삼각법 예제

$\frac{1 - \cot (- x)}{1 + \cot (x)}$

단계 1

변수를 서로 바꿉니다.

$x = \frac{1 - \cot (- y)}{1 + \cot (y)}$

단계 2

$y$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

$\frac{1 - \cot (- y)}{1 + \cot (y)} = x$ 로 방정식을 다시 씁니다.

$\frac{1 - \cot (- y)}{1 + \cot (y)} = x$

단계 2.2

양변에 $1 + \cot (y)$ 을 곱합니다.

$\frac{1 - \cot (- y)}{1 + \cot (y)} (1 + \cot (y)) = x (1 + \cot (y))$

단계 2.3

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1.1

$\frac{1 - \cot (- y)}{1 + \cot (y)} (1 + \cot (y))$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1.1.1

$1 + \cot (y)$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1.1.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{1 - \cot (- y)}{1 + \cot (y)} (1 + \cot (y)) = x (1 + \cot (y))$

단계 2.3.1.1.1.2

수식을 다시 씁니다.

$1 - \cot (- y) = x (1 + \cot (y))$

단계 2.3.1.1.2

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1.1.2.1

$\cot (- y)$ 은(는) 기함수이므로 $\cot (- y)$ 을(를) $- \cot (y)$ (으)로 다시 씁니다.

$1 - - \cot (y) = x (1 + \cot (y))$

단계 2.3.1.1.2.2

$- - \cot (y)$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1.1.2.2.1

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$1 + 1 \cot (y) = x (1 + \cot (y))$

단계 2.3.1.1.2.2.2

$\cot (y)$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$1 + \cot (y) = x (1 + \cot (y))$

단계 2.3.2

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.2.1

$x (1 + \cot (y))$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.2.1.1

분배 법칙을 적용합니다.

$1 + \cot (y) = x \cdot 1 + x \cot (y)$

단계 2.3.2.1.2

$x$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$1 + \cot (y) = x + x \cot (y)$

단계 2.4

$y$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.4.1

$\cot (y)$ 에 $u$ 를 대입합니다.

$1 + u = x + x (u)$

단계 2.4.2

방정식의 양변에서 $x u$ 를 뺍니다.

$1 + u - x u = x$

단계 2.4.3

방정식의 양변에서 $1$ 를 뺍니다.

$u - x u = x - 1$

단계 2.4.4

$u - x u$ 에서 $u$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.4.4.1

$u^{1}$ 에서 $u$ 를 인수분해합니다.

$u \cdot 1 - x u = x - 1$

단계 2.4.4.2

$- x u$ 에서 $u$ 를 인수분해합니다.

$u \cdot 1 + u (- x) = x - 1$

단계 2.4.4.3

$u \cdot 1 + u (- x)$ 에서 $u$ 를 인수분해합니다.

$u (1 - x) = x - 1$

단계 2.4.5

$u (1 - x) = x - 1$ 의 각 항을 $1 - x$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.4.5.1

$u (1 - x) = x - 1$ 의 각 항을 $1 - x$ 로 나눕니다.

$\frac{u (1 - x)}{1 - x} = \frac{x}{1 - x} + \frac{- 1}{1 - x}$

단계 2.4.5.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.4.5.2.1

$1 - x$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.4.5.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{u (1 - x)}{1 - x} = \frac{x}{1 - x} + \frac{- 1}{1 - x}$

단계 2.4.5.2.1.2

$u$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$u = \frac{x}{1 - x} + \frac{- 1}{1 - x}$

단계 2.4.5.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.4.5.3.1

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$u = \frac{x - 1}{1 - x}$

단계 2.4.5.3.2

$x - 1$ 및 $1 - x$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.4.5.3.2.1

$x$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$u = \frac{- 1 (- x) - 1}{1 - x}$

단계 2.4.5.3.2.2

$- 1$ 을 $- 1 (1)$ 로 바꿔 씁니다.

$u = \frac{- 1 (- x) - 1 (1)}{1 - x}$

단계 2.4.5.3.2.3

$- 1 (- x) - 1 (1)$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$u = \frac{- 1 (- x + 1)}{1 - x}$

단계 2.4.5.3.2.4

항을 다시 정렬합니다.

$u = \frac{- 1 (- x + 1)}{- x + 1}$

단계 2.4.5.3.2.5

공약수로 약분합니다.

$u = \frac{- 1 (- x + 1)}{- x + 1}$

단계 2.4.5.3.2.6

$- 1$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$u = - 1$

단계 2.4.6

$u$ 에 $\cot (y)$ 를 대입합니다.

$\cot (y) = - 1$

단계 2.4.7

코탄젠트 안의 $y$ 를 꺼내기 위해 방정식 양변에 코탄젠트의 역을 취합니다.

$y = arccot (- 1)$

단계 2.4.8

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.4.8.1

$arccot (- 1)$ 의 정확한 값은 $\frac{3 π}{4}$ 입니다.

$y = \frac{3 π}{4}$

단계 2.4.9

The cotangent function is negative in the second and fourth quadrants. To find the second solution, subtract the reference angle from $π$ to find the solution in the third quadrant.

$y = \frac{3 π}{4} - π$

단계 2.4.10

두 번째 해를 구하기 위하여 수식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.4.10.1

$\frac{3 π}{4} - π$ 에 $2 π$ 를 더합니다.

$y = \frac{3 π}{4} - π + 2 π$

단계 2.4.10.2

결과 각인 $\frac{7 π}{4}$ 은 양의 값을 가지며 $\frac{3 π}{4} - π$ 과 양변을 공유하는 관계입니다

$y = \frac{7 π}{4}$

단계 2.4.11

$\cot (y)$ 주기를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.4.11.1

함수의 주기는 $\frac{π}{| b |}$ 를 이용하여 구할 수 있습니다.

$\frac{π}{| b |}$

단계 2.4.11.2

주기 공식에서 $b$ 에 $1$ 을 대입합니다.

$\frac{π}{| 1 |}$

단계 2.4.11.3

절댓값은 숫자와 0 사이의 거리를 말합니다. $0$ 과 $1$ 사이의 거리는 $1$ 입니다.

$\frac{π}{1}$

단계 2.4.11.4

$π$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$π$

단계 2.4.12

함수 $\cot (y)$ 의 주기는 $π$ 이므로 양 방향으로 $π$ 라디안마다 값이 반복됩니다.

임의의 정수 $n$ 에 대해 $y = \frac{3 π}{4} + π n, \frac{7 π}{4} + π n$

단계 2.5

답안을 하나로 합합니다.

임의의 정수 $n$ 에 대해 $y = \frac{3 π}{4} + π n$

단계 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{3 π}{4} + π n$

단계 4

증명하려면 $f^{- 1} (x) = \frac{3 π}{4} + π n$ 가 $f (x) = \frac{1 - \cot (- x)}{1 + \cot (x)}$ 의 역함수인지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

역함수를 증명하려면 $f^{- 1} (f (x)) = x$ 및 $f (f^{- 1} (x)) = x$ 인지 확인합니다.

단계 4.2

$f^{- 1} (f (x))$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.1

합성함수식을 세웁니다.

$f^{- 1} (f (x))$

단계 4.2.2

$f$ 값을 $f^{- 1}$ 에 대입하여 $f^{- 1} (\frac{1 - \cot (- x)}{1 + \cot (x)})$ 값을 계산합니다.

$f^{- 1} (\frac{1 - \cot (- x)}{1 + \cot (x)}) = \frac{3 π}{4} + π n$

단계 4.2.3

$\frac{3 π}{4}$ 와 $π n$ 을 다시 정렬합니다.

$f^{- 1} (\frac{1 - \cot (- x)}{1 + \cot (x)}) = π n + \frac{3 π}{4}$

단계 4.3

$f (f^{- 1} (x))$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.1

합성함수식을 세웁니다.

$f (f^{- 1} (x))$

단계 4.3.2

$f^{- 1}$ 값을 $f$ 에 대입하여 $f (\frac{3 π}{4} + π n)$ 값을 계산합니다.

$f (\frac{3 π}{4} + π n) = \frac{1 - \cot (- (\frac{3 π}{4} + π n))}{1 + \cot (\frac{3 π}{4} + π n)}$

단계 4.3.3

분배 법칙을 적용합니다.

$f (\frac{3 π}{4} + π n) = \frac{1 - \cot (- \frac{3 π}{4} - π n)}{1 + \cot (\frac{3 π}{4} + π n)}$

단계 4.4

$f^{- 1} (f (x)) = x$ 및 $f (f^{- 1} (x)) = x$ 이므로, $f^{- 1} (x) = \frac{3 π}{4} + π n$ 은 $f (x) = \frac{1 - \cot (- x)}{1 + \cot (x)}$ 의 역함수입니다.

$f^{- 1} (x) = \frac{3 π}{4} + π n$