삼각법 예제

$f (x) = 2 x^{4} - 19 x^{3} + 33 x^{2} + 59 x - 60$

단계 1

유리근 정리르 이용하여 $2 x^{4} - 19 x^{3} + 33 x^{2} + 59 x - 60$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

다항함수의 계수가 정수인 경우, $p$ 가 상수의 약수이며 $q$ 가 최고차항 계수의 인수일 때 모든 유리근은 $\frac{p}{q}$ 의 형태를 가집니다.

$p = \pm 1, \pm 60, \pm 2, \pm 30, \pm 3, \pm 20, \pm 4, \pm 15, \pm 5, \pm 12, \pm 6, \pm 10$

$q = \pm 1, \pm 2$

단계 1.2

$\pm \frac{p}{q}$ 의 모든 조합을 찾습니다. 이들은 다항 함수의 해가 될 수 있습니다.

$\pm 1, \pm 0.5, \pm 60, \pm 30, \pm 2, \pm 15, \pm 3, \pm 1.5, \pm 20, \pm 10, \pm 4, \pm 7.5, \pm 5, \pm 2.5, \pm 12, \pm 6$

단계 1.3

$- 1.5$ 을 대입하고 식을 간단히 합니다. 이 경우 식이 $0$ 이므로 $- 1.5$ 은 다항식의 근입니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.1

$- 1.5$ 을 다항식에 대입합니다.

$2 {(- 1.5)}^{4} - 19 {(- 1.5)}^{3} + 33 {(- 1.5)}^{2} + 59 \cdot - 1.5 - 60$

단계 1.3.2

$- 1.5$ 를 $4$ 승 합니다.

$2 \cdot 5.0625 - 19 {(- 1.5)}^{3} + 33 {(- 1.5)}^{2} + 59 \cdot - 1.5 - 60$

단계 1.3.3

$2$ 에 $5.0625$ 을 곱합니다.

$10.125 - 19 {(- 1.5)}^{3} + 33 {(- 1.5)}^{2} + 59 \cdot - 1.5 - 60$

단계 1.3.4

$- 1.5$ 를 $3$ 승 합니다.

$10.125 - 19 \cdot - 3.375 + 33 {(- 1.5)}^{2} + 59 \cdot - 1.5 - 60$

단계 1.3.5

$- 19$ 에 $- 3.375$ 을 곱합니다.

$10.125 + 64.125 + 33 {(- 1.5)}^{2} + 59 \cdot - 1.5 - 60$

단계 1.3.6

$10.125$ 를 $64.125$ 에 더합니다.

$74.25 + 33 {(- 1.5)}^{2} + 59 \cdot - 1.5 - 60$

단계 1.3.7

$- 1.5$ 를 $2$ 승 합니다.

$74.25 + 33 \cdot 2.25 + 59 \cdot - 1.5 - 60$

단계 1.3.8

$33$ 에 $2.25$ 을 곱합니다.

$74.25 + 74.25 + 59 \cdot - 1.5 - 60$

단계 1.3.9

$74.25$ 를 $74.25$ 에 더합니다.

$148.5 + 59 \cdot - 1.5 - 60$

단계 1.3.10

$59$ 에 $- 1.5$ 을 곱합니다.

$148.5 - 88.5 - 60$

단계 1.3.11

$148.5$ 에서 $88.5$ 을 뺍니다.

$60 - 60$

단계 1.3.12

$60$ 에서 $60$ 을 뺍니다.

$0$

단계 1.4

$- 1.5$ 는 알고 있는 해이므로 다항식을 $2 x + 3$ 으로 나누어 몫 다항식을 구합니다. 이 다항식은 나머지 해를 찾기 위해 이용됩니다.

$\frac{2 x^{4} - 19 x^{3} + 33 x^{2} + 59 x - 60}{2 x + 3}$

단계 1.5

$2 x^{4} - 19 x^{3} + 33 x^{2} + 59 x - 60$ 을 $2 x + 3$ 로 나눕니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.1

다항식을 나눗셈 형태로 적습니다. 각 지수에 대하여 항이 없는 경우 값이 $0$ 인 항을 삽입합니다.

$2 x$

$3$

$2 x^{4}$

$19 x^{3}$

$33 x^{2}$

$59 x$

$60$

단계 1.5.2

피제수 $2 x^{4}$ 의 고차항을 제수 $2 x$ 의 고차항으로 나눕니다.

$x^{3}$

$2 x$

$3$

$2 x^{4}$

$19 x^{3}$

$33 x^{2}$

$59 x$

$60$

단계 1.5.3

새로운 몫 값에 제수를 곱합니다.

$x^{3}$

$2 x$

$3$

$2 x^{4}$

$19 x^{3}$

$33 x^{2}$

$59 x$

$60$

$2 x^{4}$

$3 x^{3}$

단계 1.5.4

식을 피제수에서 빼야 하므로 $2 x^{4} + 3 x^{3}$ 의 모든 부호를 바꿉니다.

$x^{3}$

$2 x$

$3$

$2 x^{4}$

$19 x^{3}$

$33 x^{2}$

$59 x$

$60$

$2 x^{4}$

$3 x^{3}$

단계 1.5.5

부호를 바꾼 뒤, 곱한 다항식의 마지막 피제수를 더해 새로운 피제수를 구합니다.

$x^{3}$

$2 x$

$3$

$2 x^{4}$

$19 x^{3}$

$33 x^{2}$

$59 x$

$60$

$2 x^{4}$

$3 x^{3}$

$22 x^{3}$

단계 1.5.6

원래 피제수의 다음 항을 아래로 내려 현재 피제수로 보냅니다.

$x^{3}$

$2 x$

$3$

$2 x^{4}$

$19 x^{3}$

$33 x^{2}$

$59 x$

$60$

$2 x^{4}$

$3 x^{3}$

$22 x^{3}$

$33 x^{2}$

단계 1.5.7

피제수 $- 22 x^{3}$ 의 고차항을 제수 $2 x$ 의 고차항으로 나눕니다.

$x^{3}$

$11 x^{2}$

$2 x$

$3$

$2 x^{4}$

$19 x^{3}$

$33 x^{2}$

$59 x$

$60$

$2 x^{4}$

$3 x^{3}$

$22 x^{3}$

$33 x^{2}$

단계 1.5.8

새로운 몫 값에 제수를 곱합니다.

$x^{3}$

$11 x^{2}$

$2 x$

$3$

$2 x^{4}$

$19 x^{3}$

$33 x^{2}$

$59 x$

$60$

$2 x^{4}$

$3 x^{3}$

$22 x^{3}$

$33 x^{2}$

$22 x^{3}$

$33 x^{2}$

단계 1.5.9

식을 피제수에서 빼야 하므로 $- 22 x^{3} - 33 x^{2}$ 의 모든 부호를 바꿉니다.

$x^{3}$

$11 x^{2}$

$2 x$

$3$

$2 x^{4}$

$19 x^{3}$

$33 x^{2}$

$59 x$

$60$

$2 x^{4}$

$3 x^{3}$

$22 x^{3}$

$33 x^{2}$

$22 x^{3}$

$33 x^{2}$

단계 1.5.10

부호를 바꾼 뒤, 곱한 다항식의 마지막 피제수를 더해 새로운 피제수를 구합니다.

$x^{3}$

$11 x^{2}$

$2 x$

$3$

$2 x^{4}$

$19 x^{3}$

$33 x^{2}$

$59 x$

$60$

$2 x^{4}$

$3 x^{3}$

$22 x^{3}$

$33 x^{2}$

$22 x^{3}$

$33 x^{2}$

$66 x^{2}$

단계 1.5.11

원래 피제수의 다음 항을 아래로 내려 현재 피제수로 보냅니다.

$x^{3}$

$11 x^{2}$

$2 x$

$3$

$2 x^{4}$

$19 x^{3}$

$33 x^{2}$

$59 x$

$60$

$2 x^{4}$

$3 x^{3}$

$22 x^{3}$

$33 x^{2}$

$22 x^{3}$

$33 x^{2}$

$66 x^{2}$

$59 x$

단계 1.5.12

피제수 $66 x^{2}$ 의 고차항을 제수 $2 x$ 의 고차항으로 나눕니다.

$x^{3}$

$11 x^{2}$

$33 x$

$2 x$

$3$

$2 x^{4}$

$19 x^{3}$

$33 x^{2}$

$59 x$

$60$

$2 x^{4}$

$3 x^{3}$

$22 x^{3}$

$33 x^{2}$

$22 x^{3}$

$33 x^{2}$

$66 x^{2}$

$59 x$

단계 1.5.13

새로운 몫 값에 제수를 곱합니다.

$x^{3}$

$11 x^{2}$

$33 x$

$2 x$

$3$

$2 x^{4}$

$19 x^{3}$

$33 x^{2}$

$59 x$

$60$

$2 x^{4}$

$3 x^{3}$

$22 x^{3}$

$33 x^{2}$

$22 x^{3}$

$33 x^{2}$

$66 x^{2}$

$59 x$

$66 x^{2}$

$99 x$

단계 1.5.14

식을 피제수에서 빼야 하므로 $66 x^{2} + 99 x$ 의 모든 부호를 바꿉니다.

$x^{3}$

$11 x^{2}$

$33 x$

$2 x$

$3$

$2 x^{4}$

$19 x^{3}$

$33 x^{2}$

$59 x$

$60$

$2 x^{4}$

$3 x^{3}$

$22 x^{3}$

$33 x^{2}$

$22 x^{3}$

$33 x^{2}$

$66 x^{2}$

$59 x$

$66 x^{2}$

$99 x$

단계 1.5.15

부호를 바꾼 뒤, 곱한 다항식의 마지막 피제수를 더해 새로운 피제수를 구합니다.

$x^{3}$

$11 x^{2}$

$33 x$

$2 x$

$3$

$2 x^{4}$

$19 x^{3}$

$33 x^{2}$

$59 x$

$60$

$2 x^{4}$

$3 x^{3}$

$22 x^{3}$

$33 x^{2}$

$22 x^{3}$

$33 x^{2}$

$66 x^{2}$

$59 x$

$66 x^{2}$

$99 x$

$40 x$

단계 1.5.16

원래 피제수의 다음 항을 아래로 내려 현재 피제수로 보냅니다.

$x^{3}$

$11 x^{2}$

$33 x$

$2 x$

$3$

$2 x^{4}$

$19 x^{3}$

$33 x^{2}$

$59 x$

$60$

$2 x^{4}$

$3 x^{3}$

$22 x^{3}$

$33 x^{2}$

$22 x^{3}$

$33 x^{2}$

$66 x^{2}$

$59 x$

$66 x^{2}$

$99 x$

$40 x$

$60$

단계 1.5.17

피제수 $- 40 x$ 의 고차항을 제수 $2 x$ 의 고차항으로 나눕니다.

$x^{3}$

$11 x^{2}$

$33 x$

$20$

$2 x$

$3$

$2 x^{4}$

$19 x^{3}$

$33 x^{2}$

$59 x$

$60$

$2 x^{4}$

$3 x^{3}$

$22 x^{3}$

$33 x^{2}$

$22 x^{3}$

$33 x^{2}$

$66 x^{2}$

$59 x$

$66 x^{2}$

$99 x$

$40 x$

$60$

단계 1.5.18

새로운 몫 값에 제수를 곱합니다.

$x^{3}$

$11 x^{2}$

$33 x$

$20$

$2 x$

$3$

$2 x^{4}$

$19 x^{3}$

$33 x^{2}$

$59 x$

$60$

$2 x^{4}$

$3 x^{3}$

$22 x^{3}$

$33 x^{2}$

$22 x^{3}$

$33 x^{2}$

$66 x^{2}$

$59 x$

$66 x^{2}$

$99 x$

$40 x$

$60$

$40 x$

$60$

단계 1.5.19

식을 피제수에서 빼야 하므로 $- 40 x - 60$ 의 모든 부호를 바꿉니다.

$x^{3}$

$11 x^{2}$

$33 x$

$20$

$2 x$

$3$

$2 x^{4}$

$19 x^{3}$

$33 x^{2}$

$59 x$

$60$

$2 x^{4}$

$3 x^{3}$

$22 x^{3}$

$33 x^{2}$

$22 x^{3}$

$33 x^{2}$

$66 x^{2}$

$59 x$

$66 x^{2}$

$99 x$

$40 x$

$60$

$40 x$

$60$

단계 1.5.20

부호를 바꾼 뒤, 곱한 다항식의 마지막 피제수를 더해 새로운 피제수를 구합니다.

$x^{3}$

$11 x^{2}$

$33 x$

$20$

$2 x$

$3$

$2 x^{4}$

$19 x^{3}$

$33 x^{2}$

$59 x$

$60$

$2 x^{4}$

$3 x^{3}$

$22 x^{3}$

$33 x^{2}$

$22 x^{3}$

$33 x^{2}$

$66 x^{2}$

$59 x$

$66 x^{2}$

$99 x$

$40 x$

$60$

$40 x$

$60$

$0$

단계 1.5.21

나머지가 $0$ 이므로, 몫이 최종해입니다.

$x^{3} - 11 x^{2} + 33 x - 20$

단계 1.6

$2 x^{4} - 19 x^{3} + 33 x^{2} + 59 x - 60$ 을 인수의 집합으로 표현합니다.

$f (x) = (2 x + 3) (x^{3} - 11 x^{2} + 33 x - 20)$

단계 2

유리근 정리르 이용하여 $x^{3} - 11 x^{2} + 33 x - 20$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

유리근 정리르 이용하여 $x^{3} - 11 x^{2} + 33 x - 20$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.1

다항함수의 계수가 정수인 경우, $p$ 가 상수의 약수이며 $q$ 가 최고차항 계수의 인수일 때 모든 유리근은 $\frac{p}{q}$ 의 형태를 가집니다.

$p = \pm 1, \pm 20, \pm 2, \pm 10, \pm 4, \pm 5$

$q = \pm 1$

단계 2.1.2

$\pm \frac{p}{q}$ 의 모든 조합을 찾습니다. 이들은 다항 함수의 해가 될 수 있습니다.

$\pm 1, \pm 20, \pm 2, \pm 10, \pm 4, \pm 5$

단계 2.1.3

$4$ 을 대입하고 식을 간단히 합니다. 이 경우 식이 $0$ 이므로 $4$ 은 다항식의 근입니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.3.1

$4$ 을 다항식에 대입합니다.

$4^{3} - 11 \cdot 4^{2} + 33 \cdot 4 - 20$

단계 2.1.3.2

$4$ 를 $3$ 승 합니다.

$64 - 11 \cdot 4^{2} + 33 \cdot 4 - 20$

단계 2.1.3.3

$4$ 를 $2$ 승 합니다.

$64 - 11 \cdot 16 + 33 \cdot 4 - 20$

단계 2.1.3.4

$- 11$ 에 $16$ 을 곱합니다.

$64 - 176 + 33 \cdot 4 - 20$

단계 2.1.3.5

$64$ 에서 $176$ 을 뺍니다.

$- 112 + 33 \cdot 4 - 20$

단계 2.1.3.6

$33$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$- 112 + 132 - 20$

단계 2.1.3.7

$- 112$ 를 $132$ 에 더합니다.

$20 - 20$

단계 2.1.3.8

$20$ 에서 $20$ 을 뺍니다.

$0$

단계 2.1.4

$4$ 는 알고 있는 해이므로 다항식을 $x - 4$ 으로 나누어 몫 다항식을 구합니다. 이 다항식은 나머지 해를 찾기 위해 이용됩니다.

$\frac{x^{3} - 11 x^{2} + 33 x - 20}{x - 4}$

단계 2.1.5

$x^{3} - 11 x^{2} + 33 x - 20$ 을 $x - 4$ 로 나눕니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.5.1

다항식을 나눗셈 형태로 적습니다. 각 지수에 대하여 항이 없는 경우 값이 $0$ 인 항을 삽입합니다.

$x$

$4$

$x^{3}$

$11 x^{2}$

$33 x$

$20$

단계 2.1.5.2

피제수 $x^{3}$ 의 고차항을 제수 $x$ 의 고차항으로 나눕니다.

					$x^{2}$
	$x$	-	$4$		$x^{3}$	-	$11 x^{2}$	+	$33 x$	-	$20$

단계 2.1.5.3

새로운 몫 값에 제수를 곱합니다.

				$x^{2}$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	-	$11 x^{2}$	+	$33 x$	-	$20$
			+	$x^{3}$	-	$4 x^{2}$

단계 2.1.5.4

식을 피제수에서 빼야 하므로 $x^{3} - 4 x^{2}$ 의 모든 부호를 바꿉니다.

				$x^{2}$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	-	$11 x^{2}$	+	$33 x$	-	$20$
			-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$

단계 2.1.5.5

부호를 바꾼 뒤, 곱한 다항식의 마지막 피제수를 더해 새로운 피제수를 구합니다.

				$x^{2}$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	-	$11 x^{2}$	+	$33 x$	-	$20$
			-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$7 x^{2}$

단계 2.1.5.6

원래 피제수의 다음 항을 아래로 내려 현재 피제수로 보냅니다.

				$x^{2}$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	-	$11 x^{2}$	+	$33 x$	-	$20$
			-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$7 x^{2}$	+	$33 x$

단계 2.1.5.7

피제수 $- 7 x^{2}$ 의 고차항을 제수 $x$ 의 고차항으로 나눕니다.

				$x^{2}$	-	$7 x$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	-	$11 x^{2}$	+	$33 x$	-	$20$
			-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$7 x^{2}$	+	$33 x$

단계 2.1.5.8

새로운 몫 값에 제수를 곱합니다.

				$x^{2}$	-	$7 x$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	-	$11 x^{2}$	+	$33 x$	-	$20$
			-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$7 x^{2}$	+	$33 x$
					-	$7 x^{2}$	+	$28 x$

단계 2.1.5.9

식을 피제수에서 빼야 하므로 $- 7 x^{2} + 28 x$ 의 모든 부호를 바꿉니다.

				$x^{2}$	-	$7 x$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	-	$11 x^{2}$	+	$33 x$	-	$20$
			-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$7 x^{2}$	+	$33 x$
					+	$7 x^{2}$	-	$28 x$

단계 2.1.5.10

부호를 바꾼 뒤, 곱한 다항식의 마지막 피제수를 더해 새로운 피제수를 구합니다.

				$x^{2}$	-	$7 x$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	-	$11 x^{2}$	+	$33 x$	-	$20$
			-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$7 x^{2}$	+	$33 x$
					+	$7 x^{2}$	-	$28 x$
							+	$5 x$

단계 2.1.5.11

원래 피제수의 다음 항을 아래로 내려 현재 피제수로 보냅니다.

				$x^{2}$	-	$7 x$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	-	$11 x^{2}$	+	$33 x$	-	$20$
			-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$7 x^{2}$	+	$33 x$
					+	$7 x^{2}$	-	$28 x$
							+	$5 x$	-	$20$

단계 2.1.5.12

피제수 $5 x$ 의 고차항을 제수 $x$ 의 고차항으로 나눕니다.

				$x^{2}$	-	$7 x$	+	$5$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	-	$11 x^{2}$	+	$33 x$	-	$20$
			-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$7 x^{2}$	+	$33 x$
					+	$7 x^{2}$	-	$28 x$
							+	$5 x$	-	$20$

단계 2.1.5.13

새로운 몫 값에 제수를 곱합니다.

				$x^{2}$	-	$7 x$	+	$5$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	-	$11 x^{2}$	+	$33 x$	-	$20$
			-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$7 x^{2}$	+	$33 x$
					+	$7 x^{2}$	-	$28 x$
							+	$5 x$	-	$20$
							+	$5 x$	-	$20$

단계 2.1.5.14

식을 피제수에서 빼야 하므로 $5 x - 20$ 의 모든 부호를 바꿉니다.

				$x^{2}$	-	$7 x$	+	$5$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	-	$11 x^{2}$	+	$33 x$	-	$20$
			-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$7 x^{2}$	+	$33 x$
					+	$7 x^{2}$	-	$28 x$
							+	$5 x$	-	$20$
							-	$5 x$	+	$20$

단계 2.1.5.15

부호를 바꾼 뒤, 곱한 다항식의 마지막 피제수를 더해 새로운 피제수를 구합니다.

				$x^{2}$	-	$7 x$	+	$5$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	-	$11 x^{2}$	+	$33 x$	-	$20$
			-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$7 x^{2}$	+	$33 x$
					+	$7 x^{2}$	-	$28 x$
							+	$5 x$	-	$20$
							-	$5 x$	+	$20$
										$0$

단계 2.1.5.16

나머지가 $0$ 이므로, 몫이 최종해입니다.

$x^{2} - 7 x + 5$

단계 2.1.6

$x^{3} - 11 x^{2} + 33 x - 20$ 을 인수의 집합으로 표현합니다.

$f (x) = (2 x + 3) ((x - 4) (x^{2} - 7 x + 5))$

단계 2.2

불필요한 괄호를 제거합니다.

$f (x) = (2 x + 3) (x - 4) (x^{2} - 7 x + 5)$