삼각법 예제

$\csc (x) > 0$ , $\cot (x) < 0$

단계 1

코시컨트의 범위는 $y \leq - 1$ 과 $y \geq 1$ 입니다. $0$ 은 이 구간에 속하지 않으므로 해가 존재하지 않습니다.

해 없음

단계 2

$\cot (x) < 0$ 을 $x$ 에 대해 풉니다.

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단계 2.1

코탄젠트 안의 $x$ 를 꺼내기 위해 방정식 양변에 코탄젠트의 역을 취합니다.

$x < arccot (0)$

단계 2.2

우변을 간단히 합니다.

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단계 2.2.1

$arccot (0)$ 의 정확한 값은 $\frac{π}{2}$ 입니다.

$x < \frac{π}{2}$

단계 2.3

코탄젠트 함수는 제1사분면과 제3사분면에서 양의 값을 가집니다. 두 번째 해를 구하려면 $π$ 에 기준각을 더하여 제4사분면에 있는 해를 구합니다.

$x = π + \frac{π}{2}$

단계 2.4

$π + \frac{π}{2}$ 을 간단히 합니다.

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단계 2.4.1

공통 분모를 가지는 분수로 $π$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$x = π \cdot \frac{2}{2} + \frac{π}{2}$

단계 2.4.2

분수를 통분합니다.

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단계 2.4.2.1

$π$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$x = \frac{π \cdot 2}{2} + \frac{π}{2}$

단계 2.4.2.2

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$x = \frac{π \cdot 2 + π}{2}$

단계 2.4.3

분자를 간단히 합니다.

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단계 2.4.3.1

$π$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$x = \frac{2 \cdot π + π}{2}$

단계 2.4.3.2

$2 π$ 를 $π$ 에 더합니다.

$x = \frac{3 π}{2}$

단계 2.5

$\cot (x)$ 주기를 구합니다.

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단계 2.5.1

함수의 주기는 $\frac{π}{| b |}$ 를 이용하여 구할 수 있습니다.

$\frac{π}{| b |}$

단계 2.5.2

주기 공식에서 $b$ 에 $1$ 을 대입합니다.

$\frac{π}{| 1 |}$

단계 2.5.3

절댓값은 숫자와 0 사이의 거리를 말합니다. $0$ 과 $1$ 사이의 거리는 $1$ 입니다.

$\frac{π}{1}$

단계 2.5.4

$π$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$π$

단계 2.6

함수 $\cot (x)$ 의 주기는 $π$ 이므로 양 방향으로 $π$ 라디안마다 값이 반복됩니다.

임의의 정수 $n$ 에 대해 $x = \frac{π}{2} + π n, \frac{3 π}{2} + π n$

단계 2.7

답안을 하나로 합합니다.

임의의 정수 $n$ 에 대해 $x = \frac{π}{2} + π n$

단계 2.8

$\cot (x)$ 의 정의역을 구합니다.

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단계 2.8.1

식이 정의되지 않은 지점을 알아내려면 $\cot (x)$ 의 진수를 $π n$ 과 같게 설정해야 합니다.

임의의 정수 $n$ 에 대해 $x = π n$

단계 2.8.2

정의역은 수식을 정의하는 모든 유효한 $x$ 값입니다.

임의의 정수 $n$ 에 대한 ${x | x \neq π n}$ $n$

단계 2.9

각 근을 사용하여 시험 구간을 만듭니다.

$0 < x < \frac{π}{2}$

$\frac{π}{2} < x < π$

$π < x < \frac{3 π}{2}$

단계 2.10

각 구간에서 실험값을 선택하고 이를 원래의 부등식에 대입하여 어느 구간이 부등식을 만족하는지 확인합니다.

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단계 2.10.1

$0 < x < \frac{π}{2}$ 구간에서 하나의 값을 시험하여 이 값이 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

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단계 2.10.1.1

$0 < x < \frac{π}{2}$ 구간에서 하나의 값을 선택하고 이 값이 원래의 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

$x = 1$

단계 2.10.1.2

원래 부등식에서 $x$ 를 $1$ 로 치환합니다.

$\cot (1) < 0$

단계 2.10.1.3

좌변 $0.64209261$ 이 우변 $0$ 보다 작지 않으므로 주어진 명제는 거짓입니다.

False

단계 2.10.2

$\frac{π}{2} < x < π$ 구간에서 하나의 값을 시험하여 이 값이 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

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단계 2.10.2.1

$\frac{π}{2} < x < π$ 구간에서 하나의 값을 선택하고 이 값이 원래의 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

$x = 2$

단계 2.10.2.2

원래 부등식에서 $x$ 를 $2$ 로 치환합니다.

$\cot (2) < 0$

단계 2.10.2.3

좌변 $- 0.45765755$ 이 우변 $0$ 보다 작으므로 주어진 명제는 항상 참입니다.

True

단계 2.10.3

$π < x < \frac{3 π}{2}$ 구간에서 하나의 값을 시험하여 이 값이 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

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단계 2.10.3.1

$π < x < \frac{3 π}{2}$ 구간에서 하나의 값을 선택하고 이 값이 원래의 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

$x = 4$

단계 2.10.3.2

원래 부등식에서 $x$ 를 $4$ 로 치환합니다.

$\cot (4) < 0$

단계 2.10.3.3

좌변 $0.86369115$ 이 우변 $0$ 보다 작지 않으므로 주어진 명제는 거짓입니다.

False

단계 2.10.4

구간을 비교하여 원래의 부등식을 만족하는 구간을 찾습니다.

$0 < x < \frac{π}{2}$ 거짓

$\frac{π}{2} < x < π$ 참

$π < x < \frac{3 π}{2}$ 거짓

$0 < x < \frac{π}{2}$ 거짓

$\frac{π}{2} < x < π$ 참

$π < x < \frac{3 π}{2}$ 거짓

단계 2.11

해는 모두 참인 구간으로 이루어져 있습니다.

임의의 정수 $n$ 에 대해 $\frac{π}{2} + π n < x < π + π n$

단계 3

Find the intersection of No solution and $\frac{π}{2} + π n < x < π + π n$ .

해 없음