삼각법 예제

$\tan (\arccos (5 x))$

단계 1

변수를 서로 바꿉니다.

$x = \tan (\arccos (5 y))$

단계 2

$y$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

$\tan (\arccos (5 y)) = x$ 로 방정식을 다시 씁니다.

$\tan (\arccos (5 y)) = x$

단계 2.2

탄젠트 안의 $\arccos (5 y)$ 를 꺼내기 위해 방정식 양변에 탄젠트의 역을 취합니다.

$\arccos (5 y) = \arctan (x)$

단계 2.3

역코사인 안의 $y$ 를 꺼내기 위해 방정식 양변에 역코사인의 역을 취합니다.

$5 y = \cos (\arctan (x))$

단계 2.4

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.4.1

$\cos (\arctan (x))$ 을 간단히 합니다.

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단계 2.4.1.1

평면에 $(1, x)$ , $(1, 0)$ , 원점을 꼭짓점으로 하는 삼각형을 그립니다. 그러면 $\arctan (x)$ 는 양의 x축과 원점에서 시작해서 $(1, x)$ 를 지나는 선 사이의 각이 됩니다. 따라서 $\cos (\arctan (x))$ 는 $\frac{1}{\sqrt{1 + x^{2}}}$ 입니다.

$5 y = \frac{1}{\sqrt{1 + x^{2}}}$

단계 2.4.1.2

$\frac{1}{\sqrt{1 + x^{2}}}$ 에 $\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{\sqrt{1 + x^{2}}}$ 을 곱합니다.

$5 y = \frac{1}{\sqrt{1 + x^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{\sqrt{1 + x^{2}}}$

단계 2.4.1.3

분모를 결합하고 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.4.1.3.1

$\frac{1}{\sqrt{1 + x^{2}}}$ 에 $\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{\sqrt{1 + x^{2}}}$ 을 곱합니다.

$5 y = \frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{\sqrt{1 + x^{2}} \sqrt{1 + x^{2}}}$

단계 2.4.1.3.2

$\sqrt{1 + x^{2}}$ 를 $1$ 승 합니다.

$5 y = \frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{{\sqrt{1 + x^{2}}}^{1} \sqrt{1 + x^{2}}}$

단계 2.4.1.3.3

$\sqrt{1 + x^{2}}$ 를 $1$ 승 합니다.

$5 y = \frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{{\sqrt{1 + x^{2}}}^{1} {\sqrt{1 + x^{2}}}^{1}}$

단계 2.4.1.3.4

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$5 y = \frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{{\sqrt{1 + x^{2}}}^{1 + 1}}$

단계 2.4.1.3.5

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$5 y = \frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{{\sqrt{1 + x^{2}}}^{2}}$

단계 2.4.1.3.6

${\sqrt{1 + x^{2}}}^{2}$ 을 $1 + x^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

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단계 2.4.1.3.6.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{1 + x^{2}}$ 을(를) ${(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$5 y = \frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{{({(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

단계 2.4.1.3.6.2

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$5 y = \frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

단계 2.4.1.3.6.3

$\frac{1}{2}$ 와 $2$ 을 묶습니다.

$5 y = \frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{2}{2}}}$

단계 2.4.1.3.6.4

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 2.4.1.3.6.4.1

공약수로 약분합니다.

$5 y = \frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{2}{2}}}$

단계 2.4.1.3.6.4.2

수식을 다시 씁니다.

$5 y = \frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{{(1 + x^{2})}^{1}}$

단계 2.4.1.3.6.5

간단히 합니다.

$5 y = \frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}}$

단계 2.5

$5 y = \frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}}$ 의 각 항을 $5$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

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단계 2.5.1

$5 y = \frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}}$ 의 각 항을 $5$ 로 나눕니다.

$\frac{5 y}{5} = \frac{\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}}}{5}$

단계 2.5.2

좌변을 간단히 합니다.

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단계 2.5.2.1

$5$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 2.5.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{5 y}{5} = \frac{\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}}}{5}$

단계 2.5.2.1.2

$y$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$y = \frac{\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}}}{5}$

단계 2.5.3

우변을 간단히 합니다.

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단계 2.5.3.1

분자에 분모의 역수를 곱합니다.

$y = \frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} \cdot \frac{1}{5}$

단계 2.5.3.2

$\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}}$ 에 $\frac{1}{5}$ 을 곱합니다.

$y = \frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{(1 + x^{2}) \cdot 5}$

단계 2.5.3.3

$1 + x^{2}$ 의 왼쪽으로 $5$ 이동하기

$y = \frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{5 (1 + x^{2})}$

단계 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{5 (1 + x^{2})}$

단계 4

증명하려면 $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{5 (1 + x^{2})}$ 가 $f (x) = \tan (\arccos (5 x))$ 의 역함수인지 확인합니다.

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단계 4.1

역함수를 증명하려면 $f^{- 1} (f (x)) = x$ 및 $f (f^{- 1} (x)) = x$ 인지 확인합니다.

단계 4.2

$f^{- 1} (f (x))$ 의 값을 구합니다.

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단계 4.2.1

합성함수식을 세웁니다.

$f^{- 1} (f (x))$

단계 4.2.2

$f$ 값을 $f^{- 1}$ 에 대입하여 $f^{- 1} (\tan (\arccos (5 x)))$ 값을 계산합니다.

$f^{- 1} (\tan (\arccos (5 x))) = \frac{\sqrt{1 + \tan^{2} (\arccos (5 x))}}{5 (1 + \tan^{2} (\arccos (5 x)))}$

단계 4.2.3

항을 다시 배열합니다.

$f^{- 1} (\tan (\arccos (5 x))) = \frac{\sqrt{\tan^{2} (\arccos (5 x)) + 1}}{5 (1 + \tan^{2} (\arccos (5 x)))}$

단계 4.2.4

피타고라스의 정리를 적용합니다.

$f^{- 1} (\tan (\arccos (5 x))) = \frac{\sqrt{\sec^{2} (\arccos (5 x))}}{5 (1 + \tan^{2} (\arccos (5 x)))}$

단계 4.2.5

항을 다시 배열합니다.

$f^{- 1} (\tan (\arccos (5 x))) = \frac{\sqrt{\sec^{2} (\arccos (5 x))}}{5 (\tan^{2} (\arccos (5 x)) + 1)}$

단계 4.2.6

피타고라스의 정리를 적용합니다.

$f^{- 1} (\tan (\arccos (5 x))) = \frac{\sqrt{\sec^{2} (\arccos (5 x))}}{5 \sec^{2} (\arccos (5 x))}$

단계 4.2.7

분자를 간단히 합니다.

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단계 4.2.7.1

양의 실수로 가정하여 근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$f^{- 1} (\tan (\arccos (5 x))) = \frac{\sec (\arccos (5 x))}{5 \sec^{2} (\arccos (5 x))}$

단계 4.2.7.2

평면에 $(5 x, \sqrt{1^{2} - {(5 x)}^{2}})$ , $(5 x, 0)$ , 원점을 꼭짓점으로 하는 삼각형을 그립니다. 그러면 $\arccos (5 x)$ 는 양의 x축과 원점에서 시작해서 $(5 x, \sqrt{1^{2} - {(5 x)}^{2}})$ 를 지나는 선 사이의 각이 됩니다. 따라서 $\sec (\arccos (5 x))$ 는 $\frac{1}{5 x}$ 입니다.

$f^{- 1} (\tan (\arccos (5 x))) = \frac{\frac{1}{5 x}}{5 \sec^{2} (\arccos (5 x))}$

단계 4.2.8

분모를 간단히 합니다.

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단계 4.2.8.1

$f^{- 1} (\tan (\arccos (5 x))) = \frac{\frac{1}{5 x}}{5 {(\frac{1}{5 x})}^{2}}$

단계 4.2.8.2

지수 법칙 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ 을 이용하여 지수를 분배합니다.

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단계 4.2.8.2.1

$\frac{1}{5 x}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$f^{- 1} (\tan (\arccos (5 x))) = \frac{\frac{1}{5 x}}{5 (\frac{1^{2}}{{(5 x)}^{2}})}$

단계 4.2.8.2.2

$5 x$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$f^{- 1} (\tan (\arccos (5 x))) = \frac{\frac{1}{5 x}}{5 (\frac{1^{2}}{5^{2} x^{2}})}$

단계 4.2.8.3

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$f^{- 1} (\tan (\arccos (5 x))) = \frac{\frac{1}{5 x}}{5 (\frac{1}{5^{2} x^{2}})}$

단계 4.2.8.4

$5$ 를 $2$ 승 합니다.

$f^{- 1} (\tan (\arccos (5 x))) = \frac{\frac{1}{5 x}}{5 (\frac{1}{25 x^{2}})}$

단계 4.2.9

항을 간단히 합니다.

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단계 4.2.9.1

$5$ 와 $\frac{1}{25 x^{2}}$ 을 묶습니다.

$f^{- 1} (\tan (\arccos (5 x))) = \frac{\frac{1}{5 x}}{\frac{5}{25 x^{2}}}$

단계 4.2.9.2

공약수를 소거하여 수식 $\frac{5}{25 x^{2}}$ 을 간단히 정리합니다.

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단계 4.2.9.2.1

$5$ 에서 $5$ 를 인수분해합니다.

$f^{- 1} (\tan (\arccos (5 x))) = \frac{\frac{1}{5 x}}{\frac{5 (1)}{25 x^{2}}}$

단계 4.2.9.2.2

$25 x^{2}$ 에서 $5$ 를 인수분해합니다.

$f^{- 1} (\tan (\arccos (5 x))) = \frac{\frac{1}{5 x}}{\frac{5 (1)}{5 (5 x^{2})}}$

단계 4.2.9.2.3

공약수로 약분합니다.

$f^{- 1} (\tan (\arccos (5 x))) = \frac{\frac{1}{5 x}}{\frac{5 \cdot 1}{5 (5 x^{2})}}$

단계 4.2.9.2.4

수식을 다시 씁니다.

$f^{- 1} (\tan (\arccos (5 x))) = \frac{\frac{1}{5 x}}{\frac{1}{5 x^{2}}}$

단계 4.2.10

분자에 분모의 역수를 곱합니다.

$f^{- 1} (\tan (\arccos (5 x))) = \frac{1}{5 x} \cdot (5 x^{2})$

단계 4.2.11

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$f^{- 1} (\tan (\arccos (5 x))) = 5 (\frac{1}{5 x}) \cdot x^{2}$

단계 4.2.12

$5$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 4.2.12.1

$5 x$ 에서 $5$ 를 인수분해합니다.

$f^{- 1} (\tan (\arccos (5 x))) = 5 (\frac{1}{5 (x)}) \cdot x^{2}$

단계 4.2.12.2

공약수로 약분합니다.

$f^{- 1} (\tan (\arccos (5 x))) = 5 (\frac{1}{5 x}) \cdot x^{2}$

단계 4.2.12.3

수식을 다시 씁니다.

$f^{- 1} (\tan (\arccos (5 x))) = \frac{1}{x} \cdot x^{2}$

단계 4.2.13

$x$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 4.2.13.1

$x^{2}$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$f^{- 1} (\tan (\arccos (5 x))) = \frac{1}{x} \cdot (x \cdot x)$

단계 4.2.13.2

공약수로 약분합니다.

$f^{- 1} (\tan (\arccos (5 x))) = \frac{1}{x} \cdot (x \cdot x)$

단계 4.2.13.3

수식을 다시 씁니다.

$f^{- 1} (\tan (\arccos (5 x))) = x$

단계 4.3

$f (f^{- 1} (x))$ 의 값을 구합니다.

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단계 4.3.1

합성함수식을 세웁니다.

$f (f^{- 1} (x))$

단계 4.3.2

$f^{- 1}$ 값을 $f$ 에 대입하여 $f (\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{5 (1 + x^{2})})$ 값을 계산합니다.

$f (\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{5 (1 + x^{2})}) = \tan (\arccos (5 (\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{5 (1 + x^{2})})))$

단계 4.3.3

평면에 $(5 (\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{5 (1 + x^{2})}), \sqrt{1^{2} - {(5 (\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{5 (1 + x^{2})}))}^{2}})$ , $(5 (\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{5 (1 + x^{2})}), 0)$ , 원점을 꼭짓점으로 하는 삼각형을 그립니다. 그러면 $\arccos (5 (\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{5 (1 + x^{2})}))$ 는 양의 x축과 원점에서 시작해서 $(5 (\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{5 (1 + x^{2})}), \sqrt{1^{2} - {(5 (\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{5 (1 + x^{2})}))}^{2}})$ 를 지나는 선 사이의 각이 됩니다. 따라서 $\tan (\arccos (5 (\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{5 (1 + x^{2})})))$ 는 $\frac{\sqrt{1 - {(\frac{5 \sqrt{1 + x^{2}}}{5 (1 + x^{2})})}^{2}}}{\frac{5 \sqrt{1 + x^{2}}}{5 (1 + x^{2})}}$ 입니다.

$f (\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{5 (1 + x^{2})}) = \frac{\sqrt{1 - {(\frac{5 \sqrt{1 + x^{2}}}{5 (1 + x^{2})})}^{2}}}{\frac{5 \sqrt{1 + x^{2}}}{5 (1 + x^{2})}}$

단계 4.3.4

$5$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.4.1

공약수로 약분합니다.

$f (\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{5 (1 + x^{2})}) = \frac{\sqrt{1 - {(\frac{5 \sqrt{1 + x^{2}}}{5 (1 + x^{2})})}^{2}}}{\frac{5 \sqrt{1 + x^{2}}}{5 (1 + x^{2})}}$

단계 4.3.4.2

수식을 다시 씁니다.

$f (\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{5 (1 + x^{2})}) = \frac{\sqrt{1 - {(\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}})}^{2}}}{\frac{5 \sqrt{1 + x^{2}}}{5 (1 + x^{2})}}$

단계 4.3.5

$5$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.5.1

공약수로 약분합니다.

$f (\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{5 (1 + x^{2})}) = \frac{\sqrt{1 - {(\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}})}^{2}}}{\frac{5 \sqrt{1 + x^{2}}}{5 (1 + x^{2})}}$

단계 4.3.5.2

수식을 다시 씁니다.

$f (\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{5 (1 + x^{2})}) = \frac{\sqrt{1 - {(\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}})}^{2}}}{\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}}}$

단계 4.3.6

분자에 분모의 역수를 곱합니다.

$f (\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{5 (1 + x^{2})}) = \sqrt{1 - {(\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}})}^{2}} (\frac{1 + x^{2}}{\sqrt{1 + x^{2}}})$

단계 4.3.7

$1$ 을 $1^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$f (\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{5 (1 + x^{2})}) = \sqrt{1^{2} - {(\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}})}^{2}} (\frac{1 + x^{2}}{\sqrt{1 + x^{2}}})$

단계 4.3.8

두 항 모두 완전제곱식이므로, 제곱의 차 공식 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 을 이용하여 인수분해합니다. 이 때 $a = 1$ 이고 $b = \frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}}$ 입니다.

$f (\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{5 (1 + x^{2})}) = \sqrt{(1 + \frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}}) (1 - \frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}})} (\frac{1 + x^{2}}{\sqrt{1 + x^{2}}})$

단계 4.3.9

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.9.1

$1$ 을(를) 공통분모가 있는 분수로 표현합니다.

$f (\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{5 (1 + x^{2})}) = \sqrt{(\frac{1 + x^{2}}{1 + x^{2}} + \frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}}) (1 - \frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}})} (\frac{1 + x^{2}}{\sqrt{1 + x^{2}}})$

단계 4.3.9.2

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$f (\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{5 (1 + x^{2})}) = \sqrt{\frac{1 + x^{2} + \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} \cdot (1 - \frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}})} (\frac{1 + x^{2}}{\sqrt{1 + x^{2}}})$

단계 4.3.9.3

$1$ 을(를) 공통분모가 있는 분수로 표현합니다.

$f (\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{5 (1 + x^{2})}) = \sqrt{\frac{1 + x^{2} + \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} \cdot (\frac{1 + x^{2}}{1 + x^{2}} - \frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}})} (\frac{1 + x^{2}}{\sqrt{1 + x^{2}}})$

단계 4.3.9.4

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$f (\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{5 (1 + x^{2})}) = \sqrt{\frac{1 + x^{2} + \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} \cdot \frac{1 + x^{2} - \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}}} (\frac{1 + x^{2}}{\sqrt{1 + x^{2}}})$

단계 4.3.10

$\frac{1 + x^{2} + \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}}$ 에 $\frac{1 + x^{2} - \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}}$ 을 곱합니다.

$f (\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{5 (1 + x^{2})}) = \sqrt{\frac{(1 + x^{2} + \sqrt{1 + x^{2}}) (1 + x^{2} - \sqrt{1 + x^{2}})}{(1 + x^{2}) (1 + x^{2})}} (\frac{1 + x^{2}}{\sqrt{1 + x^{2}}})$

단계 4.3.11

분모를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.11.1

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$f (\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{5 (1 + x^{2})}) = \sqrt{\frac{(1 + x^{2} + \sqrt{1 + x^{2}}) (1 + x^{2} - \sqrt{1 + x^{2}})}{{(1 + x^{2})}^{1 + 1}}} (\frac{1 + x^{2}}{\sqrt{1 + x^{2}}})$

단계 4.3.11.2

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$f (\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{5 (1 + x^{2})}) = \sqrt{\frac{(1 + x^{2} + \sqrt{1 + x^{2}}) (1 + x^{2} - \sqrt{1 + x^{2}})}{{(1 + x^{2})}^{2}}} (\frac{1 + x^{2}}{\sqrt{1 + x^{2}}})$

단계 4.3.12

$\frac{(1 + x^{2} + \sqrt{1 + x^{2}}) (1 + x^{2} - \sqrt{1 + x^{2}})}{{(1 + x^{2})}^{2}}$ 을 ${(\frac{1}{1 + x^{2}})}^{2} ((1 + x^{2} + \sqrt{1 + x^{2}}) (1 + x^{2} - \sqrt{1 + x^{2}}))$ 로 바꿔 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.12.1

$(1 + x^{2} + \sqrt{1 + x^{2}}) (1 + x^{2} - \sqrt{1 + x^{2}})$ 에서 완전제곱인 $1^{2}$ 인수를 묶습니다.

$f (\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{5 (1 + x^{2})}) = \sqrt{\frac{1^{2} ((1 + x^{2} + \sqrt{1 + x^{2}}) (1 + x^{2} - \sqrt{1 + x^{2}}))}{{(1 + x^{2})}^{2}}} (\frac{1 + x^{2}}{\sqrt{1 + x^{2}}})$

단계 4.3.12.2

${(1 + x^{2})}^{2}$ 에서 완전제곱인 ${(1 + x^{2})}^{2}$ 인수를 묶습니다.

$f (\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{5 (1 + x^{2})}) = \sqrt{\frac{1^{2} ((1 + x^{2} + \sqrt{1 + x^{2}}) (1 + x^{2} - \sqrt{1 + x^{2}}))}{{(1 + x^{2})}^{2} \cdot 1}} (\frac{1 + x^{2}}{\sqrt{1 + x^{2}}})$

단계 4.3.12.3

분수 $\frac{1^{2} ((1 + x^{2} + \sqrt{1 + x^{2}}) (1 + x^{2} - \sqrt{1 + x^{2}}))}{{(1 + x^{2})}^{2} \cdot 1}$ 를 다시 정렬합니다.

$f (\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{5 (1 + x^{2})}) = \sqrt{{(\frac{1}{1 + x^{2}})}^{2} ((1 + x^{2} + \sqrt{1 + x^{2}}) (1 + x^{2} - \sqrt{1 + x^{2}}))} (\frac{1 + x^{2}}{\sqrt{1 + x^{2}}})$

단계 4.3.13

근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$f (\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{5 (1 + x^{2})}) = \frac{1}{1 + x^{2}} \cdot (\sqrt{(1 + x^{2} + \sqrt{1 + x^{2}}) (1 + x^{2} - \sqrt{1 + x^{2}})} (\frac{1 + x^{2}}{\sqrt{1 + x^{2}}}))$

단계 4.3.14

$\frac{1}{1 + x^{2}}$ 와 $\sqrt{(1 + x^{2} + \sqrt{1 + x^{2}}) (1 + x^{2} - \sqrt{1 + x^{2}})}$ 을 묶습니다.

$f (\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{5 (1 + x^{2})}) = \frac{\sqrt{(1 + x^{2} + \sqrt{1 + x^{2}}) (1 + x^{2} - \sqrt{1 + x^{2}})}}{1 + x^{2}} \cdot \frac{1 + x^{2}}{\sqrt{1 + x^{2}}}$

단계 4.3.15

$1 + x^{2}$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.15.1

공약수로 약분합니다.

$f (\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{5 (1 + x^{2})}) = \frac{\sqrt{(1 + x^{2} + \sqrt{1 + x^{2}}) (1 + x^{2} - \sqrt{1 + x^{2}})}}{1 + x^{2}} \cdot \frac{1 + x^{2}}{\sqrt{1 + x^{2}}}$

단계 4.3.15.2

수식을 다시 씁니다.

$f (\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{5 (1 + x^{2})}) = \sqrt{(1 + x^{2} + \sqrt{1 + x^{2}}) (1 + x^{2} - \sqrt{1 + x^{2}})} (\frac{1}{\sqrt{1 + x^{2}}})$

단계 4.3.16

$\sqrt{(1 + x^{2} + \sqrt{1 + x^{2}}) (1 + x^{2} - \sqrt{1 + x^{2}})}$ 와 $\frac{1}{\sqrt{1 + x^{2}}}$ 을 묶습니다.

$f (\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{5 (1 + x^{2})}) = \frac{\sqrt{(1 + x^{2} + \sqrt{1 + x^{2}}) (1 + x^{2} - \sqrt{1 + x^{2}})}}{\sqrt{1 + x^{2}}}$

단계 4.3.17

$\frac{\sqrt{(1 + x^{2} + \sqrt{1 + x^{2}}) (1 + x^{2} - \sqrt{1 + x^{2}})}}{\sqrt{1 + x^{2}}}$ 에 $\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{\sqrt{1 + x^{2}}}$ 을 곱합니다.

$f (\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{5 (1 + x^{2})}) = \frac{\sqrt{(1 + x^{2} + \sqrt{1 + x^{2}}) (1 + x^{2} - \sqrt{1 + x^{2}})}}{\sqrt{1 + x^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{\sqrt{1 + x^{2}}}$

단계 4.3.18

분모를 결합하고 간단히 합니다.

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단계 4.3.18.1

$\frac{\sqrt{(1 + x^{2} + \sqrt{1 + x^{2}}) (1 + x^{2} - \sqrt{1 + x^{2}})}}{\sqrt{1 + x^{2}}}$ 에 $\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{\sqrt{1 + x^{2}}}$ 을 곱합니다.

$f (\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{5 (1 + x^{2})}) = \frac{\sqrt{(1 + x^{2} + \sqrt{1 + x^{2}}) (1 + x^{2} - \sqrt{1 + x^{2}})} \sqrt{1 + x^{2}}}{\sqrt{1 + x^{2}} \sqrt{1 + x^{2}}}$

단계 4.3.18.2

$\sqrt{1 + x^{2}}$ 를 $1$ 승 합니다.

$f (\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{5 (1 + x^{2})}) = \frac{\sqrt{(1 + x^{2} + \sqrt{1 + x^{2}}) (1 + x^{2} - \sqrt{1 + x^{2}})} \sqrt{1 + x^{2}}}{\sqrt{1 + x^{2}} \sqrt{1 + x^{2}}}$

단계 4.3.18.3

$\sqrt{1 + x^{2}}$ 를 $1$ 승 합니다.

$f (\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{5 (1 + x^{2})}) = \frac{\sqrt{(1 + x^{2} + \sqrt{1 + x^{2}}) (1 + x^{2} - \sqrt{1 + x^{2}})} \sqrt{1 + x^{2}}}{\sqrt{1 + x^{2}} \sqrt{1 + x^{2}}}$

단계 4.3.18.4

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$f (\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{5 (1 + x^{2})}) = \frac{\sqrt{(1 + x^{2} + \sqrt{1 + x^{2}}) (1 + x^{2} - \sqrt{1 + x^{2}})} \sqrt{1 + x^{2}}}{{\sqrt{1 + x^{2}}}^{1 + 1}}$

단계 4.3.18.5

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$f (\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{5 (1 + x^{2})}) = \frac{\sqrt{(1 + x^{2} + \sqrt{1 + x^{2}}) (1 + x^{2} - \sqrt{1 + x^{2}})} \sqrt{1 + x^{2}}}{{\sqrt{1 + x^{2}}}^{2}}$

단계 4.3.18.6

${\sqrt{1 + x^{2}}}^{2}$ 을 $1 + x^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

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단계 4.3.18.6.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{1 + x^{2}}$ 을(를) ${(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$f (\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{5 (1 + x^{2})}) = \frac{\sqrt{(1 + x^{2} + \sqrt{1 + x^{2}}) (1 + x^{2} - \sqrt{1 + x^{2}})} \sqrt{1 + x^{2}}}{{({(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

단계 4.3.18.6.2

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$f (\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{5 (1 + x^{2})}) = \frac{\sqrt{(1 + x^{2} + \sqrt{1 + x^{2}}) (1 + x^{2} - \sqrt{1 + x^{2}})} \sqrt{1 + x^{2}}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

단계 4.3.18.6.3

$\frac{1}{2}$ 와 $2$ 을 묶습니다.

$f (\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{5 (1 + x^{2})}) = \frac{\sqrt{(1 + x^{2} + \sqrt{1 + x^{2}}) (1 + x^{2} - \sqrt{1 + x^{2}})} \sqrt{1 + x^{2}}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{2}{2}}}$

단계 4.3.18.6.4

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 4.3.18.6.4.1

공약수로 약분합니다.

$f (\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{5 (1 + x^{2})}) = \frac{\sqrt{(1 + x^{2} + \sqrt{1 + x^{2}}) (1 + x^{2} - \sqrt{1 + x^{2}})} \sqrt{1 + x^{2}}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{2}{2}}}$

단계 4.3.18.6.4.2

수식을 다시 씁니다.

$f (\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{5 (1 + x^{2})}) = \frac{\sqrt{(1 + x^{2} + \sqrt{1 + x^{2}}) (1 + x^{2} - \sqrt{1 + x^{2}})} \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}}$

단계 4.3.18.6.5

간단히 합니다.

$f (\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{5 (1 + x^{2})}) = \frac{\sqrt{(1 + x^{2} + \sqrt{1 + x^{2}}) (1 + x^{2} - \sqrt{1 + x^{2}})} \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}}$

단계 4.3.19

근호의 곱의 미분 법칙을 사용하여 묶습니다.

$f (\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{5 (1 + x^{2})}) = \frac{\sqrt{(1 + x^{2} + \sqrt{1 + x^{2}}) (1 + x^{2} - \sqrt{1 + x^{2}}) (1 + x^{2})}}{1 + x^{2}}$

단계 4.4

$f^{- 1} (f (x)) = x$ 및 $f (f^{- 1} (x)) = x$ 이므로, $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{5 (1 + x^{2})}$ 은 $f (x) = \tan (\arccos (5 x))$ 의 역함수입니다.

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{5 (1 + x^{2})}$