삼각법 예제

$4 x^{2} + 4 x + y^{2} = 0$

단계 1

타원 방정식의 표준형을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

$4 x^{2} + 4 x$ 를 완전제곱식 형태로 만듭니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.1

$a x^{2} + b x + c$ 형태를 이용해 $a$ , $b$ , $c$ 값을 구합니다.

$a = 4$

$b = 4$

$c = 0$

단계 1.1.2

포물선 방정식의 꼭짓점 형태를 이용합니다.

$a {(x + d)}^{2} + e$

단계 1.1.3

$d = \frac{b}{2 a}$ 공식을 이용하여 $d$ 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.3.1

$a$ 과 $b$ 값을 공식 $d = \frac{b}{2 a}$ 에 대입합니다.

$d = \frac{4}{2 \cdot 4}$

단계 1.1.3.2

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.3.2.1

$4$ 및 $2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.3.2.1.1

$4$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$d = \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 4}$

단계 1.1.3.2.1.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.3.2.1.2.1

$2 \cdot 4$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$d = \frac{2 \cdot 2}{2 (4)}$

단계 1.1.3.2.1.2.2

공약수로 약분합니다.

$d = \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 4}$

단계 1.1.3.2.1.2.3

수식을 다시 씁니다.

$d = \frac{2}{4}$

단계 1.1.3.2.2

$2$ 및 $4$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.3.2.2.1

$2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$d = \frac{2 (1)}{4}$

단계 1.1.3.2.2.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.3.2.2.2.1

$4$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$d = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}$

단계 1.1.3.2.2.2.2

공약수로 약분합니다.

$d = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}$

단계 1.1.3.2.2.2.3

수식을 다시 씁니다.

$d = \frac{1}{2}$

단계 1.1.4

$e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ 공식을 이용하여 $e$ 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.4.1

$c$ , $b$ , $a$ 값을 공식 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ 에 대입합니다.

$e = 0 - \frac{4^{2}}{4 \cdot 4}$

단계 1.1.4.2

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.4.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.4.2.1.1

$4^{2}$ 및 $4$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.4.2.1.1.1

$4^{2}$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$e = 0 - \frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 4}$

단계 1.1.4.2.1.1.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.4.2.1.1.2.1

$4 \cdot 4$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$e = 0 - \frac{4 \cdot 4}{4 (4)}$

단계 1.1.4.2.1.1.2.2

공약수로 약분합니다.

$e = 0 - \frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 4}$

단계 1.1.4.2.1.1.2.3

수식을 다시 씁니다.

$e = 0 - \frac{4}{4}$

단계 1.1.4.2.1.2

$4$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.4.2.1.2.1

공약수로 약분합니다.

$e = 0 - \frac{4}{4}$

단계 1.1.4.2.1.2.2

수식을 다시 씁니다.

$e = 0 - 1 \cdot 1$

단계 1.1.4.2.1.3

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$e = 0 - 1$

단계 1.1.4.2.2

$0$ 에서 $1$ 을 뺍니다.

$e = - 1$

단계 1.1.5

$a$ , $d$ , $e$ 값을 꼭짓점 형태 $4 {(x + \frac{1}{2})}^{2} - 1$ 에 대입합니다.

$4 {(x + \frac{1}{2})}^{2} - 1$

단계 1.2

$4 x^{2} + 4 x$ 를 $4 {(x + \frac{1}{2})}^{2} - 1$ 로 바꿔 방정식 $4 x^{2} + 4 x + y^{2} = 0$ 에 대입합니다.

$4 {(x + \frac{1}{2})}^{2} - 1 + y^{2} = 0$

단계 1.3

양변에 $1$ 을 더하여 $- 1$ 을 방정식의 우변으로 보냅니다.

$4 {(x + \frac{1}{2})}^{2} + y^{2} = 0 + 1$

단계 1.4

$0$ 를 $1$ 에 더합니다.

$4 {(x + \frac{1}{2})}^{2} + y^{2} = 1$

단계 1.5

우변을 $1$ 로 만들기 위하여 식의 각 변을 간단히 합니다. 타원 또는 쌍곡선의 표준식의 우변은 $1$ 입니다.

$\frac{{(x + \frac{1}{2})}^{2}}{\frac{1}{4}} + y^{2} = 1$

단계 2

이것은 타원의 형태입니다. 이 형태를 이용하여 타원의 장축과 주축을 따라 중심을 찾는 데 사용되는 값들을 구합니다.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} = 1$

단계 3

이 타원의 값들을 표준형과 맞춰 봅니다. 변수 $a$ 는 타원의 장축의 반지름을, $b$ 는 타원의 단축의 반지름을, $h$ 는 원점으로부터의 x축 방향으로 떨어진 거리를, $k$ 는 원점으로부터 y축 방향으로 떨어진 거리를 의미합니다.

$a = 1$

$b = \frac{1}{2}$

$k = 0$

$h = - \frac{1}{2}$

단계 4

타원의 중심은 $(h, k)$ 형태입니다. $h$ 와 $k$ 값을 식에 대입합니다.

$(- \frac{1}{2}, 0)$

단계 5

중심으로부터 초점까지의 거리인 $c$ 를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

다음의 공식을 이용하여 중심으로부터 타원의 중점까지의 거리를 구합니다.

$\sqrt{a^{2} - b^{2}}$

단계 5.2

$a$ , $b$ 값을 공식에 대입합니다.

$\sqrt{{(1)}^{2} - {(\frac{1}{2})}^{2}}$

단계 5.3

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.1

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$\sqrt{1 - {(\frac{1}{2})}^{2}}$

단계 5.3.2

$\frac{1}{2}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$\sqrt{1 - \frac{1^{2}}{2^{2}}}$

단계 5.3.3

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$\sqrt{1 - \frac{1}{2^{2}}}$

단계 5.3.4

$2$ 를 $2$ 승 합니다.

$\sqrt{1 - \frac{1}{4}}$

단계 5.3.5

$1$ 을(를) 공통분모가 있는 분수로 표현합니다.

$\sqrt{\frac{4}{4} - \frac{1}{4}}$

단계 5.3.6

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\sqrt{\frac{4 - 1}{4}}$

단계 5.3.7

$4$ 에서 $1$ 을 뺍니다.

$\sqrt{\frac{3}{4}}$

단계 5.3.8

$\sqrt{\frac{3}{4}}$ 을 $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{4}}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{4}}$

단계 5.3.9

분모를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.9.1

$4$ 을 $2^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2^{2}}}$

단계 5.3.9.2

양의 실수로 가정하여 근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$\frac{\sqrt{3}}{2}$

단계 6

꼭짓점을 찾습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1

타원의 첫 번째 꼭짓점은 $k$ 에 $a$ 를 더해서 구할 수 있습니다.

$(h, k + a)$

단계 6.2

알고 있는 값인 $h$ , $a$ , $k$ 를 공식에 대입합니다.

$(- \frac{1}{2}, 0 + 1)$

단계 6.3

간단히 합니다.

$(- \frac{1}{2}, 1)$

단계 6.4

The second vertex of an ellipse can be found by subtracting $a$ from $k$ .

$(h, k - a)$

단계 6.5

알고 있는 값인 $h$ , $a$ , $k$ 를 공식에 대입합니다.

$(- \frac{1}{2}, 0 - (1))$

단계 6.6

간단히 합니다.

$(- \frac{1}{2}, - 1)$

단계 6.7

타원에는 꼭짓점이 2개 있습니다.

${Vertex}_{1}$ : $(- \frac{1}{2}, 1)$

${Vertex}_{2}$ : $(- \frac{1}{2}, - 1)$

${Vertex}_{1}$ : $(- \frac{1}{2}, 1)$

${Vertex}_{2}$ : $(- \frac{1}{2}, - 1)$

단계 7

초점을 찾습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1

타원의 첫 번째 초점은 $k$ 에 $c$ 를 더해 구할 수 있습니다.

$(h, k + c)$

단계 7.2

알고 있는 값인 $h$ , $c$ , $k$ 를 공식에 대입합니다.

$(- \frac{1}{2}, 0 + \frac{\sqrt{3}}{2})$

단계 7.3

간단히 합니다.

$(- \frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2})$

단계 7.4

타원의 첫 번째 초점은 $k$ 에서 $c$ 를 빼서 구할 수 있습니다.

$(h, k - c)$

단계 7.5

알고 있는 값인 $h$ , $c$ , $k$ 를 공식에 대입합니다.

$(- \frac{1}{2}, 0 - (\frac{\sqrt{3}}{2}))$

단계 7.6

간단히 합니다.

$(- \frac{1}{2}, - \frac{\sqrt{3}}{2})$

단계 7.7

타원에는 초점이 2개 있습니다.

${Focus}_{1}$ : $(- \frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2})$

${Focus}_{2}$ : $(- \frac{1}{2}, - \frac{\sqrt{3}}{2})$

${Focus}_{1}$ : $(- \frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2})$

${Focus}_{2}$ : $(- \frac{1}{2}, - \frac{\sqrt{3}}{2})$

단계 8

이심률을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.1

다음의 공식을 이용하여 이심률 값을 구합니다.

$\frac{\sqrt{a^{2} - b^{2}}}{a}$

단계 8.2

$a$ , $b$ 값을 공식에 대입합니다.

$\frac{\sqrt{{(1)}^{2} - {(\frac{1}{2})}^{2}}}{1}$

단계 8.3

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.3.1

$\sqrt{{(1)}^{2} - {(\frac{1}{2})}^{2}}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$\sqrt{{(1)}^{2} - {(\frac{1}{2})}^{2}}$

단계 8.3.2

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$\sqrt{1 - {(\frac{1}{2})}^{2}}$

단계 8.3.3

$\frac{1}{2}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$\sqrt{1 - \frac{1^{2}}{2^{2}}}$

단계 8.3.4

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$\sqrt{1 - \frac{1}{2^{2}}}$

단계 8.3.5

$2$ 를 $2$ 승 합니다.

$\sqrt{1 - \frac{1}{4}}$

단계 8.3.6

$1$ 을(를) 공통분모가 있는 분수로 표현합니다.

$\sqrt{\frac{4}{4} - \frac{1}{4}}$

단계 8.3.7

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\sqrt{\frac{4 - 1}{4}}$

단계 8.3.8

$4$ 에서 $1$ 을 뺍니다.

$\sqrt{\frac{3}{4}}$

단계 8.3.9

$\sqrt{\frac{3}{4}}$ 을 $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{4}}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{4}}$

단계 8.3.10

분모를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.3.10.1

$4$ 을 $2^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2^{2}}}$

단계 8.3.10.2

양의 실수로 가정하여 근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$\frac{\sqrt{3}}{2}$

단계 9

이는 타원을 그리고 분석하는 데 사용되는 중요한 값들입니다.

중심: $(- \frac{1}{2}, 0)$

${Vertex}_{1}$ : $(- \frac{1}{2}, 1)$

${Vertex}_{2}$ : $(- \frac{1}{2}, - 1)$

${Focus}_{1}$ : $(- \frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2})$

${Focus}_{2}$ : $(- \frac{1}{2}, - \frac{\sqrt{3}}{2})$

이심률: $\frac{\sqrt{3}}{2}$

단계 10