삼각법 예제

$\sin (2 x) = \cos (3 x)$

단계 1

방정식의 양변에서 $\cos (3 x)$ 를 뺍니다.

$\sin (2 x) - \cos (3 x) = 0$

단계 2

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

사인 배각 공식을 적용합니다.

$2 \sin (x) \cos (x) - \cos (3 x) = 0$

단계 2.2

삼배각 공식을 사용하여 $\cos (3 x)$ 를 $4 \cos^{3} (x) - 3 \cos (x)$ 로 바꿉니다.

$2 \sin (x) \cos (x) - (4 \cos^{3} (x) - 3 \cos (x)) = 0$

단계 2.3

분배 법칙을 적용합니다.

$2 \sin (x) \cos (x) - (4 \cos^{3} (x)) - (- 3 \cos (x)) = 0$

단계 2.4

$4$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$2 \sin (x) \cos (x) - 4 \cos^{3} (x) - (- 3 \cos (x)) = 0$

단계 2.5

$- 3$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$2 \sin (x) \cos (x) - 4 \cos^{3} (x) + 3 \cos (x) = 0$

단계 3

$2 \sin (x) \cos (x) - 4 \cos^{3} (x) + 3 \cos (x)$ 에서 $\cos (x)$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

$2 \sin (x) \cos (x)$ 에서 $\cos (x)$ 를 인수분해합니다.

$\cos (x) (2 \sin (x)) - 4 \cos^{3} (x) + 3 \cos (x) = 0$

단계 3.2

$- 4 \cos^{3} (x)$ 에서 $\cos (x)$ 를 인수분해합니다.

$\cos (x) (2 \sin (x)) + \cos (x) (- 4 \cos^{2} (x)) + 3 \cos (x) = 0$

단계 3.3

$3 \cos (x)$ 에서 $\cos (x)$ 를 인수분해합니다.

$\cos (x) (2 \sin (x)) + \cos (x) (- 4 \cos^{2} (x)) + \cos (x) \cdot 3 = 0$

단계 3.4

$\cos (x) (2 \sin (x)) + \cos (x) (- 4 \cos^{2} (x))$ 에서 $\cos (x)$ 를 인수분해합니다.

$\cos (x) (2 \sin (x) - 4 \cos^{2} (x)) + \cos (x) \cdot 3 = 0$

단계 3.5

$\cos (x) (2 \sin (x) - 4 \cos^{2} (x)) + \cos (x) \cdot 3$ 에서 $\cos (x)$ 를 인수분해합니다.

$\cos (x) (2 \sin (x) - 4 \cos^{2} (x) + 3) = 0$

단계 4

방정식 좌변의 한 인수가 $0$ 이면 전체 식은 $0$ 이 됩니다.

$\cos (x) = 0$

$2 \sin (x) - 4 \cos^{2} (x) + 3 = 0$

단계 5

$\cos (x)$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

$\cos (x)$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$\cos (x) = 0$

단계 5.2

$\cos (x) = 0$ 을 $x$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.1

코사인 안의 $x$ 를 꺼내기 위해 방정식 양변에 코사인의 역을 취합니다.

$x = \arccos (0)$

단계 5.2.2

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.2.1

$\arccos (0)$ 의 정확한 값은 $\frac{π}{2}$ 입니다.

$x = \frac{π}{2}$

단계 5.2.3

코사인 함수는 제1사분면과 제4사분면에서 양의 값을 가집니다. 두 번째 해를 구하려면 $2 π$ 에서 기준각을 빼어 제4사분면에 있는 해를 구합니다.

$x = 2 π - \frac{π}{2}$

단계 5.2.4

$2 π - \frac{π}{2}$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.4.1

공통 분모를 가지는 분수로 $2 π$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

단계 5.2.4.2

분수를 통분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.4.2.1

$2 π$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

단계 5.2.4.2.2

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

단계 5.2.4.3

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.4.3.1

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$x = \frac{4 π - π}{2}$

단계 5.2.4.3.2

$4 π$ 에서 $π$ 을 뺍니다.

$x = \frac{3 π}{2}$

단계 5.2.5

$\cos (x)$ 주기를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.5.1

함수의 주기는 $\frac{2 π}{| b |}$ 를 이용하여 구할 수 있습니다.

$\frac{2 π}{| b |}$

단계 5.2.5.2

주기 공식에서 $b$ 에 $1$ 을 대입합니다.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

단계 5.2.5.3

절댓값은 숫자와 0 사이의 거리를 말합니다. $0$ 과 $1$ 사이의 거리는 $1$ 입니다.

$\frac{2 π}{1}$

단계 5.2.5.4

$2 π$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$2 π$

단계 5.2.6

함수 $\cos (x)$ 의 주기는 $2 π$ 이므로 양 방향으로 $2 π$ 라디안마다 값이 반복됩니다.

임의의 정수 $n$ 에 대해 $x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$

단계 6

$2 \sin (x) - 4 \cos^{2} (x) + 3$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1

$2 \sin (x) - 4 \cos^{2} (x) + 3$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$2 \sin (x) - 4 \cos^{2} (x) + 3 = 0$

단계 6.2

$2 \sin (x) - 4 \cos^{2} (x) + 3 = 0$ 을 $x$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.1

항등식 $\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) = 1$ 를 사용하여 $- 4 \cos^{2} (x)$ 를 $- 4 (1 - \sin^{2} (x))$ 로 바꿉니다.

$2 \sin (x) - 4 (1 - \sin^{2} (x)) + 3 = 0$

단계 6.2.2

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.2.1

분배 법칙을 적용합니다.

$2 \sin (x) - 4 \cdot 1 - 4 (- \sin^{2} (x)) + 3 = 0$

단계 6.2.2.2

$- 4$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$2 \sin (x) - 4 - 4 (- \sin^{2} (x)) + 3 = 0$

단계 6.2.2.3

$- 1$ 에 $- 4$ 을 곱합니다.

$2 \sin (x) - 4 + 4 \sin^{2} (x) + 3 = 0$

단계 6.2.3

$- 4$ 를 $3$ 에 더합니다.

$2 \sin (x) + 4 \sin^{2} (x) - 1 = 0$

단계 6.2.4

다항식을 다시 정렬합니다.

$4 \sin^{2} (x) + 2 \sin (x) - 1 = 0$

단계 6.2.5

$\sin (x)$ 에 $u$ 를 대입합니다.

$4 {(u)}^{2} + 2 (u) - 1 = 0$

단계 6.2.6

근의 공식을 이용해 방정식의 해를 구합니다.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

단계 6.2.7

이차함수의 근의 공식에 $a = 4$ , $b = 2$ , $c = - 1$ 을 대입하여 $u$ 를 구합니다.

$\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot (4 \cdot - 1)}}{2 \cdot 4}$

단계 6.2.8

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.8.1

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.8.1.1

$2$ 를 $2$ 승 합니다.

$u = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 4 \cdot - 1}}{2 \cdot 4}$

단계 6.2.8.1.2

$- 4 \cdot 4 \cdot - 1$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.8.1.2.1

$- 4$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$u = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 16 \cdot - 1}}{2 \cdot 4}$

단계 6.2.8.1.2.2

$- 16$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$u = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 16}}{2 \cdot 4}$

단계 6.2.8.1.3

$4$ 를 $16$ 에 더합니다.

$u = \frac{- 2 \pm \sqrt{20}}{2 \cdot 4}$

단계 6.2.8.1.4

$20$ 을 $2^{2} \cdot 5$ 로 바꿔 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.8.1.4.1

$20$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$u = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 (5)}}{2 \cdot 4}$

단계 6.2.8.1.4.2

$4$ 을 $2^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$u = \frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 5}}{2 \cdot 4}$

단계 6.2.8.1.5

근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$u = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{5}}{2 \cdot 4}$

단계 6.2.8.2

$2$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$u = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{5}}{8}$

단계 6.2.8.3

$\frac{- 2 \pm 2 \sqrt{5}}{8}$ 을 간단히 합니다.

$u = \frac{- 1 \pm \sqrt{5}}{4}$

단계 6.2.9

두 해를 모두 조합하면 최종 답이 됩니다.

$u = - \frac{1 - \sqrt{5}}{4}, - \frac{1 + \sqrt{5}}{4}$

단계 6.2.10

$u$ 에 $\sin (x)$ 를 대입합니다.

$\sin (x) = - \frac{1 - \sqrt{5}}{4}, - \frac{1 + \sqrt{5}}{4}$

단계 6.2.11

각 식에 대하여 $x$ 를 구합니다.

$\sin (x) = - \frac{1 - \sqrt{5}}{4}$

$\sin (x) = - \frac{1 + \sqrt{5}}{4}$

단계 6.2.12

$\sin (x) = - \frac{1 - \sqrt{5}}{4}$ 의 $x$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.12.1

사인 안의 $x$ 를 꺼내기 위해 방정식 양변에 사인의 역을 취합니다.

$x = \arcsin (- \frac{1 - \sqrt{5}}{4})$

단계 6.2.12.2

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.12.2.1

$\arcsin (- \frac{1 - \sqrt{5}}{4})$ 의 값을 구합니다.

$x = \frac{π}{10}$

단계 6.2.12.3

사인 함수는 제3사분면과 제4사분면에서 음의 값을 가집니다. 두 번째 해를 구하려면 $2 π$ 에서 해를 빼서 기준각을 찾습니다. 그리고 이 기준각에 $π$ 를 더하여 제3사분면에 속한 해를 구합니다.

$x = 2 π - \frac{π}{10} + π$

단계 6.2.12.4

두 번째 해를 구하기 위하여 수식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.12.4.1

$2 π - \frac{π}{10} + π$ 에서 $2 π$ 을 뺍니다.

$x = 2 π - \frac{π}{10} + π - 2 π$

단계 6.2.12.4.2

결과 각인 $\frac{9 π}{10}$ 은 양의 값으로 $2 π$ 보다 작으며 $2 π - \frac{π}{10} + π$ 과 양변을 공유하는 관계입니다.

$x = \frac{9 π}{10}$

단계 6.2.12.5

$\sin (x)$ 주기를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.12.5.1

함수의 주기는 $\frac{2 π}{| b |}$ 를 이용하여 구할 수 있습니다.

$\frac{2 π}{| b |}$

단계 6.2.12.5.2

주기 공식에서 $b$ 에 $1$ 을 대입합니다.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

단계 6.2.12.5.3

절댓값은 숫자와 0 사이의 거리를 말합니다. $0$ 과 $1$ 사이의 거리는 $1$ 입니다.

$\frac{2 π}{1}$

단계 6.2.12.5.4

$2 π$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$2 π$

단계 6.2.12.6

함수 $\sin (x)$ 의 주기는 $2 π$ 이므로 양 방향으로 $2 π$ 라디안마다 값이 반복됩니다.

임의의 정수 $n$ 에 대해 $x = \frac{π}{10} + 2 π n, \frac{9 π}{10} + 2 π n$

단계 6.2.13

$\sin (x) = - \frac{1 + \sqrt{5}}{4}$ 의 $x$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.13.1

사인 안의 $x$ 를 꺼내기 위해 방정식 양변에 사인의 역을 취합니다.

$x = \arcsin (- \frac{1 + \sqrt{5}}{4})$

단계 6.2.13.2

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.13.2.1

$\arcsin (- \frac{1 + \sqrt{5}}{4})$ 의 값을 구합니다.

$x = - \frac{3 π}{10}$

단계 6.2.13.3

$x = 2 π + \frac{3 π}{10} + π$

단계 6.2.13.4

두 번째 해를 구하기 위하여 수식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.13.4.1

$2 π + \frac{3 π}{10} + π$ 에서 $2 π$ 을 뺍니다.

$x = 2 π + \frac{3 π}{10} + π - 2 π$

단계 6.2.13.4.2

결과 각인 $\frac{13 π}{10}$ 은 양의 값으로 $2 π$ 보다 작으며 $2 π + \frac{3 π}{10} + π$ 과 양변을 공유하는 관계입니다.

$x = \frac{13 π}{10}$

단계 6.2.13.5

$\sin (x)$ 주기를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.13.5.1

함수의 주기는 $\frac{2 π}{| b |}$ 를 이용하여 구할 수 있습니다.

$\frac{2 π}{| b |}$

단계 6.2.13.5.2

주기 공식에서 $b$ 에 $1$ 을 대입합니다.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

단계 6.2.13.5.3

절댓값은 숫자와 0 사이의 거리를 말합니다. $0$ 과 $1$ 사이의 거리는 $1$ 입니다.

$\frac{2 π}{1}$

단계 6.2.13.5.4

$2 π$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$2 π$

단계 6.2.13.6

모든 음의 각에 $2 π$ 를 더하여 양의 각을 얻습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.13.6.1

$- \frac{3 π}{10}$ 에 $2 π$ 를 더하여 양의 각도를 구합니다.

$- \frac{3 π}{10} + 2 π$

단계 6.2.13.6.2

공통 분모를 가지는 분수로 $2 π$ 을 표현하기 위해 $\frac{10}{10}$ 을 곱합니다.

$2 π \cdot \frac{10}{10} - \frac{3 π}{10}$

단계 6.2.13.6.3

분수를 통분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.13.6.3.1

$2 π$ 와 $\frac{10}{10}$ 을 묶습니다.

$\frac{2 π \cdot 10}{10} - \frac{3 π}{10}$

단계 6.2.13.6.3.2

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{2 π \cdot 10 - 3 π}{10}$

단계 6.2.13.6.4

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.13.6.4.1

$10$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{20 π - 3 π}{10}$

단계 6.2.13.6.4.2

$20 π$ 에서 $3 π$ 을 뺍니다.

$\frac{17 π}{10}$

단계 6.2.13.6.5

새 각을 나열합니다.

$x = \frac{17 π}{10}$

단계 6.2.13.7

함수 $\sin (x)$ 의 주기는 $2 π$ 이므로 양 방향으로 $2 π$ 라디안마다 값이 반복됩니다.

임의의 정수 $n$ 에 대해 $x = \frac{13 π}{10} + 2 π n, \frac{17 π}{10} + 2 π n$

단계 6.2.14

모든 해를 나열합니다.

임의의 정수 $n$ 에 대해 $x = \frac{π}{10} + 2 π n, \frac{9 π}{10} + 2 π n, \frac{13 π}{10} + 2 π n, \frac{17 π}{10} + 2 π n$

단계 7

$\cos (x) (2 \sin (x) - 4 \cos^{2} (x) + 3) = 0$ 을 참으로 만드는 모든 값이 최종 해가 됩니다.

임의의 정수 $n$ 에 대해 $x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{π}{10} + 2 π n, \frac{9 π}{10} + 2 π n, \frac{13 π}{10} + 2 π n, \frac{17 π}{10} + 2 π n$

단계 8

$\frac{π}{2} + 2 π n$ , $\frac{3 π}{2} + 2 π n$ 를 $\frac{π}{2} + π n$ 에 통합합니다.

임의의 정수 $n$ 에 대해 $x = \frac{π}{2} + π n, \frac{π}{10} + 2 π n, \frac{9 π}{10} + 2 π n, \frac{13 π}{10} + 2 π n, \frac{17 π}{10} + 2 π n$