삼각법 예제

$3 \sin^{2} (x) + 2 \sin (x) = 6 \cos (x) + 9 \sin (x) \cos (x)$

단계 1

모든 수식을 방정식의 좌변으로 옮깁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

방정식의 양변에서 $6 \cos (x)$ 를 뺍니다.

$3 \sin^{2} (x) + 2 \sin (x) - 6 \cos (x) = 9 \sin (x) \cos (x)$

단계 1.2

방정식의 양변에서 $9 \sin (x) \cos (x)$ 를 뺍니다.

$3 \sin^{2} (x) + 2 \sin (x) - 6 \cos (x) - 9 \sin (x) \cos (x) = 0$

단계 2

항등식 $\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) = 1$ 를 사용하여 $3 \sin^{2} (x)$ 를 $3 (1 - \cos^{2} (x))$ 로 바꿉니다.

$3 (1 - \cos^{2} (x)) + 2 \sin (x) - 6 \cos (x) - 9 \sin (x) \cos (x) = 0$

단계 3

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

분배 법칙을 적용합니다.

$3 \cdot 1 + 3 (- \cos^{2} (x)) + 2 \sin (x) - 6 \cos (x) - 9 \sin (x) \cos (x) = 0$

단계 3.2

$3$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$3 + 3 (- \cos^{2} (x)) + 2 \sin (x) - 6 \cos (x) - 9 \sin (x) \cos (x) = 0$

단계 3.3

$- 1$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$3 - 3 \cos^{2} (x) + 2 \sin (x) - 6 \cos (x) - 9 \sin (x) \cos (x) = 0$

단계 4

다항식을 다시 정렬합니다.

$- 3 \cos^{2} (x) - 6 \cos (x) - 9 \sin (x) \cos (x) + 2 \sin (x) + 3 = 0$

단계 5

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

$- 3 \cos^{2} (x) - 6 \cos (x) - 9 \sin (x) \cos (x) + 2 \sin (x) + 3$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1.1

인수분해하여 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1.1.1

$3$ 를 옮깁니다.

$- 3 \cos^{2} (x) + 3 - 6 \cos (x) - 9 \sin (x) \cos (x) + 2 \sin (x) = 0$

단계 5.1.1.2

$- 3 \cos^{2} (x)$ 와 $3$ 을 다시 정렬합니다.

$3 - 3 \cos^{2} (x) - 6 \cos (x) - 9 \sin (x) \cos (x) + 2 \sin (x) = 0$

단계 5.1.1.3

$3$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$3 (1) - 3 \cos^{2} (x) - 6 \cos (x) - 9 \sin (x) \cos (x) + 2 \sin (x) = 0$

단계 5.1.1.4

$- 3 \cos^{2} (x)$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$3 (1) + 3 (- \cos^{2} (x)) - 6 \cos (x) - 9 \sin (x) \cos (x) + 2 \sin (x) = 0$

단계 5.1.1.5

$3 (1) + 3 (- \cos^{2} (x))$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$3 (1 - \cos^{2} (x)) - 6 \cos (x) - 9 \sin (x) \cos (x) + 2 \sin (x) = 0$

단계 5.1.2

피타고라스의 정리를 적용합니다.

$3 \sin^{2} (x) - 6 \cos (x) - 9 \sin (x) \cos (x) + 2 \sin (x) = 0$

단계 6

방정식의 좌변을 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1

괄호를 표시합니다.

$3 \sin^{2} (x) - 6 \cos (x) - 9 (\sin (x) \cos (x)) + 2 \sin (x) = 0$

단계 6.2

$u = \cos (x)$ 로 정의합니다. 식에 나타나는 모든 $\cos (x)$ 를 $u$ 로 바꿉니다.

$3 \sin^{2} (x) - 6 u - 9 u \sin (x) + 2 \sin (x) = 0$

단계 6.3

항을 다시 정렬합니다.

$- 9 u \sin (x) - 6 u + 3 \sin^{2} (x) + 2 \sin (x) = 0$

단계 6.4

각 그룹에서 최대공약수를 밖으로 뺍니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.4.1

처음 두 항과 마지막 두 항을 묶습니다.

$(- 9 u \sin (x) - 6 u) + 3 \sin^{2} (x) + 2 \sin (x) = 0$

단계 6.4.2

각 그룹에서 최대공약수를 밖으로 뺍니다.

$3 u (- 3 \sin (x) - 2) - \sin (x) (- 3 \sin (x) - 2) = 0$

단계 6.5

최대공약수 $- 3 \sin (x) - 2$ 을 밖으로 빼어 다항식을 인수분해합니다.

$(- 3 \sin (x) - 2) (3 u - \sin (x)) = 0$

단계 6.6

$- 3 \sin (x) - 2$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.6.1

$- 3 \sin (x)$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$(- (3 \sin (x)) - 2) (3 u - \sin (x)) = 0$

단계 6.6.2

$- 2$ 을 $- 1 (2)$ 로 바꿔 씁니다.

$(- (3 \sin (x)) - 1 \cdot 2) (3 u - \sin (x)) = 0$

단계 6.6.3

$- (3 \sin (x)) - 1 (2)$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$- (3 \sin (x) + 2) (3 u - \sin (x)) = 0$

단계 6.7

$u$ 를 모두 $\cos (x)$ 로 바꿉니다.

$- (3 \sin (x) + 2) (3 \cos (x) - \sin (x)) = 0$

단계 7

방정식 좌변의 한 인수가 $0$ 이면 전체 식은 $0$ 이 됩니다.

$3 \sin (x) + 2 = 0$

$3 \cos (x) - \sin (x) = 0$

단계 8

$3 \sin (x) + 2$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.1

$3 \sin (x) + 2$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$3 \sin (x) + 2 = 0$

단계 8.2

$3 \sin (x) + 2 = 0$ 을 $x$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.2.1

방정식의 양변에서 $2$ 를 뺍니다.

$3 \sin (x) = - 2$

단계 8.2.2

$3 \sin (x) = - 2$ 의 각 항을 $3$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.2.2.1

$3 \sin (x) = - 2$ 의 각 항을 $3$ 로 나눕니다.

$\frac{3 \sin (x)}{3} = \frac{- 2}{3}$

단계 8.2.2.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.2.2.2.1

$3$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.2.2.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{3 \sin (x)}{3} = \frac{- 2}{3}$

단계 8.2.2.2.1.2

$\sin (x)$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$\sin (x) = \frac{- 2}{3}$

단계 8.2.2.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.2.2.3.1

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\sin (x) = - \frac{2}{3}$

단계 8.2.3

사인 안의 $x$ 를 꺼내기 위해 방정식 양변에 사인의 역을 취합니다.

$x = \arcsin (- \frac{2}{3})$

단계 8.2.4

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.2.4.1

$\arcsin (- \frac{2}{3})$ 의 값을 구합니다.

$x = - 0.72972765$

단계 8.2.5

사인 함수는 제3사분면과 제4사분면에서 음의 값을 가집니다. 두 번째 해를 구하려면 $2 π$ 에서 해를 빼서 기준각을 찾습니다. 그리고 이 기준각에 $π$ 를 더하여 제3사분면에 속한 해를 구합니다.

$x = 2 (3.14159265) + 0.72972765 + 3.14159265$

단계 8.2.6

두 번째 해를 구하기 위하여 수식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.2.6.1

$2 (3.14159265) + 0.72972765 + 3.14159265$ 에서 $2 π$ 을 뺍니다.

$x = 2 (3.14159265) + 0.72972765 + 3.14159265 - 2 π$

단계 8.2.6.2

결과 각인 $3.8713203$ 은 양의 값으로 $2 π$ 보다 작으며 $2 (3.14159265) + 0.72972765 + 3.14159265$ 과 양변을 공유하는 관계입니다.

$x = 3.8713203$

단계 8.2.7

$\sin (x)$ 주기를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.2.7.1

함수의 주기는 $\frac{2 π}{| b |}$ 를 이용하여 구할 수 있습니다.

$\frac{2 π}{| b |}$

단계 8.2.7.2

주기 공식에서 $b$ 에 $1$ 을 대입합니다.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

단계 8.2.7.3

절댓값은 숫자와 0 사이의 거리를 말합니다. $0$ 과 $1$ 사이의 거리는 $1$ 입니다.

$\frac{2 π}{1}$

단계 8.2.7.4

$2 π$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$2 π$

단계 8.2.8

모든 음의 각에 $2 π$ 를 더하여 양의 각을 얻습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.2.8.1

$- 0.72972765$ 에 $2 π$ 를 더하여 양의 각도를 구합니다.

$- 0.72972765 + 2 π$

단계 8.2.8.2

$2 π$ 에서 $0.72972765$ 을 뺍니다.

$5.55345765$

단계 8.2.8.3

새 각을 나열합니다.

$x = 5.55345765$

단계 8.2.9

함수 $\sin (x)$ 의 주기는 $2 π$ 이므로 양 방향으로 $2 π$ 라디안마다 값이 반복됩니다.

임의의 정수 $n$ 에 대해 $x = 3.8713203 + 2 π n, 5.55345765 + 2 π n$

단계 9

$3 \cos (x) - \sin (x)$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.1

$3 \cos (x) - \sin (x)$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$3 \cos (x) - \sin (x) = 0$

단계 9.2

$3 \cos (x) - \sin (x) = 0$ 을 $x$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.2.1

방정식의 각 항을 $\cos (x)$ 로 나눕니다.

$\frac{3 \cos (x)}{\cos (x)} + \frac{- \sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

단계 9.2.2

$\cos (x)$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.2.2.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{3 \cos (x)}{\cos (x)} + \frac{- \sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

단계 9.2.2.2

$3$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$3 + \frac{- \sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

단계 9.2.3

분수를 나눕니다.

$3 + \frac{- 1}{1} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

단계 9.2.4

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ 을 $\tan (x)$ 로 변환합니다.

$3 + \frac{- 1}{1} \cdot \tan (x) = \frac{0}{\cos (x)}$

단계 9.2.5

$- 1$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$3 - \tan (x) = \frac{0}{\cos (x)}$

단계 9.2.6

분수를 나눕니다.

$3 - \tan (x) = \frac{0}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$

단계 9.2.7

$\frac{1}{\cos (x)}$ 을 $\sec (x)$ 로 변환합니다.

$3 - \tan (x) = \frac{0}{1} \cdot \sec (x)$

단계 9.2.8

$0$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$3 - \tan (x) = 0 \sec (x)$

단계 9.2.9

$0$ 에 $\sec (x)$ 을 곱합니다.

$3 - \tan (x) = 0$

단계 9.2.10

방정식의 양변에서 $3$ 를 뺍니다.

$- \tan (x) = - 3$

단계 9.2.11

$- \tan (x) = - 3$ 의 각 항을 $- 1$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.2.11.1

$- \tan (x) = - 3$ 의 각 항을 $- 1$ 로 나눕니다.

$\frac{- \tan (x)}{- 1} = \frac{- 3}{- 1}$

단계 9.2.11.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.2.11.2.1

두 음수를 나누면 양수가 나옵니다.

$\frac{\tan (x)}{1} = \frac{- 3}{- 1}$

단계 9.2.11.2.2

$\tan (x)$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$\tan (x) = \frac{- 3}{- 1}$

단계 9.2.11.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.2.11.3.1

$- 3$ 을 $- 1$ 로 나눕니다.

$\tan (x) = 3$

단계 9.2.12

탄젠트 안의 $x$ 를 꺼내기 위해 방정식 양변에 탄젠트의 역을 취합니다.

$x = \arctan (3)$

단계 9.2.13

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.2.13.1

$\arctan (3)$ 의 값을 구합니다.

$x = 1.24904577$

단계 9.2.14

탄젠트 함수는 제1사분면과 제3사분면에서 양의 값을 가집니다. 두번째 해를 구하려면 $π$ 에 기준각을 더하여 제4사분면에 있는 해를 구합니다.

$x = (3.14159265) + 1.24904577$

단계 9.2.15

$x$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.2.15.1

괄호를 제거합니다.

$x = 3.14159265 + 1.24904577$

단계 9.2.15.2

괄호를 제거합니다.

$x = (3.14159265) + 1.24904577$

단계 9.2.15.3

$3.14159265$ 를 $1.24904577$ 에 더합니다.

$x = 4.39063842$

단계 9.2.16

$\tan (x)$ 주기를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.2.16.1

함수의 주기는 $\frac{π}{| b |}$ 를 이용하여 구할 수 있습니다.

$\frac{π}{| b |}$

단계 9.2.16.2

주기 공식에서 $b$ 에 $1$ 을 대입합니다.

$\frac{π}{| 1 |}$

단계 9.2.16.3

절댓값은 숫자와 0 사이의 거리를 말합니다. $0$ 과 $1$ 사이의 거리는 $1$ 입니다.

$\frac{π}{1}$

단계 9.2.16.4

$π$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$π$

단계 9.2.17

함수 $\tan (x)$ 의 주기는 $π$ 이므로 양 방향으로 $π$ 라디안마다 값이 반복됩니다.

임의의 정수 $n$ 에 대해 $x = 1.24904577 + π n, 4.39063842 + π n$

단계 10

$- (3 \sin (x) + 2) (3 \cos (x) - \sin (x)) = 0$ 을 참으로 만드는 모든 값이 최종 해가 됩니다.

임의의 정수 $n$ 에 대해 $x = 3.8713203 + 2 π n, 5.55345765 + 2 π n, 1.24904577 + π n, 4.39063842 + π n$

단계 11

$1.24904577 + π n$ , $4.39063842 + π n$ 를 $1.24904577 + π n$ 에 통합합니다.

임의의 정수 $n$ 에 대해 $x = 3.8713203 + 2 π n, 5.55345765 + 2 π n, 1.24904577 + π n$