삼각법 예제

$\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = 1$

단계 1

방정식의 양변에서 $\frac{1}{x}$ 를 뺍니다.

$\frac{1}{y} = 1 - \frac{1}{x}$

단계 2

방정식 항의 최소공분모를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

여러 값의 최소공분모를 구하는 것은 해당 값들의 분모의 최소공배수를 구하는 것과 같습니다.

$y, 1, x$

단계 2.2

Since $y, 1, x$ contains both numbers and variables, there are two steps to find the LCM. Find LCM for the numeric part $1, 1, 1$ then find LCM for the variable part $y^{1}, x^{1}$ .

단계 2.3

최소공배수는 주어진 모든 수로 나누어 떨어지는 가장 작은 양수입니다.

1. 각 수의 소인수를 나열합니다.

2. 각 인수가 해당 수에서 나타나는 횟수만큼 각 인수를 곱합니다.

단계 2.4

숫자 $1$ 은 자신을 약수로 가지지만 오직 한 개의 양의 약수를 가지므로 소수가 아닙니다.

소수가 아님

단계 2.5

$1, 1, 1$ 의 최소공배수는 각 수에 포함된 소인수의 최대 개수만큼 모든 소인수를 곱한 값입니다.

$1$

단계 2.6

$y^{1}$ 의 인수는 $y$ 자신입니다.

$y^{1} = y$

$y$ 는 $1$ 번 나타납니다.

단계 2.7

$x^{1}$ 의 인수는 $x$ 자신입니다.

$x^{1} = x$

$x$ 는 $1$ 번 나타납니다.

단계 2.8

$y^{1}, x^{1}$ 의 최소공배수는 각 항에 포함된 소인수의 최대 개수 만큼 모든 소인수를 곱한 값입니다.

$y \cdot x$

단계 2.9

$y$ 에 $x$ 을 곱합니다.

$y x$

단계 3

$\frac{1}{y} = 1 - \frac{1}{x}$ 의 각 항에 $y x$ 을 곱하고 분수를 소거합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

$\frac{1}{y} = 1 - \frac{1}{x}$ 의 각 항에 $y x$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{y} (y x) = 1 (y x) - \frac{1}{x} (y x)$

단계 3.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1

$y$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1.1

$y x$ 에서 $y$ 를 인수분해합니다.

$\frac{1}{y} (y (x)) = 1 (y x) - \frac{1}{x} (y x)$

단계 3.2.1.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{1}{y} (y x) = 1 (y x) - \frac{1}{x} (y x)$

단계 3.2.1.3

수식을 다시 씁니다.

$x = 1 (y x) - \frac{1}{x} (y x)$

단계 3.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.1.1

$y x$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$x = y x - \frac{1}{x} (y x)$

단계 3.3.1.2

$x$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.1.2.1

$- \frac{1}{x}$ 의 마이너스 부호를 분자로 이동합니다.

$x = y x + \frac{- 1}{x} (y x)$

단계 3.3.1.2.2

$y x$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$x = y x + \frac{- 1}{x} (x y)$

단계 3.3.1.2.3

공약수로 약분합니다.

$x = y x + \frac{- 1}{x} (x y)$

단계 3.3.1.2.4

수식을 다시 씁니다.

$x = y x - y$

단계 4

식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

$y x - y = x$ 로 방정식을 다시 씁니다.

$y x - y = x$

단계 4.2

$y x - y$ 에서 $y$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.1

$y x$ 에서 $y$ 를 인수분해합니다.

$y (x) - y = x$

단계 4.2.2

$- y$ 에서 $y$ 를 인수분해합니다.

$y (x) + y \cdot - 1 = x$

단계 4.2.3

$y (x) + y \cdot - 1$ 에서 $y$ 를 인수분해합니다.

$y (x - 1) = x$

단계 4.3

$y (x - 1) = x$ 의 각 항을 $x - 1$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.1

$y (x - 1) = x$ 의 각 항을 $x - 1$ 로 나눕니다.

$\frac{y (x - 1)}{x - 1} = \frac{x}{x - 1}$

단계 4.3.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.2.1

$x - 1$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{y (x - 1)}{x - 1} = \frac{x}{x - 1}$

단계 4.3.2.1.2

$y$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$y = \frac{x}{x - 1}$

단계 5

변수를 서로 바꿉니다.

$x = \frac{y}{y - 1}$

단계 6

$y$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1

방정식에 $y - 1$ 을 곱합니다.

$(y - 1) (x) = (\frac{y}{y - 1}) (y - 1)$

단계 6.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.1

$(y - 1) (x)$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.1.1

분배 법칙을 적용합니다.

$y x - 1 x = (\frac{y}{y - 1}) (y - 1)$

단계 6.2.1.2

$- 1 x$ 을 $- x$ 로 바꿔 씁니다.

$y x - x = (\frac{y}{y - 1}) (y - 1)$

단계 6.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.3.1

$y - 1$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.3.1.1

공약수로 약분합니다.

$y x - x = \frac{y}{y - 1} (y - 1)$

단계 6.3.1.2

수식을 다시 씁니다.

$y x - x = y$

단계 6.4

$y$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.4.1

방정식의 양변에서 $y$ 를 뺍니다.

$y x - x - y = 0$

단계 6.4.2

방정식의 양변에 $x$ 를 더합니다.

$y x - y = x$

단계 6.4.3

$y x - y$ 에서 $y$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.4.3.1

$y x$ 에서 $y$ 를 인수분해합니다.

$y (x) - y = x$

단계 6.4.3.2

$- y$ 에서 $y$ 를 인수분해합니다.

$y (x) + y \cdot - 1 = x$

단계 6.4.3.3

$y (x) + y \cdot - 1$ 에서 $y$ 를 인수분해합니다.

$y (x - 1) = x$

단계 6.4.4

$y (x - 1) = x$ 의 각 항을 $x - 1$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.4.4.1

$y (x - 1) = x$ 의 각 항을 $x - 1$ 로 나눕니다.

$\frac{y (x - 1)}{x - 1} = \frac{x}{x - 1}$

단계 6.4.4.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.4.4.2.1

$x - 1$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.4.4.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{y (x - 1)}{x - 1} = \frac{x}{x - 1}$

단계 6.4.4.2.1.2

$y$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$y = \frac{x}{x - 1}$

단계 7

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{x}{x - 1}$

단계 8

증명하려면 $f^{- 1} (x) = \frac{x}{x - 1}$ 가 $f (x) = \frac{x}{x - 1}$ 의 역함수인지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.1

역함수를 증명하려면 $f^{- 1} (f (x)) = x$ 및 $f (f^{- 1} (x)) = x$ 인지 확인합니다.

단계 8.2

$f^{- 1} (f (x))$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.2.1

합성함수식을 세웁니다.

$f^{- 1} (f (x))$

단계 8.2.2

$f$ 값을 $f^{- 1}$ 에 대입하여 $f^{- 1} (\frac{x}{x - 1})$ 값을 계산합니다.

$f^{- 1} (\frac{x}{x - 1}) = \frac{\frac{x}{x - 1}}{(\frac{x}{x - 1}) - 1}$

단계 8.2.3

분자에 분모의 역수를 곱합니다.

$f^{- 1} (\frac{x}{x - 1}) = \frac{x}{x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{x}{x - 1} - 1}$

단계 8.2.4

분모를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.2.4.1

공통 분모를 가지는 분수로 $- 1$ 을 표현하기 위해 $\frac{x - 1}{x - 1}$ 을 곱합니다.

$f^{- 1} (\frac{x}{x - 1}) = \frac{x}{x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{x}{x - 1} - 1 \cdot \frac{x - 1}{x - 1}}$

단계 8.2.4.2

$- 1$ 와 $\frac{x - 1}{x - 1}$ 을 묶습니다.

$f^{- 1} (\frac{x}{x - 1}) = \frac{x}{x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{x}{x - 1} + \frac{- (x - 1)}{x - 1}}$

단계 8.2.4.3

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$f^{- 1} (\frac{x}{x - 1}) = \frac{x}{x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{x - (x - 1)}{x - 1}}$

단계 8.2.4.4

인수분해된 형태로 $\frac{x - (x - 1)}{x - 1}$ 를 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.2.4.4.1

분배 법칙을 적용합니다.

$f^{- 1} (\frac{x}{x - 1}) = \frac{x}{x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{x - x + 1}{x - 1}}$

단계 8.2.4.4.2

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$f^{- 1} (\frac{x}{x - 1}) = \frac{x}{x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{x - x + 1}{x - 1}}$

단계 8.2.4.4.3

$x$ 에서 $x$ 을 뺍니다.

$f^{- 1} (\frac{x}{x - 1}) = \frac{x}{x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{0 + 1}{x - 1}}$

단계 8.2.4.4.4

$0$ 를 $1$ 에 더합니다.

$f^{- 1} (\frac{x}{x - 1}) = \frac{x}{x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{1}{x - 1}}$

단계 8.2.5

분자에 분모의 역수를 곱합니다.

$f^{- 1} (\frac{x}{x - 1}) = \frac{x}{x - 1} \cdot (1 (x - 1))$

단계 8.2.6

$x - 1$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.2.6.1

$1 (x - 1)$ 에서 $x - 1$ 를 인수분해합니다.

$f^{- 1} (\frac{x}{x - 1}) = \frac{x}{x - 1} \cdot ((x - 1) \cdot 1)$

단계 8.2.6.2

공약수로 약분합니다.

$f^{- 1} (\frac{x}{x - 1}) = \frac{x}{x - 1} \cdot ((x - 1) \cdot 1)$

단계 8.2.6.3

수식을 다시 씁니다.

$f^{- 1} (\frac{x}{x - 1}) = x$

단계 8.3

$f (f^{- 1} (x))$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.3.1

합성함수식을 세웁니다.

$f (f^{- 1} (x))$

단계 8.3.2

$f^{- 1}$ 값을 $f$ 에 대입하여 $f (\frac{x}{x - 1})$ 값을 계산합니다.

$f (\frac{x}{x - 1}) = \frac{\frac{x}{x - 1}}{(\frac{x}{x - 1}) - 1}$

단계 8.3.3

분자에 분모의 역수를 곱합니다.

$f (\frac{x}{x - 1}) = \frac{x}{x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{x}{x - 1} - 1}$

단계 8.3.4

분모를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.3.4.1

공통 분모를 가지는 분수로 $- 1$ 을 표현하기 위해 $\frac{x - 1}{x - 1}$ 을 곱합니다.

$f (\frac{x}{x - 1}) = \frac{x}{x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{x}{x - 1} - 1 \cdot \frac{x - 1}{x - 1}}$

단계 8.3.4.2

$- 1$ 와 $\frac{x - 1}{x - 1}$ 을 묶습니다.

$f (\frac{x}{x - 1}) = \frac{x}{x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{x}{x - 1} + \frac{- (x - 1)}{x - 1}}$

단계 8.3.4.3

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$f (\frac{x}{x - 1}) = \frac{x}{x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{x - (x - 1)}{x - 1}}$

단계 8.3.4.4

인수분해된 형태로 $\frac{x - (x - 1)}{x - 1}$ 를 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.3.4.4.1

분배 법칙을 적용합니다.

$f (\frac{x}{x - 1}) = \frac{x}{x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{x - x + 1}{x - 1}}$

단계 8.3.4.4.2

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$f (\frac{x}{x - 1}) = \frac{x}{x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{x - x + 1}{x - 1}}$

단계 8.3.4.4.3

$x$ 에서 $x$ 을 뺍니다.

$f (\frac{x}{x - 1}) = \frac{x}{x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{0 + 1}{x - 1}}$

단계 8.3.4.4.4

$0$ 를 $1$ 에 더합니다.

$f (\frac{x}{x - 1}) = \frac{x}{x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{1}{x - 1}}$

단계 8.3.5

분자에 분모의 역수를 곱합니다.

$f (\frac{x}{x - 1}) = \frac{x}{x - 1} \cdot (1 (x - 1))$

단계 8.3.6

$x - 1$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.3.6.1

$1 (x - 1)$ 에서 $x - 1$ 를 인수분해합니다.

$f (\frac{x}{x - 1}) = \frac{x}{x - 1} \cdot ((x - 1) \cdot 1)$

단계 8.3.6.2

공약수로 약분합니다.

$f (\frac{x}{x - 1}) = \frac{x}{x - 1} \cdot ((x - 1) \cdot 1)$

단계 8.3.6.3

수식을 다시 씁니다.

$f (\frac{x}{x - 1}) = x$

단계 8.4

$f^{- 1} (f (x)) = x$ 및 $f (f^{- 1} (x)) = x$ 이므로, $f^{- 1} (x) = \frac{x}{x - 1}$ 은 $f (x) = \frac{x}{x - 1}$ 의 역함수입니다.

$f^{- 1} (x) = \frac{x}{x - 1}$