삼각법 예제

$z^{4} + 4 \sqrt{2} z^{2} + 16 = 0$

단계 1

방정식에 $u = z^{2}$ 를 대입합니다. 이렇게 하면 근의 공식을 쉽게 사용할 수 있습니다.

$u^{2} + 4 \sqrt{2} u + 16 = 0$

$u = z^{2}$

단계 2

근의 공식을 이용해 방정식의 해를 구합니다.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

단계 3

이차함수의 근의 공식에 $a = 1$ , $b = 4 \sqrt{2}$ , $c = 16$ 을 대입하여 $u$ 를 구합니다.

$\frac{- 4 \sqrt{2} \pm \sqrt{{(4 \sqrt{2})}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 16)}}{2 \cdot 1}$

단계 4

간단히 합니다.

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단계 4.1

분자를 간단히 합니다.

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단계 4.1.1

$4 \sqrt{2}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$u = \frac{- 4 \sqrt{2} \pm \sqrt{4^{2} {\sqrt{2}}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

단계 4.1.2

$4$ 를 $2$ 승 합니다.

$u = \frac{- 4 \sqrt{2} \pm \sqrt{16 {\sqrt{2}}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

단계 4.1.3

${\sqrt{2}}^{2}$ 을 $2$ 로 바꿔 씁니다.

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단계 4.1.3.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{2}$ 을(를) $2^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$u = \frac{- 4 \sqrt{2} \pm \sqrt{16 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

단계 4.1.3.2

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$u = \frac{- 4 \sqrt{2} \pm \sqrt{16 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2} - 4 \cdot 1 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

단계 4.1.3.3

$\frac{1}{2}$ 와 $2$ 을 묶습니다.

$u = \frac{- 4 \sqrt{2} \pm \sqrt{16 \cdot 2^{\frac{2}{2}} - 4 \cdot 1 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

단계 4.1.3.4

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 4.1.3.4.1

공약수로 약분합니다.

$u = \frac{- 4 \sqrt{2} \pm \sqrt{16 \cdot 2^{\frac{2}{2}} - 4 \cdot 1 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

단계 4.1.3.4.2

수식을 다시 씁니다.

$u = \frac{- 4 \sqrt{2} \pm \sqrt{16 \cdot 2 - 4 \cdot 1 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

단계 4.1.3.5

지수값을 계산합니다.

$u = \frac{- 4 \sqrt{2} \pm \sqrt{16 \cdot 2 - 4 \cdot 1 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

단계 4.1.4

$16$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$u = \frac{- 4 \sqrt{2} \pm \sqrt{32 - 4 \cdot 1 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

단계 4.1.5

$- 4 \cdot 1 \cdot 16$ 을 곱합니다.

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단계 4.1.5.1

$- 4$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$u = \frac{- 4 \sqrt{2} \pm \sqrt{32 - 4 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

단계 4.1.5.2

$- 4$ 에 $16$ 을 곱합니다.

$u = \frac{- 4 \sqrt{2} \pm \sqrt{32 - 64}}{2 \cdot 1}$

단계 4.1.6

$32$ 에서 $64$ 을 뺍니다.

$u = \frac{- 4 \sqrt{2} \pm \sqrt{- 32}}{2 \cdot 1}$

단계 4.1.7

$- 32$ 을 $- 1 (32)$ 로 바꿔 씁니다.

$u = \frac{- 4 \sqrt{2} \pm \sqrt{- 1 \cdot 32}}{2 \cdot 1}$

단계 4.1.8

$\sqrt{- 1 (32)}$ 을 $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{32}$ 로 바꿔 씁니다.

$u = \frac{- 4 \sqrt{2} \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{32}}{2 \cdot 1}$

단계 4.1.9

$\sqrt{- 1}$ 을 $i$ 로 바꿔 씁니다.

$u = \frac{- 4 \sqrt{2} \pm i \cdot \sqrt{32}}{2 \cdot 1}$

단계 4.1.10

$32$ 을 $4^{2} \cdot 2$ 로 바꿔 씁니다.

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단계 4.1.10.1

$32$ 에서 $16$ 를 인수분해합니다.

$u = \frac{- 4 \sqrt{2} \pm i \cdot \sqrt{16 (2)}}{2 \cdot 1}$

단계 4.1.10.2

$16$ 을 $4^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$u = \frac{- 4 \sqrt{2} \pm i \cdot \sqrt{4^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

단계 4.1.11

근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$u = \frac{- 4 \sqrt{2} \pm i \cdot (4 \sqrt{2})}{2 \cdot 1}$

단계 4.1.12

$i$ 의 왼쪽으로 $4$ 이동하기

$u = \frac{- 4 \sqrt{2} \pm 4 i \sqrt{2}}{2 \cdot 1}$

단계 4.2

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$u = \frac{- 4 \sqrt{2} \pm 4 i \sqrt{2}}{2}$

단계 4.3

$\frac{- 4 \sqrt{2} \pm 4 i \sqrt{2}}{2}$ 을 간단히 합니다.

$u = - 2 \sqrt{2} \pm 2 i \sqrt{2}$

단계 5

두 해를 모두 조합하면 최종 답이 됩니다.

$u = - 2 \sqrt{2} + 2 i \sqrt{2}, - 2 \sqrt{2} - 2 i \sqrt{2}$

단계 6

풀어진 방정식에 $u = z^{2}$ 에 해당하는 값을 대입합니다.

$z^{2} = - 2 \sqrt{2} + 2 i \sqrt{2}$

${(z^{2})}^{1} = - 2 \sqrt{2} - 2 i \sqrt{2}$

단계 7

첫 번째 방정식을 $z$ 에 대해 풉니다.

$z^{2} = - 2 \sqrt{2} + 2 i \sqrt{2}$

단계 8

$z$ 에 대해 식을 풉니다.

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단계 8.1

좌변의 지수를 소거하기 위하여 방정식의 양변에 지정된 제곱근을 취합니다.

$z = \pm \sqrt{- 2 \sqrt{2} + 2 i \sqrt{2}}$

단계 8.2

해의 양수와 음수 부분 모두 최종 해가 됩니다.

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단계 8.2.1

먼저, $\pm$ 의 양의 값을 이용하여 첫 번째 해를 구합니다.

$z = \sqrt{- 2 \sqrt{2} + 2 i \sqrt{2}}$

단계 8.2.2

그 다음 $\pm$ 의 마이너스 값을 사용하여 두 번째 해를 구합니다.

$z = - \sqrt{- 2 \sqrt{2} + 2 i \sqrt{2}}$

단계 8.2.3

해의 양수와 음수 부분 모두 최종 해가 됩니다.

$z = \sqrt{- 2 \sqrt{2} + 2 i \sqrt{2}}, - \sqrt{- 2 \sqrt{2} + 2 i \sqrt{2}}$

단계 9

두 번째 방정식을 $z$ 에 대해 풉니다.

${(z^{2})}^{1} = - 2 \sqrt{2} - 2 i \sqrt{2}$

단계 10

$z$ 에 대해 식을 풉니다.

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단계 10.1

괄호를 제거합니다.

$z^{2} = - 2 \sqrt{2} - 2 i \sqrt{2}$

단계 10.2

좌변의 지수를 소거하기 위하여 방정식의 양변에 지정된 제곱근을 취합니다.

$z = \pm \sqrt{- 2 \sqrt{2} - 2 i \sqrt{2}}$

단계 10.3

해의 양수와 음수 부분 모두 최종 해가 됩니다.

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단계 10.3.1

먼저, $\pm$ 의 양의 값을 이용하여 첫 번째 해를 구합니다.

$z = \sqrt{- 2 \sqrt{2} - 2 i \sqrt{2}}$

단계 10.3.2

그 다음 $\pm$ 의 마이너스 값을 사용하여 두 번째 해를 구합니다.

$z = - \sqrt{- 2 \sqrt{2} - 2 i \sqrt{2}}$

단계 10.3.3

해의 양수와 음수 부분 모두 최종 해가 됩니다.

$z = \sqrt{- 2 \sqrt{2} - 2 i \sqrt{2}}, - \sqrt{- 2 \sqrt{2} - 2 i \sqrt{2}}$

단계 11

$z^{4} + 4 \sqrt{2} z^{2} + 16 = 0$ 의 해는 $z = \sqrt{- 2 \sqrt{2} + 2 i \sqrt{2}}, - \sqrt{- 2 \sqrt{2} + 2 i \sqrt{2}}, \sqrt{- 2 \sqrt{2} - 2 i \sqrt{2}}, - \sqrt{- 2 \sqrt{2} - 2 i \sqrt{2}}$ 입니다.

$z = \sqrt{- 2 \sqrt{2} + 2 i \sqrt{2}}, - \sqrt{- 2 \sqrt{2} + 2 i \sqrt{2}}, \sqrt{- 2 \sqrt{2} - 2 i \sqrt{2}}, - \sqrt{- 2 \sqrt{2} - 2 i \sqrt{2}}$