}$ 거짓

$\frac{π}{2} < x < \frac{3 π}{2}$ 참

$\frac{3 π}{2} < x < \frac{5 π}{3}$ 참

$\frac{5 π}{3} < x < \frac{7 π}{3}$ 거짓

$\frac{7 π}{3} < x < \frac{5 π}{2}$ 거짓

$\frac{5 π}{2} < x < \frac{7 π}{2}$ 참

$\frac{7 π}{2} < x < \frac{11 π}{3}$ 참

단계 13

해는 모두 참인 구간으로 이루어져 있습니다.

$\frac{π}{2} + 2 π n < x < \frac{3 π}{2} + 2 π n$ or $\frac{3 π}{2} + 2 π n < x < \frac{5 π}{3} + 2 π n$ or $\frac{5 π}{2} + 2 π n < x < \frac{7 π}{2} + 2 π n$ or $\frac{7 π}{2} + 2 π n < x < \frac{11 π}{3} + 2 π n$ , for any integer $n$

단계 14

구간을 조합합니다.

임의의 정수 $n$ 에 대해 $\frac{5 π}{2} + 2 π n < x < \frac{7 π}{2} + 2 π n or \frac{π}{2} + 2 π n < x < \frac{3 π}{2} + 2 π n or \frac{3 π}{2} + 2 π n < x < \frac{5 π}{3} + 2 π n or \frac{7 π}{2} + 2 π n < x < \frac{11 π}{3} + 2 π n$

단계 15