삼각법 예제

$y = \log_{2} (x + 1)$

단계 1

변수를 서로 바꿉니다.

$x = \log_{2} (y + 1)$

단계 2

$y$ 에 대해 풉니다.

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단계 2.1

$\log_{2} (y + 1) = x$ 로 방정식을 다시 씁니다.

$\log_{2} (y + 1) = x$

단계 2.2

로그의 정의를 이용하여 $\log_{2} (y + 1) = x$ 를 지수 형태로 다시 씁니다. 만약 $x$ 와 $b$ 가 양의 실수와 $b \neq 1$ 이면, $\log_{b} (x) = y$ 는 $b^{y} = x$ 와 같습니다.

$2^{x} = y + 1$

단계 2.3

$y$ 에 대해 풉니다.

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단계 2.3.1

$y + 1 = 2^{x}$ 로 방정식을 다시 씁니다.

$y + 1 = 2^{x}$

단계 2.3.2

방정식의 양변에서 $1$ 를 뺍니다.

$y = 2^{x} - 1$

단계 3

$y$ 에 $f^{- 1} (x)$ 을 대입하여 최종 답을 얻습니다.

$f^{- 1} (x) = 2^{x} - 1$

단계 4

증명하려면 $f^{- 1} (x) = 2^{x} - 1$ 가 $f (x) = \log_{2} (x + 1)$ 의 역함수인지 확인합니다.

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단계 4.1

역함수를 증명하려면 $f^{- 1} (f (x)) = x$ 및 $f (f^{- 1} (x)) = x$ 인지 확인합니다.

단계 4.2

$f^{- 1} (f (x))$ 의 값을 구합니다.

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단계 4.2.1

합성함수식을 세웁니다.

$f^{- 1} (f (x))$

단계 4.2.2

$f$ 값을 $f^{- 1}$ 에 대입하여 $f^{- 1} (\log_{2} (x + 1))$ 값을 계산합니다.

$f^{- 1} (\log_{2} (x + 1)) = 2^{\log_{2} (x + 1)} - 1$

단계 4.2.3

지수와 로그는 역함수 관계입니다.

$f^{- 1} (\log_{2} (x + 1)) = x + 1 - 1$

단계 4.2.4

$x + 1 - 1$ 의 반대 항을 묶습니다.

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단계 4.2.4.1

$1$ 에서 $1$ 을 뺍니다.

$f^{- 1} (\log_{2} (x + 1)) = x + 0$

단계 4.2.4.2

$x$ 를 $0$ 에 더합니다.

$f^{- 1} (\log_{2} (x + 1)) = x$

단계 4.3

$f (f^{- 1} (x))$ 의 값을 구합니다.

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단계 4.3.1

합성함수식을 세웁니다.

$f (f^{- 1} (x))$

단계 4.3.2

$f^{- 1}$ 값을 $f$ 에 대입하여 $f (2^{x} - 1)$ 값을 계산합니다.

$f (2^{x} - 1) = \log_{2} ((2^{x} - 1) + 1)$

단계 4.3.3

$(2^{x} - 1) + 1$ 의 반대 항을 묶습니다.

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단계 4.3.3.1

$- 1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$f (2^{x} - 1) = \log_{2} (2^{x} + 0)$

단계 4.3.3.2

$2^{x}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$f (2^{x} - 1) = \log_{2} (2^{x})$

단계 4.3.4

로그 공식을 이용해 지수에서 $x$ 를 바깥으로 빼냅니다.

$f (2^{x} - 1) = x \log_{2} (2)$

단계 4.3.5

$2$ 에 밑이 $2$ 인 로그를 취하면 $1$ 이 됩니다.

$f (2^{x} - 1) = x \cdot 1$

단계 4.3.6

$x$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f (2^{x} - 1) = x$

단계 4.4

$f^{- 1} (f (x)) = x$ 및 $f (f^{- 1} (x)) = x$ 이므로, $f^{- 1} (x) = 2^{x} - 1$ 은 $f (x) = \log_{2} (x + 1)$ 의 역함수입니다.

$f^{- 1} (x) = 2^{x} - 1$