삼각법 예제

$\cos (2 x) + 3 \cos (x) - 1 = 0$

단계 1

식의 좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

배각 공식을 사용하여 $\cos (2 x)$ 를 $2 \cos^{2} (x) - 1$ 로 바꿉니다.

$2 \cos^{2} (x) - 1 + 3 \cos (x) - 1 = 0$

단계 1.2

$- 1$ 에서 $1$ 을 뺍니다.

$2 \cos^{2} (x) - 2 + 3 \cos (x) = 0$

단계 2

공통인수를 이용하여 인수분해를 합니다.

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단계 2.1

항을 다시 정렬합니다.

$2 \cos^{2} (x) + 3 \cos (x) - 2 = 0$

단계 2.2

$a x^{2} + b x + c$ 형태의 다항식에 대해 곱이 $a \cdot c = 2 \cdot - 2 = - 4$ 이고 합이 $b = 3$ 인 두 항의 합으로 중간항을 다시 씁니다.

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단계 2.2.1

$3 \cos (x)$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$2 \cos^{2} (x) + 3 \cos (x) - 2 = 0$

단계 2.2.2

$3$ 를 $- 1$ + $4$ 로 다시 씁니다.

$2 \cos^{2} (x) + (- 1 + 4) \cos (x) - 2 = 0$

단계 2.2.3

분배 법칙을 적용합니다.

$2 \cos^{2} (x) - 1 \cos (x) + 4 \cos (x) - 2 = 0$

단계 2.3

각 그룹에서 최대공약수를 밖으로 뺍니다.

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단계 2.3.1

처음 두 항과 마지막 두 항을 묶습니다.

$2 \cos^{2} (x) - 1 \cos (x) + 4 \cos (x) - 2 = 0$

단계 2.3.2

각 그룹에서 최대공약수를 밖으로 뺍니다.

$\cos (x) (2 \cos (x) - 1) + 2 (2 \cos (x) - 1) = 0$

단계 2.4

최대공약수 $2 \cos (x) - 1$ 을 밖으로 빼어 다항식을 인수분해합니다.

$(2 \cos (x) - 1) (\cos (x) + 2) = 0$

단계 3

방정식 좌변의 한 인수가 $0$ 이면 전체 식은 $0$ 이 됩니다.

$2 \cos (x) - 1 = 0$

$\cos (x) + 2 = 0$

단계 4

$2 \cos (x) - 1$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

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단계 4.1

$2 \cos (x) - 1$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$2 \cos (x) - 1 = 0$

단계 4.2

$2 \cos (x) - 1 = 0$ 을 $x$ 에 대해 풉니다.

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단계 4.2.1

방정식의 양변에 $1$ 를 더합니다.

$2 \cos (x) = 1$

단계 4.2.2

$2 \cos (x) = 1$ 의 각 항을 $2$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

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단계 4.2.2.1

$2 \cos (x) = 1$ 의 각 항을 $2$ 로 나눕니다.

$\frac{2 \cos (x)}{2} = \frac{1}{2}$

단계 4.2.2.2

좌변을 간단히 합니다.

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단계 4.2.2.2.1

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 4.2.2.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{2 \cos (x)}{2} = \frac{1}{2}$

단계 4.2.2.2.1.2

$\cos (x)$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$\cos (x) = \frac{1}{2}$

단계 4.2.3

코사인 안의 $x$ 를 꺼내기 위해 방정식 양변에 코사인의 역을 취합니다.

$x = \arccos (\frac{1}{2})$

단계 4.2.4

우변을 간단히 합니다.

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단계 4.2.4.1

$\arccos (\frac{1}{2})$ 의 정확한 값은 $\frac{π}{3}$ 입니다.

$x = \frac{π}{3}$

단계 4.2.5

코사인 함수는 제1사분면과 제4사분면에서 양의 값을 가집니다. 두 번째 해를 구하려면 $2 π$ 에서 기준각을 빼어 제4사분면에 있는 해를 구합니다.

$x = 2 π - \frac{π}{3}$

단계 4.2.6

$2 π - \frac{π}{3}$ 을 간단히 합니다.

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단계 4.2.6.1

공통 분모를 가지는 분수로 $2 π$ 을 표현하기 위해 $\frac{3}{3}$ 을 곱합니다.

$x = 2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

단계 4.2.6.2

분수를 통분합니다.

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단계 4.2.6.2.1

$2 π$ 와 $\frac{3}{3}$ 을 묶습니다.

$x = \frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3}$

단계 4.2.6.2.2

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$x = \frac{2 π \cdot 3 - π}{3}$

단계 4.2.6.3

분자를 간단히 합니다.

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단계 4.2.6.3.1

$3$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$x = \frac{6 π - π}{3}$

단계 4.2.6.3.2

$6 π$ 에서 $π$ 을 뺍니다.

$x = \frac{5 π}{3}$

단계 4.2.7

$\cos (x)$ 주기를 구합니다.

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단계 4.2.7.1

함수의 주기는 $\frac{2 π}{| b |}$ 를 이용하여 구할 수 있습니다.

$\frac{2 π}{| b |}$

단계 4.2.7.2

주기 공식에서 $b$ 에 $1$ 을 대입합니다.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

단계 4.2.7.3

절댓값은 숫자와 0 사이의 거리를 말합니다. $0$ 과 $1$ 사이의 거리는 $1$ 입니다.

$\frac{2 π}{1}$

단계 4.2.7.4

$2 π$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$2 π$

단계 4.2.8

함수 $\cos (x)$ 의 주기는 $2 π$ 이므로 양 방향으로 $2 π$ 라디안마다 값이 반복됩니다.

임의의 정수 $n$ 에 대해 $x = \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n$

단계 5

$\cos (x) + 2$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

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단계 5.1

$\cos (x) + 2$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$\cos (x) + 2 = 0$

단계 5.2

$\cos (x) + 2 = 0$ 을 $x$ 에 대해 풉니다.

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단계 5.2.1

방정식의 양변에서 $2$ 를 뺍니다.

$\cos (x) = - 2$

단계 5.2.2

코사인의 치역은 $- 1 \leq y \leq 1$ 입니다. $- 2$ 가 이 영역에 속하지 않으므로 해는 존재하지 않습니다.

해 없음

단계 6

$(2 \cos (x) - 1) (\cos (x) + 2) = 0$ 을 참으로 만드는 모든 값이 최종 해가 됩니다.

임의의 정수 $n$ 에 대해 $x = \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n$