삼각법 예제

$a = 8$ , $c = 13$ , $B = 150$

단계 1

두 변의 길이와 사이각이 주어졌을 때 코사인 법칙을 이용하여 삼각형의 나머지 변의 길이를 구합니다.

$b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c \cos (B)$

단계 2

식을 풉니다.

$b = \sqrt{a^{2} + c^{2} - 2 a c \cos (B)}$

단계 3

방정식에 알고 있는 값을 대입합니다.

$b = \sqrt{{(8)}^{2} + {(13)}^{2} - 2 \cdot 8 \cdot 13 \cos (150)}$

단계 4

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

$8$ 를 $2$ 승 합니다.

$b = \sqrt{64 + {(13)}^{2} - 2 \cdot 8 \cdot (13 \cos (150))}$

단계 4.2

$13$ 를 $2$ 승 합니다.

$b = \sqrt{64 + 169 - 2 \cdot 8 \cdot (13 \cos (150))}$

단계 4.3

$- 2 \cdot 8 \cdot 13$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.1

$- 2$ 에 $8$ 을 곱합니다.

$b = \sqrt{64 + 169 - 16 \cdot (13 \cos (150))}$

단계 4.3.2

$- 16$ 에 $13$ 을 곱합니다.

$b = \sqrt{64 + 169 - 208 \cos (150)}$

단계 4.4

제1사분면에서 동일한 삼각값을 갖는 각도를 찾아 기준 각도를 적용합니다. 제2사분면에서 코사인이 음수이므로 수식에 마이너스 부호를 붙입니다.

$b = \sqrt{64 + 169 - 208 (- \cos (30))}$

단계 4.5

$\cos (30)$ 의 정확한 값은 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 입니다.

$b = \sqrt{64 + 169 - 208 (- \frac{\sqrt{3}}{2})}$

단계 4.6

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.6.1

$- \frac{\sqrt{3}}{2}$ 의 마이너스 부호를 분자로 이동합니다.

$b = \sqrt{64 + 169 - 208 \frac{- \sqrt{3}}{2}}$

단계 4.6.2

$- 208$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$b = \sqrt{64 + 169 + 2 (- 104) (\frac{- \sqrt{3}}{2})}$

단계 4.6.3

공약수로 약분합니다.

$b = \sqrt{64 + 169 + 2 \cdot (- 104 \frac{- \sqrt{3}}{2})}$

단계 4.6.4

수식을 다시 씁니다.

$b = \sqrt{64 + 169 - 104 (- \sqrt{3})}$

단계 4.7

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.7.1

$- 1$ 에 $- 104$ 을 곱합니다.

$b = \sqrt{64 + 169 + 104 \sqrt{3}}$

단계 4.7.2

$64$ 를 $169$ 에 더합니다.

$b = \sqrt{233 + 104 \sqrt{3}}$

단계 5

사인 법칙은 삼각형의 변과 각이 비례함을 바탕으로 합니다. 이 법칙에 따르면 직각이 아닌 삼각형에서 삼각형의 변의 비는 각의 사인값의 비와 같습니다.

$\frac{\sin (A)}{a} = \frac{\sin (B)}{b} = \frac{\sin (C)}{c}$

단계 6

$A$ 을 알아내기 위해 알고 있는 값을 사인 법칙에 대입합니다.

$\frac{\sin (A)}{8} = \frac{\sin (150)}{\sqrt{233 + 104 \sqrt{3}}}$

단계 7

$A$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1

방정식의 양변에 $8$ 을 곱합니다.

$8 \frac{\sin (A)}{8} = 8 \frac{\sin (150)}{\sqrt{233 + 104 \sqrt{3}}}$

단계 7.2

방정식의 양변을 간단히 정리합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.1

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.1.1

$8$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.1.1.1

공약수로 약분합니다.

$8 \frac{\sin (A)}{8} = 8 \frac{\sin (150)}{\sqrt{233 + 104 \sqrt{3}}}$

단계 7.2.1.1.2

수식을 다시 씁니다.

$\sin (A) = 8 \frac{\sin (150)}{\sqrt{233 + 104 \sqrt{3}}}$

단계 7.2.2

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.2.1

$8 \frac{\sin (150)}{\sqrt{233 + 104 \sqrt{3}}}$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.2.1.1

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.2.1.1.1

제1사분면에서 동일한 삼각값을 갖는 각도를 찾아 기준 각도를 적용합니다.

$\sin (A) = 8 \frac{\sin (30)}{\sqrt{233 + 104 \sqrt{3}}}$

단계 7.2.2.1.1.2

$\sin (30)$ 의 정확한 값은 $\frac{1}{2}$ 입니다.

$\sin (A) = 8 \frac{\frac{1}{2}}{\sqrt{233 + 104 \sqrt{3}}}$

단계 7.2.2.1.2

분자에 분모의 역수를 곱합니다.

$\sin (A) = 8 (\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{233 + 104 \sqrt{3}}})$

단계 7.2.2.1.3

$\frac{1}{2}$ 에 $\frac{1}{\sqrt{233 + 104 \sqrt{3}}}$ 을 곱합니다.

$\sin (A) = 8 \frac{1}{2 \sqrt{233 + 104 \sqrt{3}}}$

단계 7.2.2.1.4

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.2.1.4.1

$8$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\sin (A) = 2 (4) \frac{1}{2 \sqrt{233 + 104 \sqrt{3}}}$

단계 7.2.2.1.4.2

$2 \sqrt{233 + 104 \sqrt{3}}$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\sin (A) = 2 (4) \frac{1}{2 (\sqrt{233 + 104 \sqrt{3}})}$

단계 7.2.2.1.4.3

공약수로 약분합니다.

$\sin (A) = 2 \cdot 4 \frac{1}{2 \sqrt{233 + 104 \sqrt{3}}}$

단계 7.2.2.1.4.4

수식을 다시 씁니다.

$\sin (A) = 4 \frac{1}{\sqrt{233 + 104 \sqrt{3}}}$

단계 7.2.2.1.5

$4$ 와 $\frac{1}{\sqrt{233 + 104 \sqrt{3}}}$ 을 묶습니다.

$\sin (A) = \frac{4}{\sqrt{233 + 104 \sqrt{3}}}$

단계 7.3

사인 안의 $A$ 를 꺼내기 위해 방정식 양변에 사인의 역을 취합니다.

$A = \arcsin (\frac{4}{\sqrt{233 + 104 \sqrt{3}}})$

단계 7.4

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.4.1

$\arcsin (\frac{4}{\sqrt{233 + 104 \sqrt{3}}})$ 의 값을 구합니다.

$A = 11.34962381$

단계 7.5

사인 함수는 제1사분면과 제2사분면에서 양의 값을 가집니다. 두 번째 해를 구하려면 $180$ 에서 기준각을 빼어 제2사분면에 속한 해를 구합니다.

$A = 180 - 11.34962381$

단계 7.6

$180$ 에서 $11.34962381$ 을 뺍니다.

$A = 168.65037618$

단계 7.7

방정식 $A = 11.34962381$ 의 해.

$A = 11.34962381, 168.65037618$

단계 7.8

잘못된 각을 버립니다.

$A = 11.34962381$

단계 8

삼각형에서 모든 각의 합은 $180$ 도입니다.

$11.34962381 + C + 150 = 180$

단계 9

$C$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.1

$11.34962381$ 를 $150$ 에 더합니다.

$C + 161.34962381 = 180$

단계 9.2

$C$ 를 포함하지 않은 모든 항을 방정식의 우변으로 옮깁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.2.1

방정식의 양변에서 $161.34962381$ 를 뺍니다.

$C = 180 - 161.34962381$

단계 9.2.2

$180$ 에서 $161.34962381$ 을 뺍니다.

$C = 18.65037618$

단계 10

주어진 삼각형의 모든 각과 변에 대한 결과는 다음과 같습니다.

$A = 11.34962381$

$B = 150$

$C = 18.65037618$

$a = 8$

$b = \sqrt{233 + 104 \sqrt{3}}$

$c = 13$