삼각법 예제

$f (x) = \frac{3 e^{x} - 8}{20 e^{x} + 15}$

단계 1

$f (x) = \frac{3 e^{x} - 8}{20 e^{x} + 15}$ 을(를) 방정식으로 씁니다.

$y = \frac{3 e^{x} - 8}{20 e^{x} + 15}$

단계 2

변수를 서로 바꿉니다.

$x = \frac{3 e^{y} - 8}{20 e^{y} + 15}$

단계 3

$y$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

$\frac{3 e^{y} - 8}{20 e^{y} + 15} = x$ 로 방정식을 다시 씁니다.

$\frac{3 e^{y} - 8}{20 e^{y} + 15} = x$

단계 3.2

양변에 $20 e^{y} + 15$ 을 곱합니다.

$\frac{3 e^{y} - 8}{20 e^{y} + 15} (20 e^{y} + 15) = x (20 e^{y} + 15)$

단계 3.3

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.1

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.1.1

$20 e^{y} + 15$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.1.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{3 e^{y} - 8}{20 e^{y} + 15} (20 e^{y} + 15) = x (20 e^{y} + 15)$

단계 3.3.1.1.2

수식을 다시 씁니다.

$3 e^{y} - 8 = x (20 e^{y} + 15)$

단계 3.3.2

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.2.1

$x (20 e^{y} + 15)$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.2.1.1

분배 법칙을 적용합니다.

$3 e^{y} - 8 = x (20 e^{y}) + x \cdot 15$

단계 3.3.2.1.2

다시 정렬합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.2.1.2.1

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$3 e^{y} - 8 = 20 x e^{y} + x \cdot 15$

단계 3.3.2.1.2.2

$x$ 의 왼쪽으로 $15$ 이동하기

$3 e^{y} - 8 = 20 x e^{y} + 15 x$

단계 3.4

$y$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.1

방정식의 양변에서 $20 x e^{y}$ 를 뺍니다.

$3 e^{y} - 8 - 20 x e^{y} = 15 x$

단계 3.4.2

방정식의 양변에 $8$ 를 더합니다.

$3 e^{y} - 20 x e^{y} = 15 x + 8$

단계 3.4.3

$3 e^{y} - 20 x e^{y}$ 에서 $e^{y}$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.3.1

$3 e^{y}$ 에서 $e^{y}$ 를 인수분해합니다.

$e^{y} \cdot 3 - 20 x e^{y} = 15 x + 8$

단계 3.4.3.2

$- 20 x e^{y}$ 에서 $e^{y}$ 를 인수분해합니다.

$e^{y} \cdot 3 + e^{y} (- 20 x) = 15 x + 8$

단계 3.4.3.3

$e^{y} \cdot 3 + e^{y} (- 20 x)$ 에서 $e^{y}$ 를 인수분해합니다.

$e^{y} (3 - 20 x) = 15 x + 8$

단계 3.4.4

$e^{y} (3 - 20 x) = 15 x + 8$ 의 각 항을 $3 - 20 x$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.4.1

$e^{y} (3 - 20 x) = 15 x + 8$ 의 각 항을 $3 - 20 x$ 로 나눕니다.

$\frac{e^{y} (3 - 20 x)}{3 - 20 x} = \frac{15 x}{3 - 20 x} + \frac{8}{3 - 20 x}$

단계 3.4.4.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.4.2.1

$3 - 20 x$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.4.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{e^{y} (3 - 20 x)}{3 - 20 x} = \frac{15 x}{3 - 20 x} + \frac{8}{3 - 20 x}$

단계 3.4.4.2.1.2

$e^{y}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$e^{y} = \frac{15 x}{3 - 20 x} + \frac{8}{3 - 20 x}$

단계 3.4.4.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.4.3.1

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$e^{y} = \frac{15 x + 8}{3 - 20 x}$

단계 3.4.5

지수에서 변수를 제거하기 위하여 방정식의 양변에 자연로그를 취합니다.

$\ln (e^{y}) = \ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})$

단계 3.4.6

왼편을 확장합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.6.1

$y$ 을 로그 밖으로 내보내서 $\ln (e^{y})$ 을 전개합니다.

$y \ln (e) = \ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})$

단계 3.4.6.2

$e$ 의 자연로그값은 $1$ 입니다.

$y \cdot 1 = \ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})$

단계 3.4.6.3

$y$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$y = \ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})$

단계 4

$y$ 에 $f^{- 1} (x)$ 을 대입하여 최종 답을 얻습니다.

$f^{- 1} (x) = \ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})$

단계 5

증명하려면 $f^{- 1} (x) = \ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})$ 가 $f (x) = \frac{3 e^{x} - 8}{20 e^{x} + 15}$ 의 역함수인지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

역함수를 증명하려면 $f^{- 1} (f (x)) = x$ 및 $f (f^{- 1} (x)) = x$ 인지 확인합니다.

단계 5.2

$f^{- 1} (f (x))$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.1

합성함수식을 세웁니다.

$f^{- 1} (f (x))$

단계 5.2.2

$f$ 값을 $f^{- 1}$ 에 대입하여 $f^{- 1} (\frac{3 e^{x} - 8}{20 e^{x} + 15})$ 값을 계산합니다.

$f^{- 1} (\frac{3 e^{x} - 8}{20 e^{x} + 15}) = \ln (\frac{15 (\frac{3 e^{x} - 8}{20 e^{x} + 15}) + 8}{3 - 20 \frac{3 e^{x} - 8}{20 e^{x} + 15}})$

단계 5.2.3

인수분해하여 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.3.1

$20 e^{x} + 15$ 에서 $5$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.3.1.1

$20 e^{x}$ 에서 $5$ 를 인수분해합니다.

$f^{- 1} (\frac{3 e^{x} - 8}{20 e^{x} + 15}) = \ln (\frac{15 (\frac{3 e^{x} - 8}{5 (4 e^{x}) + 15}) + 8}{3 - 20 \frac{3 e^{x} - 8}{20 e^{x} + 15}})$

단계 5.2.3.1.2

$15$ 에서 $5$ 를 인수분해합니다.

$f^{- 1} (\frac{3 e^{x} - 8}{20 e^{x} + 15}) = \ln (\frac{15 (\frac{3 e^{x} - 8}{5 (4 e^{x}) + 5 (3)}) + 8}{3 - 20 \frac{3 e^{x} - 8}{20 e^{x} + 15}})$

단계 5.2.3.1.3

$5 (4 e^{x}) + 5 (3)$ 에서 $5$ 를 인수분해합니다.

$f^{- 1} (\frac{3 e^{x} - 8}{20 e^{x} + 15}) = \ln (\frac{15 (\frac{3 e^{x} - 8}{5 (4 e^{x} + 3)}) + 8}{3 - 20 \frac{3 e^{x} - 8}{20 e^{x} + 15}})$

단계 5.2.3.2

$20 e^{x} + 15$ 에서 $5$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.3.2.1

$20 e^{x}$ 에서 $5$ 를 인수분해합니다.

$f^{- 1} (\frac{3 e^{x} - 8}{20 e^{x} + 15}) = \ln (\frac{15 (\frac{3 e^{x} - 8}{5 (4 e^{x} + 3)}) + 8}{3 - 20 \frac{3 e^{x} - 8}{5 (4 e^{x}) + 15}})$

단계 5.2.3.2.2

$15$ 에서 $5$ 를 인수분해합니다.

$f^{- 1} (\frac{3 e^{x} - 8}{20 e^{x} + 15}) = \ln (\frac{15 (\frac{3 e^{x} - 8}{5 (4 e^{x} + 3)}) + 8}{3 - 20 \frac{3 e^{x} - 8}{5 (4 e^{x}) + 5 (3)}})$

단계 5.2.3.2.3

$5 (4 e^{x}) + 5 (3)$ 에서 $5$ 를 인수분해합니다.

$f^{- 1} (\frac{3 e^{x} - 8}{20 e^{x} + 15}) = \ln (\frac{15 (\frac{3 e^{x} - 8}{5 (4 e^{x} + 3)}) + 8}{3 - 20 \frac{3 e^{x} - 8}{5 (4 e^{x} + 3)}})$

단계 5.2.4

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.4.1

$5$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.4.1.1

$15$ 에서 $5$ 를 인수분해합니다.

$f^{- 1} (\frac{3 e^{x} - 8}{20 e^{x} + 15}) = \ln (\frac{5 (3) (\frac{3 e^{x} - 8}{5 (4 e^{x} + 3)}) + 8}{3 - 20 \frac{3 e^{x} - 8}{5 (4 e^{x} + 3)}})$

단계 5.2.4.1.2

공약수로 약분합니다.

$f^{- 1} (\frac{3 e^{x} - 8}{20 e^{x} + 15}) = \ln (\frac{5 \cdot (3 (\frac{3 e^{x} - 8}{5 (4 e^{x} + 3)})) + 8}{3 - 20 \frac{3 e^{x} - 8}{5 (4 e^{x} + 3)}})$

단계 5.2.4.1.3

수식을 다시 씁니다.

$f^{- 1} (\frac{3 e^{x} - 8}{20 e^{x} + 15}) = \ln (\frac{3 (\frac{3 e^{x} - 8}{4 e^{x} + 3}) + 8}{3 - 20 \frac{3 e^{x} - 8}{5 (4 e^{x} + 3)}})$

단계 5.2.4.2

$3$ 와 $\frac{3 e^{x} - 8}{4 e^{x} + 3}$ 을 묶습니다.

$f^{- 1} (\frac{3 e^{x} - 8}{20 e^{x} + 15}) = \ln (\frac{\frac{3 (3 e^{x} - 8)}{4 e^{x} + 3} + 8}{3 - 20 \frac{3 e^{x} - 8}{5 (4 e^{x} + 3)}})$

단계 5.2.4.3

공통 분모를 가지는 분수로 $8$ 을 표현하기 위해 $\frac{4 e^{x} + 3}{4 e^{x} + 3}$ 을 곱합니다.

$f^{- 1} (\frac{3 e^{x} - 8}{20 e^{x} + 15}) = \ln (\frac{\frac{3 (3 e^{x} - 8)}{4 e^{x} + 3} + \frac{8 (4 e^{x} + 3)}{4 e^{x} + 3}}{3 - 20 \frac{3 e^{x} - 8}{5 (4 e^{x} + 3)}})$

단계 5.2.4.4

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$f^{- 1} (\frac{3 e^{x} - 8}{20 e^{x} + 15}) = \ln (\frac{\frac{3 (3 e^{x} - 8) + 8 (4 e^{x} + 3)}{4 e^{x} + 3}}{3 - 20 \frac{3 e^{x} - 8}{5 (4 e^{x} + 3)}})$

단계 5.2.4.5

항을 다시 정렬합니다.

$f^{- 1} (\frac{3 e^{x} - 8}{20 e^{x} + 15}) = \ln (\frac{\frac{8 (4 e^{x} + 3) + 3 (3 e^{x} - 8)}{4 e^{x} + 3}}{3 - 20 \frac{3 e^{x} - 8}{5 (4 e^{x} + 3)}})$

단계 5.2.4.6

인수분해된 형태로 $\frac{8 (4 e^{x} + 3) + 3 (3 e^{x} - 8)}{4 e^{x} + 3}$ 를 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.4.6.1

분배 법칙을 적용합니다.

$f^{- 1} (\frac{3 e^{x} - 8}{20 e^{x} + 15}) = \ln (\frac{\frac{8 (4 e^{x}) + 8 \cdot 3 + 3 (3 e^{x} - 8)}{4 e^{x} + 3}}{3 - 20 \frac{3 e^{x} - 8}{5 (4 e^{x} + 3)}})$

단계 5.2.4.6.2

$4$ 에 $8$ 을 곱합니다.

$f^{- 1} (\frac{3 e^{x} - 8}{20 e^{x} + 15}) = \ln (\frac{\frac{32 e^{x} + 8 \cdot 3 + 3 (3 e^{x} - 8)}{4 e^{x} + 3}}{3 - 20 \frac{3 e^{x} - 8}{5 (4 e^{x} + 3)}})$

단계 5.2.4.6.3

$8$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$f^{- 1} (\frac{3 e^{x} - 8}{20 e^{x} + 15}) = \ln (\frac{\frac{32 e^{x} + 24 + 3 (3 e^{x} - 8)}{4 e^{x} + 3}}{3 - 20 \frac{3 e^{x} - 8}{5 (4 e^{x} + 3)}})$

단계 5.2.4.6.4

분배 법칙을 적용합니다.

$f^{- 1} (\frac{3 e^{x} - 8}{20 e^{x} + 15}) = \ln (\frac{\frac{32 e^{x} + 24 + 3 (3 e^{x}) + 3 \cdot - 8}{4 e^{x} + 3}}{3 - 20 \frac{3 e^{x} - 8}{5 (4 e^{x} + 3)}})$

단계 5.2.4.6.5

$3$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$f^{- 1} (\frac{3 e^{x} - 8}{20 e^{x} + 15}) = \ln (\frac{\frac{32 e^{x} + 24 + 9 e^{x} + 3 \cdot - 8}{4 e^{x} + 3}}{3 - 20 \frac{3 e^{x} - 8}{5 (4 e^{x} + 3)}})$

단계 5.2.4.6.6

$3$ 에 $- 8$ 을 곱합니다.

$f^{- 1} (\frac{3 e^{x} - 8}{20 e^{x} + 15}) = \ln (\frac{\frac{32 e^{x} + 24 + 9 e^{x} - 24}{4 e^{x} + 3}}{3 - 20 \frac{3 e^{x} - 8}{5 (4 e^{x} + 3)}})$

단계 5.2.4.6.7

$32 e^{x}$ 를 $9 e^{x}$ 에 더합니다.

$f^{- 1} (\frac{3 e^{x} - 8}{20 e^{x} + 15}) = \ln (\frac{\frac{41 e^{x} + 24 - 24}{4 e^{x} + 3}}{3 - 20 \frac{3 e^{x} - 8}{5 (4 e^{x} + 3)}})$

단계 5.2.4.6.8

$24$ 에서 $24$ 을 뺍니다.

$f^{- 1} (\frac{3 e^{x} - 8}{20 e^{x} + 15}) = \ln (\frac{\frac{41 e^{x} + 0}{4 e^{x} + 3}}{3 - 20 \frac{3 e^{x} - 8}{5 (4 e^{x} + 3)}})$

단계 5.2.4.6.9

$41 e^{x}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$f^{- 1} (\frac{3 e^{x} - 8}{20 e^{x} + 15}) = \ln (\frac{\frac{41 e^{x}}{4 e^{x} + 3}}{3 - 20 \frac{3 e^{x} - 8}{5 (4 e^{x} + 3)}})$

단계 5.2.5

분모를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.5.1

$5$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.5.1.1

$- 20$ 에서 $5$ 를 인수분해합니다.

$f^{- 1} (\frac{3 e^{x} - 8}{20 e^{x} + 15}) = \ln (\frac{\frac{41 e^{x}}{4 e^{x} + 3}}{3 + 5 (- 4) (\frac{3 e^{x} - 8}{5 (4 e^{x} + 3)})})$

단계 5.2.5.1.2

공약수로 약분합니다.

$f^{- 1} (\frac{3 e^{x} - 8}{20 e^{x} + 15}) = \ln (\frac{\frac{41 e^{x}}{4 e^{x} + 3}}{3 + 5 \cdot (- 4 \frac{3 e^{x} - 8}{5 (4 e^{x} + 3)})})$

단계 5.2.5.1.3

수식을 다시 씁니다.

$f^{- 1} (\frac{3 e^{x} - 8}{20 e^{x} + 15}) = \ln (\frac{\frac{41 e^{x}}{4 e^{x} + 3}}{3 - 4 \frac{3 e^{x} - 8}{4 e^{x} + 3}})$

단계 5.2.5.2

$- 4$ 와 $\frac{3 e^{x} - 8}{4 e^{x} + 3}$ 을 묶습니다.

$f^{- 1} (\frac{3 e^{x} - 8}{20 e^{x} + 15}) = \ln (\frac{\frac{41 e^{x}}{4 e^{x} + 3}}{3 + \frac{- 4 (3 e^{x} - 8)}{4 e^{x} + 3}})$

단계 5.2.5.3

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$f^{- 1} (\frac{3 e^{x} - 8}{20 e^{x} + 15}) = \ln (\frac{\frac{41 e^{x}}{4 e^{x} + 3}}{3 - \frac{4 (3 e^{x} - 8)}{4 e^{x} + 3}})$

단계 5.2.5.4

공통 분모를 가지는 분수로 $3$ 을 표현하기 위해 $\frac{4 e^{x} + 3}{4 e^{x} + 3}$ 을 곱합니다.

$f^{- 1} (\frac{3 e^{x} - 8}{20 e^{x} + 15}) = \ln (\frac{\frac{41 e^{x}}{4 e^{x} + 3}}{\frac{3 (4 e^{x} + 3)}{4 e^{x} + 3} - \frac{4 (3 e^{x} - 8)}{4 e^{x} + 3}})$

단계 5.2.5.5

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$f^{- 1} (\frac{3 e^{x} - 8}{20 e^{x} + 15}) = \ln (\frac{\frac{41 e^{x}}{4 e^{x} + 3}}{\frac{3 (4 e^{x} + 3) - 4 (3 e^{x} - 8)}{4 e^{x} + 3}})$

단계 5.2.5.6

인수분해된 형태로 $\frac{3 (4 e^{x} + 3) - 4 (3 e^{x} - 8)}{4 e^{x} + 3}$ 를 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.5.6.1

분배 법칙을 적용합니다.

$f^{- 1} (\frac{3 e^{x} - 8}{20 e^{x} + 15}) = \ln (\frac{\frac{41 e^{x}}{4 e^{x} + 3}}{\frac{3 (4 e^{x}) + 3 \cdot 3 - 4 (3 e^{x} - 8)}{4 e^{x} + 3}})$

단계 5.2.5.6.2

$4$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$f^{- 1} (\frac{3 e^{x} - 8}{20 e^{x} + 15}) = \ln (\frac{\frac{41 e^{x}}{4 e^{x} + 3}}{\frac{12 e^{x} + 3 \cdot 3 - 4 (3 e^{x} - 8)}{4 e^{x} + 3}})$

단계 5.2.5.6.3

$3$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$f^{- 1} (\frac{3 e^{x} - 8}{20 e^{x} + 15}) = \ln (\frac{\frac{41 e^{x}}{4 e^{x} + 3}}{\frac{12 e^{x} + 9 - 4 (3 e^{x} - 8)}{4 e^{x} + 3}})$

단계 5.2.5.6.4

분배 법칙을 적용합니다.

$f^{- 1} (\frac{3 e^{x} - 8}{20 e^{x} + 15}) = \ln (\frac{\frac{41 e^{x}}{4 e^{x} + 3}}{\frac{12 e^{x} + 9 - 4 (3 e^{x}) - 4 \cdot - 8}{4 e^{x} + 3}})$

단계 5.2.5.6.5

$3$ 에 $- 4$ 을 곱합니다.

$f^{- 1} (\frac{3 e^{x} - 8}{20 e^{x} + 15}) = \ln (\frac{\frac{41 e^{x}}{4 e^{x} + 3}}{\frac{12 e^{x} + 9 - 12 e^{x} - 4 \cdot - 8}{4 e^{x} + 3}})$

단계 5.2.5.6.6

$- 4$ 에 $- 8$ 을 곱합니다.

$f^{- 1} (\frac{3 e^{x} - 8}{20 e^{x} + 15}) = \ln (\frac{\frac{41 e^{x}}{4 e^{x} + 3}}{\frac{12 e^{x} + 9 - 12 e^{x} + 32}{4 e^{x} + 3}})$

단계 5.2.5.6.7

$12 e^{x}$ 에서 $12 e^{x}$ 을 뺍니다.

$f^{- 1} (\frac{3 e^{x} - 8}{20 e^{x} + 15}) = \ln (\frac{\frac{41 e^{x}}{4 e^{x} + 3}}{\frac{0 + 9 + 32}{4 e^{x} + 3}})$

단계 5.2.5.6.8

$0$ 를 $9$ 에 더합니다.

$f^{- 1} (\frac{3 e^{x} - 8}{20 e^{x} + 15}) = \ln (\frac{\frac{41 e^{x}}{4 e^{x} + 3}}{\frac{9 + 32}{4 e^{x} + 3}})$

단계 5.2.5.6.9

$9$ 를 $32$ 에 더합니다.

$f^{- 1} (\frac{3 e^{x} - 8}{20 e^{x} + 15}) = \ln (\frac{\frac{41 e^{x}}{4 e^{x} + 3}}{\frac{41}{4 e^{x} + 3}})$

단계 5.2.6

분자에 분모의 역수를 곱합니다.

$f^{- 1} (\frac{3 e^{x} - 8}{20 e^{x} + 15}) = \ln (\frac{41 e^{x}}{4 e^{x} + 3} \cdot \frac{4 e^{x} + 3}{41})$

단계 5.2.7

$41$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.7.1

$41 e^{x}$ 에서 $41$ 를 인수분해합니다.

$f^{- 1} (\frac{3 e^{x} - 8}{20 e^{x} + 15}) = \ln (\frac{41 (e^{x})}{4 e^{x} + 3} \cdot \frac{4 e^{x} + 3}{41})$

단계 5.2.7.2

공약수로 약분합니다.

$f^{- 1} (\frac{3 e^{x} - 8}{20 e^{x} + 15}) = \ln (\frac{41 e^{x}}{4 e^{x} + 3} \cdot \frac{4 e^{x} + 3}{41})$

단계 5.2.7.3

수식을 다시 씁니다.

$f^{- 1} (\frac{3 e^{x} - 8}{20 e^{x} + 15}) = \ln (\frac{e^{x}}{4 e^{x} + 3} \cdot (4 e^{x} + 3))$

단계 5.2.8

$4 e^{x} + 3$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.8.1

공약수로 약분합니다.

$f^{- 1} (\frac{3 e^{x} - 8}{20 e^{x} + 15}) = \ln (\frac{e^{x}}{4 e^{x} + 3} \cdot (4 e^{x} + 3))$

단계 5.2.8.2

수식을 다시 씁니다.

$f^{- 1} (\frac{3 e^{x} - 8}{20 e^{x} + 15}) = \ln (e^{x})$

단계 5.2.9

로그 공식을 이용해 지수에서 $x$ 를 바깥으로 빼냅니다.

$f^{- 1} (\frac{3 e^{x} - 8}{20 e^{x} + 15}) = x \ln (e)$

단계 5.2.10

$e$ 의 자연로그값은 $1$ 입니다.

$f^{- 1} (\frac{3 e^{x} - 8}{20 e^{x} + 15}) = x \cdot 1$

단계 5.2.11

$x$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f^{- 1} (\frac{3 e^{x} - 8}{20 e^{x} + 15}) = x$

단계 5.3

$f (f^{- 1} (x))$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.1

합성함수식을 세웁니다.

$f (f^{- 1} (x))$

단계 5.3.2

$f^{- 1}$ 값을 $f$ 에 대입하여 $f (\ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x}))$ 값을 계산합니다.

$f (\ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})) = \frac{3 e^{\ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})} - 8}{20 e^{\ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})} + 15}$

단계 5.3.3

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.3.1

지수와 로그는 역함수 관계입니다.

$f (\ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})) = \frac{3 (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x}) - 8}{20 e^{\ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})} + 15}$

단계 5.3.3.2

$3$ 와 $\frac{15 x + 8}{3 - 20 x}$ 을 묶습니다.

$f (\ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})) = \frac{\frac{3 (15 x + 8)}{3 - 20 x} - 8}{20 e^{\ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})} + 15}$

단계 5.3.3.3

공통 분모를 가지는 분수로 $- 8$ 을 표현하기 위해 $\frac{3 - 20 x}{3 - 20 x}$ 을 곱합니다.

$f (\ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})) = \frac{\frac{3 (15 x + 8)}{3 - 20 x} - 8 \cdot \frac{3 - 20 x}{3 - 20 x}}{20 e^{\ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})} + 15}$

단계 5.3.3.4

$- 8$ 와 $\frac{3 - 20 x}{3 - 20 x}$ 을 묶습니다.

$f (\ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})) = \frac{\frac{3 (15 x + 8)}{3 - 20 x} + \frac{- 8 (3 - 20 x)}{3 - 20 x}}{20 e^{\ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})} + 15}$

단계 5.3.3.5

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$f (\ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})) = \frac{\frac{3 (15 x + 8) - 8 (3 - 20 x)}{3 - 20 x}}{20 e^{\ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})} + 15}$

단계 5.3.3.6

항을 다시 정렬합니다.

$f (\ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})) = \frac{\frac{3 (15 x + 8) - 8 (3 - 20 x)}{- 20 x + 3}}{20 e^{\ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})} + 15}$

단계 5.3.3.7

인수분해된 형태로 $\frac{3 (15 x + 8) - 8 (3 - 20 x)}{- 20 x + 3}$ 를 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.3.7.1

분배 법칙을 적용합니다.

$f (\ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})) = \frac{\frac{3 (15 x) + 3 \cdot 8 - 8 (3 - 20 x)}{- 20 x + 3}}{20 e^{\ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})} + 15}$

단계 5.3.3.7.2

$15$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$f (\ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})) = \frac{\frac{45 x + 3 \cdot 8 - 8 (3 - 20 x)}{- 20 x + 3}}{20 e^{\ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})} + 15}$

단계 5.3.3.7.3

$3$ 에 $8$ 을 곱합니다.

$f (\ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})) = \frac{\frac{45 x + 24 - 8 (3 - 20 x)}{- 20 x + 3}}{20 e^{\ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})} + 15}$

단계 5.3.3.7.4

분배 법칙을 적용합니다.

$f (\ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})) = \frac{\frac{45 x + 24 - 8 \cdot 3 - 8 (- 20 x)}{- 20 x + 3}}{20 e^{\ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})} + 15}$

단계 5.3.3.7.5

$- 8$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$f (\ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})) = \frac{\frac{45 x + 24 - 24 - 8 (- 20 x)}{- 20 x + 3}}{20 e^{\ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})} + 15}$

단계 5.3.3.7.6

$- 20$ 에 $- 8$ 을 곱합니다.

$f (\ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})) = \frac{\frac{45 x + 24 - 24 + 160 x}{- 20 x + 3}}{20 e^{\ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})} + 15}$

단계 5.3.3.7.7

$45 x$ 를 $160 x$ 에 더합니다.

$f (\ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})) = \frac{\frac{205 x + 24 - 24}{- 20 x + 3}}{20 e^{\ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})} + 15}$

단계 5.3.3.7.8

$24$ 에서 $24$ 을 뺍니다.

$f (\ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})) = \frac{\frac{205 x + 0}{- 20 x + 3}}{20 e^{\ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})} + 15}$

단계 5.3.3.7.9

$205 x$ 를 $0$ 에 더합니다.

$f (\ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})) = \frac{\frac{205 x}{- 20 x + 3}}{20 e^{\ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})} + 15}$

단계 5.3.4

분모를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.4.1

$20 e^{\ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})} + 15$ 에서 $5$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.4.1.1

$20 e^{\ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})}$ 에서 $5$ 를 인수분해합니다.

$f (\ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})) = \frac{\frac{205 x}{- 20 x + 3}}{5 (4 e^{\ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})}) + 15}$

단계 5.3.4.1.2

$15$ 에서 $5$ 를 인수분해합니다.

$f (\ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})) = \frac{\frac{205 x}{- 20 x + 3}}{5 (4 e^{\ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})}) + 5 (3)}$

단계 5.3.4.1.3

$5 (4 e^{\ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})}) + 5 (3)$ 에서 $5$ 를 인수분해합니다.

$f (\ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})) = \frac{\frac{205 x}{- 20 x + 3}}{5 (4 e^{\ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})} + 3)}$

단계 5.3.4.2

지수와 로그는 역함수 관계입니다.

$f (\ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})) = \frac{\frac{205 x}{- 20 x + 3}}{5 (4 (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x}) + 3)}$

단계 5.3.4.3

$4$ 와 $\frac{15 x + 8}{3 - 20 x}$ 을 묶습니다.

$f (\ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})) = \frac{\frac{205 x}{- 20 x + 3}}{5 (\frac{4 (15 x + 8)}{3 - 20 x} + 3)}$

단계 5.3.4.4

공통 분모를 가지는 분수로 $3$ 을 표현하기 위해 $\frac{3 - 20 x}{3 - 20 x}$ 을 곱합니다.

$f (\ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})) = \frac{\frac{205 x}{- 20 x + 3}}{5 (\frac{4 (15 x + 8)}{3 - 20 x} + \frac{3 (3 - 20 x)}{3 - 20 x})}$

단계 5.3.4.5

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$f (\ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})) = \frac{\frac{205 x}{- 20 x + 3}}{5 (\frac{4 (15 x + 8) + 3 (3 - 20 x)}{3 - 20 x})}$

단계 5.3.4.6

항을 다시 정렬합니다.

$f (\ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})) = \frac{\frac{205 x}{- 20 x + 3}}{5 (\frac{4 (15 x + 8) + 3 (3 - 20 x)}{- 20 x + 3})}$

단계 5.3.4.7

인수분해된 형태로 $\frac{4 (15 x + 8) + 3 (3 - 20 x)}{- 20 x + 3}$ 를 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.4.7.1

분배 법칙을 적용합니다.

$f (\ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})) = \frac{\frac{205 x}{- 20 x + 3}}{5 (\frac{4 (15 x) + 4 \cdot 8 + 3 (3 - 20 x)}{- 20 x + 3})}$

단계 5.3.4.7.2

$15$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$f (\ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})) = \frac{\frac{205 x}{- 20 x + 3}}{5 (\frac{60 x + 4 \cdot 8 + 3 (3 - 20 x)}{- 20 x + 3})}$

단계 5.3.4.7.3

$4$ 에 $8$ 을 곱합니다.

$f (\ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})) = \frac{\frac{205 x}{- 20 x + 3}}{5 (\frac{60 x + 32 + 3 (3 - 20 x)}{- 20 x + 3})}$

단계 5.3.4.7.4

분배 법칙을 적용합니다.

$f (\ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})) = \frac{\frac{205 x}{- 20 x + 3}}{5 (\frac{60 x + 32 + 3 \cdot 3 + 3 (- 20 x)}{- 20 x + 3})}$

단계 5.3.4.7.5

$3$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$f (\ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})) = \frac{\frac{205 x}{- 20 x + 3}}{5 (\frac{60 x + 32 + 9 + 3 (- 20 x)}{- 20 x + 3})}$

단계 5.3.4.7.6

$- 20$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$f (\ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})) = \frac{\frac{205 x}{- 20 x + 3}}{5 (\frac{60 x + 32 + 9 - 60 x}{- 20 x + 3})}$

단계 5.3.4.7.7

$60 x$ 에서 $60 x$ 을 뺍니다.

$f (\ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})) = \frac{\frac{205 x}{- 20 x + 3}}{5 (\frac{0 + 32 + 9}{- 20 x + 3})}$

단계 5.3.4.7.8

$0$ 를 $32$ 에 더합니다.

$f (\ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})) = \frac{\frac{205 x}{- 20 x + 3}}{5 (\frac{32 + 9}{- 20 x + 3})}$

단계 5.3.4.7.9

$32$ 를 $9$ 에 더합니다.

$f (\ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})) = \frac{\frac{205 x}{- 20 x + 3}}{5 (\frac{41}{- 20 x + 3})}$

단계 5.3.5

분수를 통분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.5.1

$5$ 와 $\frac{41}{- 20 x + 3}$ 을 묶습니다.

$f (\ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})) = \frac{\frac{205 x}{- 20 x + 3}}{\frac{5 \cdot 41}{- 20 x + 3}}$

단계 5.3.5.2

$5$ 에 $41$ 을 곱합니다.

$f (\ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})) = \frac{\frac{205 x}{- 20 x + 3}}{\frac{205}{- 20 x + 3}}$

단계 5.3.6

분자에 분모의 역수를 곱합니다.

$f (\ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})) = \frac{205 x}{- 20 x + 3} \cdot \frac{- 20 x + 3}{205}$

단계 5.3.7

$205$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.7.1

$205 x$ 에서 $205$ 를 인수분해합니다.

$f (\ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})) = \frac{205 (x)}{- 20 x + 3} \cdot \frac{- 20 x + 3}{205}$

단계 5.3.7.2

공약수로 약분합니다.

$f (\ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})) = \frac{205 x}{- 20 x + 3} \cdot \frac{- 20 x + 3}{205}$

단계 5.3.7.3

수식을 다시 씁니다.

$f (\ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})) = \frac{x}{- 20 x + 3} \cdot (- 20 x + 3)$

단계 5.3.8

$\frac{x}{- 20 x + 3}$ 에 $- 20 x + 3$ 을 곱합니다.

$f (\ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})) = \frac{x (- 20 x + 3)}{- 20 x + 3}$

단계 5.3.9

$- 20 x + 3$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.9.1

공약수로 약분합니다.

$f (\ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})) = \frac{x (- 20 x + 3)}{- 20 x + 3}$

단계 5.3.9.2

$x$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$f (\ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})) = x$

단계 5.4

$f^{- 1} (f (x)) = x$ 및 $f (f^{- 1} (x)) = x$ 이므로, $f^{- 1} (x) = \ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})$ 은 $f (x) = \frac{3 e^{x} - 8}{20 e^{x} + 15}$ 의 역함수입니다.

$f^{- 1} (x) = \ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})$