삼각법 예제

$f (t) = 3 e^{0.1 t}$

단계 1

$f (t) = 3 e^{0.1 t}$ 을(를) 방정식으로 씁니다.

$y = 3 e^{0.1 t}$

단계 2

변수를 서로 바꿉니다.

$t = 3 e^{0.1 y}$

단계 3

$y$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

$3 e^{0.1 y} = t$ 로 방정식을 다시 씁니다.

$3 e^{0.1 y} = t$

단계 3.2

$3 e^{0.1 y} = t$ 의 각 항을 $3$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1

$3 e^{0.1 y} = t$ 의 각 항을 $3$ 로 나눕니다.

$\frac{3 e^{0.1 y}}{3} = \frac{t}{3}$

단계 3.2.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.2.1

$3$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{3 e^{0.1 y}}{3} = \frac{t}{3}$

단계 3.2.2.1.2

$e^{0.1 y}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$e^{0.1 y} = \frac{t}{3}$

단계 3.3

지수에서 변수를 제거하기 위하여 방정식의 양변에 자연로그를 취합니다.

$\ln (e^{0.1 y}) = \ln (\frac{t}{3})$

단계 3.4

왼편을 확장합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.1

$0.1 y$ 을 로그 밖으로 내보내서 $\ln (e^{0.1 y})$ 을 전개합니다.

$0.1 y \ln (e) = \ln (\frac{t}{3})$

단계 3.4.2

$e$ 의 자연로그값은 $1$ 입니다.

$0.1 y \cdot 1 = \ln (\frac{t}{3})$

단계 3.4.3

$0.1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$0.1 y = \ln (\frac{t}{3})$

단계 3.5

$0.1 y = \ln (\frac{t}{3})$ 의 각 항을 $0.1$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.5.1

$0.1 y = \ln (\frac{t}{3})$ 의 각 항을 $0.1$ 로 나눕니다.

$\frac{0.1 y}{0.1} = \frac{\ln (\frac{t}{3})}{0.1}$

단계 3.5.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.5.2.1

$0.1$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.5.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{0.1 y}{0.1} = \frac{\ln (\frac{t}{3})}{0.1}$

단계 3.5.2.1.2

$y$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$y = \frac{\ln (\frac{t}{3})}{0.1}$

단계 3.5.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.5.3.1

$1$ 을 곱합니다.

$y = \frac{1 \ln (\frac{t}{3})}{0.1}$

단계 3.5.3.2

$0.1$ 에서 $0.1$ 를 인수분해합니다.

$y = \frac{1 \ln (\frac{t}{3})}{0.1 (1)}$

단계 3.5.3.3

분수를 나눕니다.

$y = \frac{1}{0.1} \cdot \frac{\ln (\frac{t}{3})}{1}$

단계 3.5.3.4

$1$ 을 $0.1$ 로 나눕니다.

$y = 10 \frac{\ln (\frac{t}{3})}{1}$

단계 3.5.3.5

$\ln (\frac{t}{3})$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$y = 10 \ln (\frac{t}{3})$

단계 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (t)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (t) = 10 \ln (\frac{t}{3})$

단계 5

증명하려면 $f^{- 1} (t) = 10 \ln (\frac{t}{3})$ 가 $f (t) = 3 e^{0.1 t}$ 의 역함수인지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

역함수를 증명하려면 $f^{- 1} (f (t)) = t$ 및 $f (f^{- 1} (t)) = t$ 인지 확인합니다.

단계 5.2

$f^{- 1} (f (t))$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.1

합성함수식을 세웁니다.

$f^{- 1} (f (t))$

단계 5.2.2

$f$ 값을 $f^{- 1}$ 에 대입하여 $f^{- 1} (3 e^{0.1 t})$ 값을 계산합니다.

$f^{- 1} (3 e^{0.1 t}) = 10 \ln (\frac{3 e^{0.1 t}}{3})$

단계 5.2.3

$3$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.3.1

공약수로 약분합니다.

$f^{- 1} (3 e^{0.1 t}) = 10 \ln (\frac{3 e^{0.1 t}}{3})$

단계 5.2.3.2

$e^{0.1 t}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$f^{- 1} (3 e^{0.1 t}) = 10 \ln (e^{0.1 t})$

단계 5.2.4

로그 공식을 이용해 지수에서 $0.1 t$ 를 바깥으로 빼냅니다.

$f^{- 1} (3 e^{0.1 t}) = 10 (0.1 t \ln (e))$

단계 5.2.5

$e$ 의 자연로그값은 $1$ 입니다.

$f^{- 1} (3 e^{0.1 t}) = 10 (0.1 t \cdot 1)$

단계 5.2.6

$0.1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f^{- 1} (3 e^{0.1 t}) = 10 (0.1 t)$

단계 5.2.7

$10 (0.1 t)$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.7.1

$0.1$ 에 $10$ 을 곱합니다.

$f^{- 1} (3 e^{0.1 t}) = 1 t$

단계 5.2.7.2

$t$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f^{- 1} (3 e^{0.1 t}) = t$

단계 5.3

$f (f^{- 1} (t))$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.1

합성함수식을 세웁니다.

$f (f^{- 1} (t))$

단계 5.3.2

$f^{- 1}$ 값을 $f$ 에 대입하여 $f (10 \ln (\frac{t}{3}))$ 값을 계산합니다.

$f (10 \ln (\frac{t}{3})) = 3 e^{0.1 (10 \ln (\frac{t}{3}))}$

단계 5.3.3

$10$ 를 로그 안으로 옮겨 $10 \ln (\frac{t}{3})$ 을 간단히 합니다.

$f (10 \ln (\frac{t}{3})) = 3 e^{0.1 \ln ({(\frac{t}{3})}^{10})}$

단계 5.3.4

$0.1$ 를 로그 안으로 옮겨 $0.1 \ln ({(\frac{t}{3})}^{10})$ 을 간단히 합니다.

$f (10 \ln (\frac{t}{3})) = 3 e^{\ln ({({(\frac{t}{3})}^{10})}^{0.1})}$

단계 5.3.5

지수와 로그는 역함수 관계입니다.

$f (10 \ln (\frac{t}{3})) = 3 {({(\frac{t}{3})}^{10})}^{0.1}$

단계 5.3.6

${({(\frac{t}{3})}^{10})}^{0.1}$ 의 지수를 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.6.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$f (10 \ln (\frac{t}{3})) = 3 {(\frac{t}{3})}^{10 \cdot 0.1}$

단계 5.3.6.2

$10$ 에 $0.1$ 을 곱합니다.

$f (10 \ln (\frac{t}{3})) = 3 (\frac{t}{3})$

단계 5.3.7

$3$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.7.1

공약수로 약분합니다.

$f (10 \ln (\frac{t}{3})) = 3 (\frac{t}{3})$

단계 5.3.7.2

수식을 다시 씁니다.

$f (10 \ln (\frac{t}{3})) = t$

단계 5.4

$f^{- 1} (f (t)) = t$ 및 $f (f^{- 1} (t)) = t$ 이므로, $f^{- 1} (t) = 10 \ln (\frac{t}{3})$ 은 $f (t) = 3 e^{0.1 t}$ 의 역함수입니다.

$f^{- 1} (t) = 10 \ln (\frac{t}{3})$