삼각법 예제

$\cos (\arcsin (7 x))$

단계 1

변수를 서로 바꿉니다.

$x = \cos (\arcsin (7 y))$

단계 2

$y$ 에 대해 풉니다.

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단계 2.1

$\cos (\arcsin (7 y)) = x$ 로 방정식을 다시 씁니다.

$\cos (\arcsin (7 y)) = x$

단계 2.2

코사인 안의 $\arcsin (7 y)$ 를 꺼내기 위해 방정식 양변에 코사인의 역을 취합니다.

$\arcsin (7 y) = \arccos (x)$

단계 2.3

역사인 안의 $y$ 를 꺼내기 위해 방정식 양변에 역사인의 역을 취합니다.

$7 y = \sin (\arccos (x))$

단계 2.4

우변을 간단히 합니다.

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단계 2.4.1

$\sin (\arccos (x))$ 을 간단히 합니다.

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단계 2.4.1.1

지수를 사용하여 수식을 세웁니다.

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단계 2.4.1.1.1

평면에 $(x, \sqrt{1^{2} - x^{2}})$ , $(x, 0)$ , 원점을 꼭짓점으로 하는 삼각형을 그립니다. 그러면 $\arccos (x)$ 는 양의 x축과 원점에서 시작해서 $(x, \sqrt{1^{2} - x^{2}})$ 를 지나는 선 사이의 각이 됩니다. 따라서 $\sin (\arccos (x))$ 는 $\sqrt{1 - x^{2}}$ 입니다.

$7 y = \sqrt{1 - x^{2}}$

단계 2.4.1.1.2

$1$ 을 $1^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$7 y = \sqrt{1^{2} - x^{2}}$

단계 2.4.1.2

두 항 모두 완전제곱식이므로, 제곱의 차 공식 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 을 이용하여 인수분해합니다. 이 때 $a = 1$ 이고 $b = x$ 입니다.

$7 y = \sqrt{(1 + x) (1 - x)}$

단계 2.5

$7 y = \sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ 의 각 항을 $7$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

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단계 2.5.1

$7 y = \sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ 의 각 항을 $7$ 로 나눕니다.

$\frac{7 y}{7} = \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{7}$

단계 2.5.2

좌변을 간단히 합니다.

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단계 2.5.2.1

$7$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 2.5.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{7 y}{7} = \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{7}$

단계 2.5.2.1.2

$y$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$y = \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{7}$

단계 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{7}$

단계 4

증명하려면 $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{7}$ 가 $f (x) = \cos (\arcsin (7 x))$ 의 역함수인지 확인합니다.

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단계 4.1

역함수를 증명하려면 $f^{- 1} (f (x)) = x$ 및 $f (f^{- 1} (x)) = x$ 인지 확인합니다.

단계 4.2

$f^{- 1} (f (x))$ 의 값을 구합니다.

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단계 4.2.1

합성함수식을 세웁니다.

$f^{- 1} (f (x))$

단계 4.2.2

$f$ 값을 $f^{- 1}$ 에 대입하여 $f^{- 1} (\cos (\arcsin (7 x)))$ 값을 계산합니다.

$f^{- 1} (\cos (\arcsin (7 x))) = \frac{\sqrt{(1 + \cos (\arcsin (7 x))) (1 - (\cos (\arcsin (7 x))))}}{7}$

단계 4.2.3

괄호를 제거합니다.

$f^{- 1} (\cos (\arcsin (7 x))) = \frac{\sqrt{(1 + \cos (\arcsin (7 x))) (1 - (\cos (\arcsin (7 x))))}}{7}$

단계 4.2.4

분자를 간단히 합니다.

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단계 4.2.4.1

평면에 $(\sqrt{1^{2} - {(7 x)}^{2}}, 7 x)$ , $(\sqrt{1^{2} - {(7 x)}^{2}}, 0)$ , 원점을 꼭짓점으로 하는 삼각형을 그립니다. 그러면 $\arcsin (7 x)$ 는 양의 x축과 원점에서 시작해서 $(\sqrt{1^{2} - {(7 x)}^{2}}, 7 x)$ 를 지나는 선 사이의 각이 됩니다. 따라서 $\cos (\arcsin (7 x))$ 는 $\sqrt{1 - {(7 x)}^{2}}$ 입니다.

$f^{- 1} (\cos (\arcsin (7 x))) = \frac{\sqrt{(1 + \sqrt{1 - {(7 x)}^{2}}) (1 - \cos (\arcsin (7 x)))}}{7}$

단계 4.2.4.2

$1$ 을 $1^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$f^{- 1} (\cos (\arcsin (7 x))) = \frac{\sqrt{(1 + \sqrt{1^{2} - {(7 x)}^{2}}) (1 - \cos (\arcsin (7 x)))}}{7}$

단계 4.2.4.3

두 항 모두 완전제곱식이므로, 제곱의 차 공식 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 을 이용하여 인수분해합니다. 이 때 $a = 1$ 이고 $b = 7 x$ 입니다.

$f^{- 1} (\cos (\arcsin (7 x))) = \frac{\sqrt{(1 + \sqrt{(1 + 7 x) (1 - (7 x))}) (1 - \cos (\arcsin (7 x)))}}{7}$

단계 4.2.4.4

$7$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$f^{- 1} (\cos (\arcsin (7 x))) = \frac{\sqrt{(1 + \sqrt{(1 + 7 x) (1 - 7 x)}) (1 - \cos (\arcsin (7 x)))}}{7}$

단계 4.2.4.5

$f^{- 1} (\cos (\arcsin (7 x))) = \frac{\sqrt{(1 + \sqrt{(1 + 7 x) (1 - 7 x)}) (1 - \sqrt{1 - {(7 x)}^{2}})}}{7}$

단계 4.2.4.6

$1$ 을 $1^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$f^{- 1} (\cos (\arcsin (7 x))) = \frac{\sqrt{(1 + \sqrt{(1 + 7 x) (1 - 7 x)}) (1 - \sqrt{1^{2} - {(7 x)}^{2}})}}{7}$

단계 4.2.4.7

두 항 모두 완전제곱식이므로, 제곱의 차 공식 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 을 이용하여 인수분해합니다. 이 때 $a = 1$ 이고 $b = 7 x$ 입니다.

$f^{- 1} (\cos (\arcsin (7 x))) = \frac{\sqrt{(1 + \sqrt{(1 + 7 x) (1 - 7 x)}) (1 - \sqrt{(1 + 7 x) (1 - (7 x))})}}{7}$

단계 4.2.4.8

$7$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$f^{- 1} (\cos (\arcsin (7 x))) = \frac{\sqrt{(1 + \sqrt{(1 + 7 x) (1 - 7 x)}) (1 - \sqrt{(1 + 7 x) (1 - 7 x)})}}{7}$

단계 4.3

$f (f^{- 1} (x))$ 의 값을 구합니다.

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단계 4.3.1

합성함수식을 세웁니다.

$f (f^{- 1} (x))$

단계 4.3.2

$f^{- 1}$ 값을 $f$ 에 대입하여 $f (\frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{7})$ 값을 계산합니다.

$f (\frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{7}) = \cos (\arcsin (7 (\frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{7})))$

단계 4.3.3

분수를 통분합니다.

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단계 4.3.3.1

평면에 $(\sqrt{1^{2} - {(7 (\frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{7}))}^{2}}, 7 (\frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{7}))$ , $(\sqrt{1^{2} - {(7 (\frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{7}))}^{2}}, 0)$ , 원점을 꼭짓점으로 하는 삼각형을 그립니다. 그러면 $\arcsin (7 (\frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{7}))$ 는 양의 x축과 원점에서 시작해서 $(\sqrt{1^{2} - {(7 (\frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{7}))}^{2}}, 7 (\frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{7}))$ 를 지나는 선 사이의 각이 됩니다. 따라서 $\cos (\arcsin (7 (\frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{7})))$ 는 $\sqrt{1 - {(\frac{7 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{7})}^{2}}$ 입니다.

$f (\frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{7}) = \sqrt{1 - {(\frac{7 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{7})}^{2}}$

단계 4.3.3.2

$1$ 을 $1^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$f (\frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{7}) = \sqrt{1^{2} - {(\frac{7 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{7})}^{2}}$

단계 4.3.4

두 항 모두 완전제곱식이므로, 제곱의 차 공식 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 을 이용하여 인수분해합니다. 이 때 $a = 1$ 이고 $b = \frac{7 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{7}$ 입니다.

$f (\frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{7}) = \sqrt{(1 + \frac{7 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{7}) (1 - \frac{7 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{7})}$

단계 4.3.5

간단히 합니다.

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단계 4.3.5.1

$1$ 을(를) 공통분모가 있는 분수로 표현합니다.

$f (\frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{7}) = \sqrt{(\frac{7}{7} + \frac{7 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{7}) (1 - \frac{7 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{7})}$

단계 4.3.5.2

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$f (\frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{7}) = \sqrt{\frac{7 + 7 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{7} \cdot (1 - \frac{7 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{7})}$

단계 4.3.5.3

인수분해된 형태로 $\frac{7 + 7 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{7}$ 를 다시 씁니다.

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단계 4.3.5.3.1

$7 + 7 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ 에서 $7$ 를 인수분해합니다.

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단계 4.3.5.3.1.1

$7$ 에서 $7$ 를 인수분해합니다.

$f (\frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{7}) = \sqrt{\frac{7 \cdot 1 + 7 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{7} \cdot (1 - \frac{7 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{7})}$

단계 4.3.5.3.1.2

$7 \cdot 1 + 7 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ 에서 $7$ 를 인수분해합니다.

$f (\frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{7}) = \sqrt{\frac{7 (1 + \sqrt{(1 + x) (1 - x)})}{7} \cdot (1 - \frac{7 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{7})}$

단계 4.3.5.3.2

공약수를 소거하여 수식을 간단히 정리합니다.

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단계 4.3.5.3.2.1

공약수를 소거하여 수식 $\frac{7 (1 + \sqrt{(1 + x) (1 - x)})}{7}$ 을 간단히 정리합니다.

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단계 4.3.5.3.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$f (\frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{7}) = \sqrt{\frac{7 (1 + \sqrt{(1 + x) (1 - x)})}{7} \cdot (1 - \frac{7 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{7})}$

단계 4.3.5.3.2.1.2

수식을 다시 씁니다.

$f (\frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{7}) = \sqrt{\frac{1 + \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{1} \cdot (1 - \frac{7 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{7})}$

단계 4.3.5.3.2.2

$1 + \sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$f (\frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{7}) = \sqrt{(1 + \sqrt{(1 + x) (1 - x)}) (1 - \frac{7 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{7})}$

단계 4.3.5.4

$7$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 4.3.5.4.1

공약수로 약분합니다.

$f (\frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{7}) = \sqrt{(1 + \sqrt{(1 + x) (1 - x)}) (1 - \frac{7 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{7})}$

단계 4.3.5.4.2

$\sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$f (\frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{7}) = \sqrt{(1 + \sqrt{(1 + x) (1 - x)}) (1 - \sqrt{(1 + x) (1 - x)})}$

단계 4.4

$f^{- 1} (f (x)) = x$ 및 $f (f^{- 1} (x)) = x$ 이므로, $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{7}$ 은 $f (x) = \cos (\arcsin (7 x))$ 의 역함수입니다.

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{7}$