삼각법 예제

${(1 + i)}^{8}$

단계 1

이항정리 이용

$1^{8} + 8 \cdot 1^{7} i + 28 \cdot 1^{6} i^{2} + 56 \cdot 1^{5} i^{3} + 70 \cdot 1^{4} i^{4} + 56 \cdot 1^{3} i^{5} + 28 \cdot 1^{2} i^{6} + 8 \cdot 1 i^{7} + i^{8}$

단계 2

항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.1

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$1 + 8 \cdot 1^{7} i + 28 \cdot 1^{6} i^{2} + 56 \cdot 1^{5} i^{3} + 70 \cdot 1^{4} i^{4} + 56 \cdot 1^{3} i^{5} + 28 \cdot 1^{2} i^{6} + 8 \cdot 1 i^{7} + i^{8}$

단계 2.1.2

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$1 + 8 \cdot 1 i + 28 \cdot 1^{6} i^{2} + 56 \cdot 1^{5} i^{3} + 70 \cdot 1^{4} i^{4} + 56 \cdot 1^{3} i^{5} + 28 \cdot 1^{2} i^{6} + 8 \cdot 1 i^{7} + i^{8}$

단계 2.1.3

$8$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$1 + 8 i + 28 \cdot 1^{6} i^{2} + 56 \cdot 1^{5} i^{3} + 70 \cdot 1^{4} i^{4} + 56 \cdot 1^{3} i^{5} + 28 \cdot 1^{2} i^{6} + 8 \cdot 1 i^{7} + i^{8}$

단계 2.1.4

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$1 + 8 i + 28 \cdot 1 i^{2} + 56 \cdot 1^{5} i^{3} + 70 \cdot 1^{4} i^{4} + 56 \cdot 1^{3} i^{5} + 28 \cdot 1^{2} i^{6} + 8 \cdot 1 i^{7} + i^{8}$

단계 2.1.5

$28$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$1 + 8 i + 28 i^{2} + 56 \cdot 1^{5} i^{3} + 70 \cdot 1^{4} i^{4} + 56 \cdot 1^{3} i^{5} + 28 \cdot 1^{2} i^{6} + 8 \cdot 1 i^{7} + i^{8}$

단계 2.1.6

$i^{2}$ 을 $- 1$ 로 바꿔 씁니다.

$1 + 8 i + 28 \cdot - 1 + 56 \cdot 1^{5} i^{3} + 70 \cdot 1^{4} i^{4} + 56 \cdot 1^{3} i^{5} + 28 \cdot 1^{2} i^{6} + 8 \cdot 1 i^{7} + i^{8}$

단계 2.1.7

$28$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$1 + 8 i - 28 + 56 \cdot 1^{5} i^{3} + 70 \cdot 1^{4} i^{4} + 56 \cdot 1^{3} i^{5} + 28 \cdot 1^{2} i^{6} + 8 \cdot 1 i^{7} + i^{8}$

단계 2.1.8

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$1 + 8 i - 28 + 56 \cdot 1 i^{3} + 70 \cdot 1^{4} i^{4} + 56 \cdot 1^{3} i^{5} + 28 \cdot 1^{2} i^{6} + 8 \cdot 1 i^{7} + i^{8}$

단계 2.1.9

$56$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$1 + 8 i - 28 + 56 i^{3} + 70 \cdot 1^{4} i^{4} + 56 \cdot 1^{3} i^{5} + 28 \cdot 1^{2} i^{6} + 8 \cdot 1 i^{7} + i^{8}$

단계 2.1.10

$i^{2}$ 로 인수분해합니다.

$1 + 8 i - 28 + 56 (i^{2} \cdot i) + 70 \cdot 1^{4} i^{4} + 56 \cdot 1^{3} i^{5} + 28 \cdot 1^{2} i^{6} + 8 \cdot 1 i^{7} + i^{8}$

단계 2.1.11

$i^{2}$ 을 $- 1$ 로 바꿔 씁니다.

$1 + 8 i - 28 + 56 (- 1 \cdot i) + 70 \cdot 1^{4} i^{4} + 56 \cdot 1^{3} i^{5} + 28 \cdot 1^{2} i^{6} + 8 \cdot 1 i^{7} + i^{8}$

단계 2.1.12

$- 1 i$ 을 $- i$ 로 바꿔 씁니다.

$1 + 8 i - 28 + 56 (- i) + 70 \cdot 1^{4} i^{4} + 56 \cdot 1^{3} i^{5} + 28 \cdot 1^{2} i^{6} + 8 \cdot 1 i^{7} + i^{8}$

단계 2.1.13

$- 1$ 에 $56$ 을 곱합니다.

$1 + 8 i - 28 - 56 i + 70 \cdot 1^{4} i^{4} + 56 \cdot 1^{3} i^{5} + 28 \cdot 1^{2} i^{6} + 8 \cdot 1 i^{7} + i^{8}$

단계 2.1.14

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$1 + 8 i - 28 - 56 i + 70 \cdot 1 i^{4} + 56 \cdot 1^{3} i^{5} + 28 \cdot 1^{2} i^{6} + 8 \cdot 1 i^{7} + i^{8}$

단계 2.1.15

$70$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$1 + 8 i - 28 - 56 i + 70 i^{4} + 56 \cdot 1^{3} i^{5} + 28 \cdot 1^{2} i^{6} + 8 \cdot 1 i^{7} + i^{8}$

단계 2.1.16

$i^{4}$ 을 $1$ 로 바꿔 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.16.1

$i^{4}$ 을 ${(i^{2})}^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$1 + 8 i - 28 - 56 i + 70 {(i^{2})}^{2} + 56 \cdot 1^{3} i^{5} + 28 \cdot 1^{2} i^{6} + 8 \cdot 1 i^{7} + i^{8}$

단계 2.1.16.2

$i^{2}$ 을 $- 1$ 로 바꿔 씁니다.

$1 + 8 i - 28 - 56 i + 70 {(- 1)}^{2} + 56 \cdot 1^{3} i^{5} + 28 \cdot 1^{2} i^{6} + 8 \cdot 1 i^{7} + i^{8}$

단계 2.1.16.3

$- 1$ 를 $2$ 승 합니다.

$1 + 8 i - 28 - 56 i + 70 \cdot 1 + 56 \cdot 1^{3} i^{5} + 28 \cdot 1^{2} i^{6} + 8 \cdot 1 i^{7} + i^{8}$

단계 2.1.17

$70$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$1 + 8 i - 28 - 56 i + 70 + 56 \cdot 1^{3} i^{5} + 28 \cdot 1^{2} i^{6} + 8 \cdot 1 i^{7} + i^{8}$

단계 2.1.18

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$1 + 8 i - 28 - 56 i + 70 + 56 \cdot 1 i^{5} + 28 \cdot 1^{2} i^{6} + 8 \cdot 1 i^{7} + i^{8}$

단계 2.1.19

$56$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$1 + 8 i - 28 - 56 i + 70 + 56 i^{5} + 28 \cdot 1^{2} i^{6} + 8 \cdot 1 i^{7} + i^{8}$

단계 2.1.20

$i^{4}$ 로 인수분해합니다.

$1 + 8 i - 28 - 56 i + 70 + 56 (i^{4} i) + 28 \cdot 1^{2} i^{6} + 8 \cdot 1 i^{7} + i^{8}$

단계 2.1.21

$i^{4}$ 을 $1$ 로 바꿔 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.21.1

$i^{4}$ 을 ${(i^{2})}^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$1 + 8 i - 28 - 56 i + 70 + 56 ({(i^{2})}^{2} i) + 28 \cdot 1^{2} i^{6} + 8 \cdot 1 i^{7} + i^{8}$

단계 2.1.21.2

$i^{2}$ 을 $- 1$ 로 바꿔 씁니다.

$1 + 8 i - 28 - 56 i + 70 + 56 ({(- 1)}^{2} i) + 28 \cdot 1^{2} i^{6} + 8 \cdot 1 i^{7} + i^{8}$

단계 2.1.21.3

$- 1$ 를 $2$ 승 합니다.

$1 + 8 i - 28 - 56 i + 70 + 56 (1 i) + 28 \cdot 1^{2} i^{6} + 8 \cdot 1 i^{7} + i^{8}$

단계 2.1.22

$i$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$1 + 8 i - 28 - 56 i + 70 + 56 i + 28 \cdot 1^{2} i^{6} + 8 \cdot 1 i^{7} + i^{8}$

단계 2.1.23

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$1 + 8 i - 28 - 56 i + 70 + 56 i + 28 \cdot 1 i^{6} + 8 \cdot 1 i^{7} + i^{8}$

단계 2.1.24

$28$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$1 + 8 i - 28 - 56 i + 70 + 56 i + 28 i^{6} + 8 \cdot 1 i^{7} + i^{8}$

단계 2.1.25

$i^{4}$ 로 인수분해합니다.

$1 + 8 i - 28 - 56 i + 70 + 56 i + 28 (i^{4} i^{2}) + 8 \cdot 1 i^{7} + i^{8}$

단계 2.1.26

$i^{4}$ 을 $1$ 로 바꿔 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.26.1

$i^{4}$ 을 ${(i^{2})}^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$1 + 8 i - 28 - 56 i + 70 + 56 i + 28 ({(i^{2})}^{2} i^{2}) + 8 \cdot 1 i^{7} + i^{8}$

단계 2.1.26.2

$i^{2}$ 을 $- 1$ 로 바꿔 씁니다.

$1 + 8 i - 28 - 56 i + 70 + 56 i + 28 ({(- 1)}^{2} i^{2}) + 8 \cdot 1 i^{7} + i^{8}$

단계 2.1.26.3

$- 1$ 를 $2$ 승 합니다.

$1 + 8 i - 28 - 56 i + 70 + 56 i + 28 (1 i^{2}) + 8 \cdot 1 i^{7} + i^{8}$

단계 2.1.27

$i^{2}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$1 + 8 i - 28 - 56 i + 70 + 56 i + 28 i^{2} + 8 \cdot 1 i^{7} + i^{8}$

단계 2.1.28

$i^{2}$ 을 $- 1$ 로 바꿔 씁니다.

$1 + 8 i - 28 - 56 i + 70 + 56 i + 28 \cdot - 1 + 8 \cdot 1 i^{7} + i^{8}$

단계 2.1.29

$28$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$1 + 8 i - 28 - 56 i + 70 + 56 i - 28 + 8 \cdot 1 i^{7} + i^{8}$

단계 2.1.30

$8$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$1 + 8 i - 28 - 56 i + 70 + 56 i - 28 + 8 i^{7} + i^{8}$

단계 2.1.31

$i^{7}$ 을 $i^{4} (i^{2} \cdot i)$ 로 바꿔 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.31.1

$i^{4}$ 로 인수분해합니다.

$1 + 8 i - 28 - 56 i + 70 + 56 i - 28 + 8 (i^{4} i^{3}) + i^{8}$

단계 2.1.31.2

$i^{2}$ 로 인수분해합니다.

$1 + 8 i - 28 - 56 i + 70 + 56 i - 28 + 8 (i^{4} (i^{2} \cdot i)) + i^{8}$

단계 2.1.32

$i^{4}$ 을 $1$ 로 바꿔 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.32.1

$i^{4}$ 을 ${(i^{2})}^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$1 + 8 i - 28 - 56 i + 70 + 56 i - 28 + 8 ({(i^{2})}^{2} (i^{2} \cdot i)) + i^{8}$

단계 2.1.32.2

$i^{2}$ 을 $- 1$ 로 바꿔 씁니다.

$1 + 8 i - 28 - 56 i + 70 + 56 i - 28 + 8 ({(- 1)}^{2} (i^{2} \cdot i)) + i^{8}$

단계 2.1.32.3

$- 1$ 를 $2$ 승 합니다.

$1 + 8 i - 28 - 56 i + 70 + 56 i - 28 + 8 (1 (i^{2} \cdot i)) + i^{8}$

단계 2.1.33

$i^{2} \cdot i$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$1 + 8 i - 28 - 56 i + 70 + 56 i - 28 + 8 (i^{2} \cdot i) + i^{8}$

단계 2.1.34

$i^{2}$ 을 $- 1$ 로 바꿔 씁니다.

$1 + 8 i - 28 - 56 i + 70 + 56 i - 28 + 8 (- 1 \cdot i) + i^{8}$

단계 2.1.35

$- 1 i$ 을 $- i$ 로 바꿔 씁니다.

$1 + 8 i - 28 - 56 i + 70 + 56 i - 28 + 8 (- i) + i^{8}$

단계 2.1.36

$- 1$ 에 $8$ 을 곱합니다.

$1 + 8 i - 28 - 56 i + 70 + 56 i - 28 - 8 i + i^{8}$

단계 2.1.37

$i^{8}$ 을 ${(i^{4})}^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$1 + 8 i - 28 - 56 i + 70 + 56 i - 28 - 8 i + {(i^{4})}^{2}$

단계 2.1.38

$i^{4}$ 을 $1$ 로 바꿔 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.38.1

$i^{4}$ 을 ${(i^{2})}^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$1 + 8 i - 28 - 56 i + 70 + 56 i - 28 - 8 i + {({(i^{2})}^{2})}^{2}$

단계 2.1.38.2

$i^{2}$ 을 $- 1$ 로 바꿔 씁니다.

$1 + 8 i - 28 - 56 i + 70 + 56 i - 28 - 8 i + {({(- 1)}^{2})}^{2}$

단계 2.1.38.3

$- 1$ 를 $2$ 승 합니다.

$1 + 8 i - 28 - 56 i + 70 + 56 i - 28 - 8 i + 1^{2}$

단계 2.1.39

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$1 + 8 i - 28 - 56 i + 70 + 56 i - 28 - 8 i + 1$

단계 2.2

항을 더해 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1

$1$ 에서 $28$ 을 뺍니다.

$- 27 + 8 i - 56 i + 70 + 56 i - 28 - 8 i + 1$

단계 2.2.2

더하고 빼서 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.2.1

$- 27$ 를 $70$ 에 더합니다.

$43 + 8 i - 56 i + 56 i - 28 - 8 i + 1$

단계 2.2.2.2

$43$ 에서 $28$ 을 뺍니다.

$15 + 8 i - 56 i + 56 i - 8 i + 1$

단계 2.2.2.3

$15$ 를 $1$ 에 더합니다.

$16 + 8 i - 56 i + 56 i - 8 i$

단계 2.2.3

$8 i$ 에서 $56 i$ 을 뺍니다.

$16 - 48 i + 56 i - 8 i$

단계 2.2.4

$- 48 i$ 를 $56 i$ 에 더합니다.

$16 + 8 i - 8 i$

단계 2.2.5

$8 i$ 에서 $8 i$ 을 뺍니다.

$16 + 0$

단계 2.2.6

$16$ 를 $0$ 에 더합니다.

$16$

단계 3

삼각함수 형식으로 복소수를 표현하는 방법으로, $| z |$ 는 절댓값이고 $θ$ 는 복소평면에서의 편각입니다.

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

단계 4

복소수의 절대값은 복소평면에서 원점으로부터의 거리입니다.

$z = a + b i$ 일 때 $| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ 입니다

단계 5

실제값인 $a = 16$ 과 $b = 0$ 를 대입합니다.

$| z | = \sqrt{0^{2} + 16^{2}}$

단계 6

$| z |$ 를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1

$0$ 을 여러 번 거듭제곱해도 $0$ 이 나옵니다.

$| z | = \sqrt{0 + 16^{2}}$

단계 6.2

$16$ 를 $2$ 승 합니다.

$| z | = \sqrt{0 + 256}$

단계 6.3

$0$ 를 $256$ 에 더합니다.

$| z | = \sqrt{256}$

단계 6.4

$256$ 을 $16^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$| z | = \sqrt{16^{2}}$

단계 6.5

양의 실수로 가정하여 근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$| z | = 16$

단계 7

복소평면에서의 점의 각은 복소수 부분을 실수 부분으로 나눈 값의 역탄젠트값입니다.

$θ = \arctan (\frac{0}{16})$

단계 8

$\frac{0}{16}$ 에 역 탄젠트를 취하면 제1사분면의 각이 나오며 이 각의 값은 $0$ 입니다.

$θ = 0$

단계 9

$θ = 0$ , $| z | = 16$ 값을 대입합니다.

$16 (\cos (0) + i \sin (0))$