삼각법 예제

$8 \sin^{2} (\frac{x}{2}) - 10 \sin (\frac{x}{2}) + 3 = 0$

단계 1

방정식의 좌변을 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

$u = \sin (\frac{x}{2})$ 로 정의합니다. 식에 나타나는 모든 $\sin (\frac{x}{2})$ 를 $u$ 로 바꿉니다.

$8 u^{2} - 10 u + 3 = 0$

단계 1.2

공통인수를 이용하여 인수분해를 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.1

$a x^{2} + b x + c$ 형태의 다항식에 대해 곱이 $a \cdot c = 8 \cdot 3 = 24$ 이고 합이 $b = - 10$ 인 두 항의 합으로 중간항을 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.1.1

$- 10 u$ 에서 $- 10$ 를 인수분해합니다.

$8 u^{2} - 10 u + 3 = 0$

단계 1.2.1.2

$- 10$ 를 $- 4$ + $- 6$ 로 다시 씁니다.

$8 u^{2} + (- 4 - 6) u + 3 = 0$

단계 1.2.1.3

분배 법칙을 적용합니다.

$8 u^{2} - 4 u - 6 u + 3 = 0$

단계 1.2.2

각 그룹에서 최대공약수를 밖으로 뺍니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.2.1

처음 두 항과 마지막 두 항을 묶습니다.

$(8 u^{2} - 4 u) - 6 u + 3 = 0$

단계 1.2.2.2

각 그룹에서 최대공약수를 밖으로 뺍니다.

$4 u (2 u - 1) - 3 (2 u - 1) = 0$

단계 1.2.3

최대공약수 $2 u - 1$ 을 밖으로 빼어 다항식을 인수분해합니다.

$(2 u - 1) (4 u - 3) = 0$

단계 1.3

$u$ 를 모두 $\sin (\frac{x}{2})$ 로 바꿉니다.

$(2 \sin (\frac{x}{2}) - 1) (4 \sin (\frac{x}{2}) - 3) = 0$

단계 2

방정식 좌변의 한 인수가 $0$ 이면 전체 식은 $0$ 이 됩니다.

$2 \sin (\frac{x}{2}) - 1 = 0$

$4 \sin (\frac{x}{2}) - 3 = 0$

단계 3

$2 \sin (\frac{x}{2}) - 1$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

$2 \sin (\frac{x}{2}) - 1$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$2 \sin (\frac{x}{2}) - 1 = 0$

단계 3.2

$2 \sin (\frac{x}{2}) - 1 = 0$ 을 $x$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1

방정식의 양변에 $1$ 를 더합니다.

$2 \sin (\frac{x}{2}) = 1$

단계 3.2.2

$2 \sin (\frac{x}{2}) = 1$ 의 각 항을 $2$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.2.1

$2 \sin (\frac{x}{2}) = 1$ 의 각 항을 $2$ 로 나눕니다.

$\frac{2 \sin (\frac{x}{2})}{2} = \frac{1}{2}$

단계 3.2.2.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.2.2.1

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.2.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{2 \sin (\frac{x}{2})}{2} = \frac{1}{2}$

단계 3.2.2.2.1.2

$\sin (\frac{x}{2})$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$\sin (\frac{x}{2}) = \frac{1}{2}$

단계 3.2.3

사인 안의 $x$ 를 꺼내기 위해 방정식 양변에 사인의 역을 취합니다.

$\frac{x}{2} = \arcsin (\frac{1}{2})$

단계 3.2.4

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.4.1

$\arcsin (\frac{1}{2})$ 의 정확한 값은 $\frac{π}{6}$ 입니다.

$\frac{x}{2} = \frac{π}{6}$

단계 3.2.5

방정식의 양변에 $2$ 을 곱합니다.

$2 \frac{x}{2} = 2 \frac{π}{6}$

단계 3.2.6

방정식의 양변을 간단히 정리합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.6.1

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.6.1.1

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.6.1.1.1

공약수로 약분합니다.

$2 \frac{x}{2} = 2 \frac{π}{6}$

단계 3.2.6.1.1.2

수식을 다시 씁니다.

$x = 2 \frac{π}{6}$

단계 3.2.6.2

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.6.2.1

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.6.2.1.1

$6$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$x = 2 \frac{π}{2 (3)}$

단계 3.2.6.2.1.2

공약수로 약분합니다.

$x = 2 \frac{π}{2 \cdot 3}$

단계 3.2.6.2.1.3

수식을 다시 씁니다.

$x = \frac{π}{3}$

단계 3.2.7

사인 함수는 제1사분면과 제2사분면에서 양의 값을 가집니다. 두 번째 해를 구하려면 $π$ 에서 기준각을 빼어 제2사분면에 속한 해를 구합니다.

$\frac{x}{2} = π - \frac{π}{6}$

단계 3.2.8

$x$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.8.1

방정식의 양변에 $2$ 을 곱합니다.

$2 \frac{x}{2} = 2 (π - \frac{π}{6})$

단계 3.2.8.2

방정식의 양변을 간단히 정리합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.8.2.1

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.8.2.1.1

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.8.2.1.1.1

공약수로 약분합니다.

$2 \frac{x}{2} = 2 (π - \frac{π}{6})$

단계 3.2.8.2.1.1.2

수식을 다시 씁니다.

$x = 2 (π - \frac{π}{6})$

단계 3.2.8.2.2

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.8.2.2.1

$2 (π - \frac{π}{6})$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.8.2.2.1.1

공통 분모를 가지는 분수로 $π$ 을 표현하기 위해 $\frac{6}{6}$ 을 곱합니다.

$x = 2 (π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6})$

단계 3.2.8.2.2.1.2

항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.8.2.2.1.2.1

$π$ 와 $\frac{6}{6}$ 을 묶습니다.

$x = 2 (\frac{π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6})$

단계 3.2.8.2.2.1.2.2

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$x = 2 \frac{π \cdot 6 - π}{6}$

단계 3.2.8.2.2.1.2.3

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.8.2.2.1.2.3.1

$6$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$x = 2 \frac{π \cdot 6 - π}{2 (3)}$

단계 3.2.8.2.2.1.2.3.2

공약수로 약분합니다.

$x = 2 \frac{π \cdot 6 - π}{2 \cdot 3}$

단계 3.2.8.2.2.1.2.3.3

수식을 다시 씁니다.

$x = \frac{π \cdot 6 - π}{3}$

단계 3.2.8.2.2.1.3

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.8.2.2.1.3.1

$π$ 의 왼쪽으로 $6$ 이동하기

$x = \frac{6 \cdot π - π}{3}$

단계 3.2.8.2.2.1.3.2

$6 π$ 에서 $π$ 을 뺍니다.

$x = \frac{5 π}{3}$

단계 3.2.9

$\sin (\frac{x}{2})$ 주기를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.9.1

함수의 주기는 $\frac{2 π}{| b |}$ 를 이용하여 구할 수 있습니다.

$\frac{2 π}{| b |}$

단계 3.2.9.2

주기 공식에서 $b$ 에 $\frac{1}{2}$ 을 대입합니다.

$\frac{2 π}{| \frac{1}{2} |}$

단계 3.2.9.3

$\frac{1}{2}$ 은 약 $0.5$ 로 양수이므로 절댓값 기호를 없앱니다.

$\frac{2 π}{\frac{1}{2}}$

단계 3.2.9.4

분자에 분모의 역수를 곱합니다.

$2 π \cdot 2$

단계 3.2.9.5

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$4 π$

단계 3.2.10

함수 $\sin (\frac{x}{2})$ 의 주기는 $4 π$ 이므로 양 방향으로 $4 π$ 라디안마다 값이 반복됩니다.

임의의 정수 $n$ 에 대해 $x = \frac{π}{3} + 4 π n, \frac{5 π}{3} + 4 π n$

단계 4

$4 \sin (\frac{x}{2}) - 3$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

$4 \sin (\frac{x}{2}) - 3$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$4 \sin (\frac{x}{2}) - 3 = 0$

단계 4.2

$4 \sin (\frac{x}{2}) - 3 = 0$ 을 $x$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.1

방정식의 양변에 $3$ 를 더합니다.

$4 \sin (\frac{x}{2}) = 3$

단계 4.2.2

$4 \sin (\frac{x}{2}) = 3$ 의 각 항을 $4$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.2.1

$4 \sin (\frac{x}{2}) = 3$ 의 각 항을 $4$ 로 나눕니다.

$\frac{4 \sin (\frac{x}{2})}{4} = \frac{3}{4}$

단계 4.2.2.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.2.2.1

$4$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.2.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{4 \sin (\frac{x}{2})}{4} = \frac{3}{4}$

단계 4.2.2.2.1.2

$\sin (\frac{x}{2})$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$\sin (\frac{x}{2}) = \frac{3}{4}$

단계 4.2.3

사인 안의 $x$ 를 꺼내기 위해 방정식 양변에 사인의 역을 취합니다.

$\frac{x}{2} = \arcsin (\frac{3}{4})$

단계 4.2.4

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.4.1

$\arcsin (\frac{3}{4})$ 의 값을 구합니다.

$\frac{x}{2} = 0.84806207$

단계 4.2.5

방정식의 양변에 $2$ 을 곱합니다.

$2 \frac{x}{2} = 2 \cdot 0.84806207$

단계 4.2.6

방정식의 양변을 간단히 정리합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.6.1

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.6.1.1

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.6.1.1.1

공약수로 약분합니다.

$2 \frac{x}{2} = 2 \cdot 0.84806207$

단계 4.2.6.1.1.2

수식을 다시 씁니다.

$x = 2 \cdot 0.84806207$

단계 4.2.6.2

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.6.2.1

$2$ 에 $0.84806207$ 을 곱합니다.

$x = 1.69612415$

단계 4.2.7

사인 함수는 제1사분면과 제2사분면에서 양의 값을 가집니다. 두 번째 해를 구하려면 $π$ 에서 기준각을 빼어 제2사분면에 속한 해를 구합니다.

$\frac{x}{2} = (3.14159265) - 0.84806207$

단계 4.2.8

$x$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.8.1

방정식의 양변에 $2$ 을 곱합니다.

$2 \frac{x}{2} = 2 ((3.14159265) - 0.84806207)$

단계 4.2.8.2

방정식의 양변을 간단히 정리합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.8.2.1

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.8.2.1.1

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.8.2.1.1.1

공약수로 약분합니다.

$2 \frac{x}{2} = 2 ((3.14159265) - 0.84806207)$

단계 4.2.8.2.1.1.2

수식을 다시 씁니다.

$x = 2 ((3.14159265) - 0.84806207)$

단계 4.2.8.2.2

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.8.2.2.1

$2 ((3.14159265) - 0.84806207)$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.8.2.2.1.1

$3.14159265$ 에서 $0.84806207$ 을 뺍니다.

$x = 2 \cdot 2.29353057$

단계 4.2.8.2.2.1.2

$2$ 에 $2.29353057$ 을 곱합니다.

$x = 4.58706114$

단계 4.2.9

$\sin (\frac{x}{2})$ 주기를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.9.1

함수의 주기는 $\frac{2 π}{| b |}$ 를 이용하여 구할 수 있습니다.

$\frac{2 π}{| b |}$

단계 4.2.9.2

주기 공식에서 $b$ 에 $\frac{1}{2}$ 을 대입합니다.

$\frac{2 π}{| \frac{1}{2} |}$

단계 4.2.9.3

$\frac{1}{2}$ 은 약 $0.5$ 로 양수이므로 절댓값 기호를 없앱니다.

$\frac{2 π}{\frac{1}{2}}$

단계 4.2.9.4

분자에 분모의 역수를 곱합니다.

$2 π \cdot 2$

단계 4.2.9.5

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$4 π$

단계 4.2.10

함수 $\sin (\frac{x}{2})$ 의 주기는 $4 π$ 이므로 양 방향으로 $4 π$ 라디안마다 값이 반복됩니다.

임의의 정수 $n$ 에 대해 $x = 1.69612415 + 4 π n, 4.58706114 + 4 π n$

단계 5

$(2 \sin (\frac{x}{2}) - 1) (4 \sin (\frac{x}{2}) - 3) = 0$ 을 참으로 만드는 모든 값이 최종 해가 됩니다.

임의의 정수 $n$ 에 대해 $x = \frac{π}{3} + 4 π n, \frac{5 π}{3} + 4 π n, 1.69612415 + 4 π n, 4.58706114 + 4 π n$