삼각법 예제

$f (x) = 9 x^{4} - 9 x^{3} - 58 x^{2} + 4 x + 24$

단계 1

항을 다시 묶습니다.

$f (x) = - 9 x^{3} + 4 x + 9 x^{4} - 58 x^{2} + 24$

단계 2

$- 9 x^{3} + 4 x$ 에서 $- x$ 를 인수분해합니다.

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단계 2.1

$- 9 x^{3}$ 에서 $- x$ 를 인수분해합니다.

$f (x) = - x (9 x^{2}) + 4 x + 9 x^{4} - 58 x^{2} + 24$

단계 2.2

$4 x$ 에서 $- x$ 를 인수분해합니다.

$f (x) = - x (9 x^{2}) - x \cdot - 4 + 9 x^{4} - 58 x^{2} + 24$

단계 2.3

$- x (9 x^{2}) - x (- 4)$ 에서 $- x$ 를 인수분해합니다.

$f (x) = - x (9 x^{2} - 4) + 9 x^{4} - 58 x^{2} + 24$

단계 3

$9 x^{2}$ 을 ${(3 x)}^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$f (x) = - x ({(3 x)}^{2} - 4) + 9 x^{4} - 58 x^{2} + 24$

단계 4

$4$ 을 $2^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$f (x) = - x ({(3 x)}^{2} - 2^{2}) + 9 x^{4} - 58 x^{2} + 24$

단계 5

인수분해합니다.

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단계 5.1

두 항 모두 완전제곱식이므로, 제곱의 차 공식 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 을 이용하여 인수분해합니다. 이 때 $a = 3 x$ 이고 $b = 2$ 입니다.

$f (x) = - x ((3 x + 2) (3 x - 2)) + 9 x^{4} - 58 x^{2} + 24$

단계 5.2

불필요한 괄호를 제거합니다.

$f (x) = - x (3 x + 2) (3 x - 2) + 9 x^{4} - 58 x^{2} + 24$

단계 6

$x^{4}$ 을 ${(x^{2})}^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$f (x) = - x (3 x + 2) (3 x - 2) + 9 {(x^{2})}^{2} - 58 x^{2} + 24$

단계 7

$u = x^{2}$ 로 정의합니다. 식에 나타나는 모든 $x^{2}$ 를 $u$ 로 바꿉니다.

$f (x) = - x (3 x + 2) (3 x - 2) + 9 u^{2} - 58 u + 24$

단계 8

공통인수를 이용하여 인수분해를 합니다.

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단계 8.1

$a x^{2} + b x + c$ 형태의 다항식에 대해 곱이 $a \cdot c = 9 \cdot 24 = 216$ 이고 합이 $b = - 58$ 인 두 항의 합으로 중간항을 다시 씁니다.

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단계 8.1.1

$- 58 u$ 에서 $- 58$ 를 인수분해합니다.

$f (x) = - x (3 x + 2) (3 x - 2) + 9 u^{2} - 58 u + 24$

단계 8.1.2

$- 58$ 를 $- 4$ + $- 54$ 로 다시 씁니다.

$f (x) = - x (3 x + 2) (3 x - 2) + 9 u^{2} + (- 4 - 54) u + 24$

단계 8.1.3

분배 법칙을 적용합니다.

$f (x) = - x (3 x + 2) (3 x - 2) + 9 u^{2} - 4 u - 54 u + 24$

단계 8.2

각 그룹에서 최대공약수를 밖으로 뺍니다.

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단계 8.2.1

처음 두 항과 마지막 두 항을 묶습니다.

$f (x) = - x (3 x + 2) (3 x - 2) + 9 u^{2} - 4 u - 54 u + 24$

단계 8.2.2

각 그룹에서 최대공약수를 밖으로 뺍니다.

$f (x) = - x (3 x + 2) (3 x - 2) + u (9 u - 4) - 6 (9 u - 4)$

단계 8.3

최대공약수 $9 u - 4$ 을 밖으로 빼어 다항식을 인수분해합니다.

$f (x) = - x (3 x + 2) (3 x - 2) + (9 u - 4) (u - 6)$

단계 9

$u$ 를 모두 $x^{2}$ 로 바꿉니다.

$f (x) = - x (3 x + 2) (3 x - 2) + (9 x^{2} - 4) (x^{2} - 6)$

단계 10

$9 x^{2}$ 을 ${(3 x)}^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$f (x) = - x (3 x + 2) (3 x - 2) + ({(3 x)}^{2} - 4) (x^{2} - 6)$

단계 11

$4$ 을 $2^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$f (x) = - x (3 x + 2) (3 x - 2) + ({(3 x)}^{2} - 2^{2}) (x^{2} - 6)$

단계 12

두 항 모두 완전제곱식이므로, 제곱의 차 공식 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 을 이용하여 인수분해합니다. 이 때 $a = 3 x$ 이고 $b = 2$ 입니다.

$f (x) = - x (3 x + 2) (3 x - 2) + (3 x + 2) (3 x - 2) (x^{2} - 6)$

단계 13

$- x (3 x + 2) (3 x - 2) + (3 x + 2) (3 x - 2) (x^{2} - 6)$ 에서 $(3 x + 2) (3 x - 2)$ 를 인수분해합니다.

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단계 13.1

$- x (3 x + 2) (3 x - 2)$ 에서 $(3 x + 2) (3 x - 2)$ 를 인수분해합니다.

$f (x) = (3 x + 2) (3 x - 2) (- x) + (3 x + 2) (3 x - 2) (x^{2} - 6)$

단계 13.2

$(3 x + 2) (3 x - 2) (- x) + (3 x + 2) (3 x - 2) (x^{2} - 6)$ 에서 $(3 x + 2) (3 x - 2)$ 를 인수분해합니다.

$f (x) = (3 x + 2) (3 x - 2) (- x + x^{2} - 6)$

단계 14

$u = x$ 로 정의합니다. 식에 나타나는 모든 $x$ 를 $u$ 로 바꿉니다.

$f (x) = (3 x + 2) (3 x - 2) (- u + u^{2} - 6)$

단계 15

AC 방법을 이용하여 $- u + u^{2} - 6$ 를 인수분해합니다.

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단계 15.1

$x^{2} + b x + c$ 형태를 이용합니다. 곱이 $c$ 이고 합이 $b$ 인 정수 쌍을 찾습니다. 이 경우 곱은 $- 6$ 이고 합은 $- 1$ 입니다.

$- 3, 2$

단계 15.2

이 정수들을 이용하여 인수분해된 형태를 씁니다.

$f (x) = (3 x + 2) (3 x - 2) ((u - 3) (u + 2))$

단계 16

인수분해합니다.

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단계 16.1

$u$ 를 모두 $x$ 로 바꿉니다.

$f (x) = (3 x + 2) (3 x - 2) ((x - 3) (x + 2))$

단계 16.2

불필요한 괄호를 제거합니다.

$f (x) = (3 x + 2) (3 x - 2) (x - 3) (x + 2)$