삼각법 예제

$\frac{\sqrt{2} - \sqrt{2} i}{2} = {(\frac{\sqrt{2}}{1 - i})}^{x}$

단계 1

${(\frac{\sqrt{2}}{1 - i})}^{x} = \frac{\sqrt{2} - \sqrt{2} i}{2}$ 로 방정식을 다시 씁니다.

${(\frac{\sqrt{2}}{1 - i})}^{x} = \frac{\sqrt{2} - \sqrt{2} i}{2}$

단계 2

지수에서 변수를 제거하기 위하여 방정식의 양변에 자연로그를 취합니다.

$\ln ({(\frac{\sqrt{2}}{1 - i})}^{x}) = \ln (\frac{\sqrt{2} - \sqrt{2} i}{2})$

단계 3

왼편을 확장합니다.

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단계 3.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{2}$ 을(를) $2^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$\ln ({(\frac{2^{\frac{1}{2}}}{1 - i})}^{x}) = \ln (\frac{\sqrt{2} - \sqrt{2} i}{2})$

단계 3.2

$x$ 을 로그 밖으로 내보내서 $\ln ({(\frac{2^{\frac{1}{2}}}{1 - i})}^{x})$ 을 전개합니다.

$x \ln (\frac{2^{\frac{1}{2}}}{1 - i}) = \ln (\frac{\sqrt{2} - \sqrt{2} i}{2})$

단계 3.3

분모를 실수로 만들려면 $\frac{2^{\frac{1}{2}}}{1 - i}$ 의 분자와 분모에 $1 - i$ 의 켤레복소수를 곱합니다.

$x \ln (\frac{2^{\frac{1}{2}}}{1 - i} \cdot \frac{1 + i}{1 + i}) = \ln (\frac{\sqrt{2} - \sqrt{2} i}{2})$

단계 3.4

곱합니다.

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단계 3.4.1

조합합니다.

$x \ln (\frac{2^{\frac{1}{2}} (1 + i)}{(1 - i) (1 + i)}) = \ln (\frac{\sqrt{2} - \sqrt{2} i}{2})$

단계 3.4.2

분자를 간단히 합니다.

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단계 3.4.2.1

분배 법칙을 적용합니다.

$x \ln (\frac{2^{\frac{1}{2}} \cdot 1 + 2^{\frac{1}{2}} i}{(1 - i) (1 + i)}) = \ln (\frac{\sqrt{2} - \sqrt{2} i}{2})$

단계 3.4.2.2

$2^{\frac{1}{2}}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$x \ln (\frac{2^{\frac{1}{2}} + 2^{\frac{1}{2}} i}{(1 - i) (1 + i)}) = \ln (\frac{\sqrt{2} - \sqrt{2} i}{2})$

단계 3.4.2.3

$2^{\frac{1}{2}} + 2^{\frac{1}{2}} i$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$x \ln (\frac{2^{\frac{1}{2}} + i \cdot 2^{\frac{1}{2}}}{(1 - i) (1 + i)}) = \ln (\frac{\sqrt{2} - \sqrt{2} i}{2})$

단계 3.4.3

분모를 간단히 합니다.

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단계 3.4.3.1

FOIL 계산법을 이용하여 $(1 - i) (1 + i)$ 를 전개합니다.

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단계 3.4.3.1.1

분배 법칙을 적용합니다.

$x \ln (\frac{2^{\frac{1}{2}} + i \cdot 2^{\frac{1}{2}}}{1 (1 + i) - i (1 + i)}) = \ln (\frac{\sqrt{2} - \sqrt{2} i}{2})$

단계 3.4.3.1.2

분배 법칙을 적용합니다.

$x \ln (\frac{2^{\frac{1}{2}} + i \cdot 2^{\frac{1}{2}}}{1 \cdot 1 + 1 i - i (1 + i)}) = \ln (\frac{\sqrt{2} - \sqrt{2} i}{2})$

단계 3.4.3.1.3

분배 법칙을 적용합니다.

$x \ln (\frac{2^{\frac{1}{2}} + i \cdot 2^{\frac{1}{2}}}{1 \cdot 1 + 1 i - i \cdot 1 - i i}) = \ln (\frac{\sqrt{2} - \sqrt{2} i}{2})$

단계 3.4.3.2

간단히 합니다.

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단계 3.4.3.2.1

$1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$x \ln (\frac{2^{\frac{1}{2}} + i \cdot 2^{\frac{1}{2}}}{1 + 1 i - i \cdot 1 - i i}) = \ln (\frac{\sqrt{2} - \sqrt{2} i}{2})$

단계 3.4.3.2.2

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$x \ln (\frac{2^{\frac{1}{2}} + i \cdot 2^{\frac{1}{2}}}{1 + 1 i - i - i i}) = \ln (\frac{\sqrt{2} - \sqrt{2} i}{2})$

단계 3.4.3.2.3

$i$ 를 $1$ 승 합니다.

$x \ln (\frac{2^{\frac{1}{2}} + i \cdot 2^{\frac{1}{2}}}{1 + 1 i - i - (i^{1} i)}) = \ln (\frac{\sqrt{2} - \sqrt{2} i}{2})$

단계 3.4.3.2.4

$i$ 를 $1$ 승 합니다.

$x \ln (\frac{2^{\frac{1}{2}} + i \cdot 2^{\frac{1}{2}}}{1 + 1 i - i - (i^{1} i^{1})}) = \ln (\frac{\sqrt{2} - \sqrt{2} i}{2})$

단계 3.4.3.2.5

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$x \ln (\frac{2^{\frac{1}{2}} + i \cdot 2^{\frac{1}{2}}}{1 + 1 i - i - i^{1 + 1}}) = \ln (\frac{\sqrt{2} - \sqrt{2} i}{2})$

단계 3.4.3.2.6

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$x \ln (\frac{2^{\frac{1}{2}} + i \cdot 2^{\frac{1}{2}}}{1 + 1 i - i - i^{2}}) = \ln (\frac{\sqrt{2} - \sqrt{2} i}{2})$

단계 3.4.3.2.7

$1 i$ 에서 $i$ 을 뺍니다.

$x \ln (\frac{2^{\frac{1}{2}} + i \cdot 2^{\frac{1}{2}}}{1 + 0 - i^{2}}) = \ln (\frac{\sqrt{2} - \sqrt{2} i}{2})$

단계 3.4.3.2.8

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$x \ln (\frac{2^{\frac{1}{2}} + i \cdot 2^{\frac{1}{2}}}{1 - i^{2}}) = \ln (\frac{\sqrt{2} - \sqrt{2} i}{2})$

단계 3.4.3.3

각 항을 간단히 합니다.

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단계 3.4.3.3.1

$i^{2}$ 을 $- 1$ 로 바꿔 씁니다.

$x \ln (\frac{2^{\frac{1}{2}} + i \cdot 2^{\frac{1}{2}}}{1 - - 1}) = \ln (\frac{\sqrt{2} - \sqrt{2} i}{2})$

단계 3.4.3.3.2

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$x \ln (\frac{2^{\frac{1}{2}} + i \cdot 2^{\frac{1}{2}}}{1 + 1}) = \ln (\frac{\sqrt{2} - \sqrt{2} i}{2})$

단계 3.4.3.4

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$x \ln (\frac{2^{\frac{1}{2}} + i \cdot 2^{\frac{1}{2}}}{2}) = \ln (\frac{\sqrt{2} - \sqrt{2} i}{2})$

단계 3.5

$\ln (\frac{2^{\frac{1}{2}} + i \cdot 2^{\frac{1}{2}}}{2})$ 을 $\ln (2^{\frac{1}{2}} + i \cdot 2^{\frac{1}{2}}) - \ln (2)$ 로 바꿔 씁니다.

$x (\ln (2^{\frac{1}{2}} + i \cdot 2^{\frac{1}{2}}) - \ln (2)) = \ln (\frac{\sqrt{2} - \sqrt{2} i}{2})$

단계 4

왼편을 확장합니다.

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단계 4.1

$\ln (\frac{\sqrt{2} - \sqrt{2} i}{2})$ 을 $\ln (\sqrt{2} - \sqrt{2} i) - \ln (2)$ 로 바꿔 씁니다.

$x (\ln (2^{\frac{1}{2}} + i \cdot 2^{\frac{1}{2}}) - \ln (2)) = \ln (\sqrt{2} - \sqrt{2} i) - \ln (2)$

단계 4.2

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{2}$ 을(를) $2^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$x (\ln (2^{\frac{1}{2}} + i \cdot 2^{\frac{1}{2}}) - \ln (2)) = \ln (2^{\frac{1}{2}} - \sqrt{2} i) - \ln (2)$

단계 4.3

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{2}$ 을(를) $2^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$x (\ln (2^{\frac{1}{2}} + i \cdot 2^{\frac{1}{2}}) - \ln (2)) = \ln (2^{\frac{1}{2}} - 2^{\frac{1}{2}} i) - \ln (2)$

단계 5

좌변을 간단히 합니다.

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단계 5.1

로그의 나눗셈의 성질 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ 을 이용합니다.

$x \ln (\frac{2^{\frac{1}{2}} + i \cdot 2^{\frac{1}{2}}}{2}) = \ln (2^{\frac{1}{2}} - 2^{\frac{1}{2}} i) - \ln (2)$

단계 6

우변을 간단히 합니다.

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단계 6.1

$\ln (2^{\frac{1}{2}} - 2^{\frac{1}{2}} i) - \ln (2)$ 을 간단히 합니다.

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단계 6.1.1

로그의 나눗셈의 성질 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ 을 이용합니다.

$x \ln (\frac{2^{\frac{1}{2}} + i \cdot 2^{\frac{1}{2}}}{2}) = \ln (\frac{2^{\frac{1}{2}} - 2^{\frac{1}{2}} i}{2})$

단계 6.1.2

$\ln (\frac{2^{\frac{1}{2}} - 2^{\frac{1}{2}} i}{2})$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$x \ln (\frac{2^{\frac{1}{2}} + i \cdot 2^{\frac{1}{2}}}{2}) = \ln (\frac{2^{\frac{1}{2}} - i \cdot 2^{\frac{1}{2}}}{2})$

단계 7

$x \ln (\frac{2^{\frac{1}{2}} + i \cdot 2^{\frac{1}{2}}}{2}) = \ln (\frac{2^{\frac{1}{2}} - i \cdot 2^{\frac{1}{2}}}{2})$ 의 각 항을 $\ln (\frac{2^{\frac{1}{2}} + i \cdot 2^{\frac{1}{2}}}{2})$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

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단계 7.1

$\frac{x \ln (\frac{2^{\frac{1}{2}} + i \cdot 2^{\frac{1}{2}}}{2})}{\ln (\frac{2^{\frac{1}{2}} + i \cdot 2^{\frac{1}{2}}}{2})} = \frac{\ln (\frac{2^{\frac{1}{2}} - i \cdot 2^{\frac{1}{2}}}{2})}{\ln (\frac{2^{\frac{1}{2}} + i \cdot 2^{\frac{1}{2}}}{2})}$

단계 7.2

좌변을 간단히 합니다.

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단계 7.2.1

$\ln (\frac{2^{\frac{1}{2}} + i \cdot 2^{\frac{1}{2}}}{2})$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 7.2.1.1

공약수로 약분합니다.

단계 7.2.1.2

$x$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$x = \frac{\ln (\frac{2^{\frac{1}{2}} - i \cdot 2^{\frac{1}{2}}}{2})}{\ln (\frac{2^{\frac{1}{2}} + i \cdot 2^{\frac{1}{2}}}{2})}$