삼각법 예제

$\sin (x) > \cos (x)$

단계 1

방정식의 각 항을 $\cos (x)$ 로 나눕니다.

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} > \frac{\cos (x)}{\cos (x)}$

단계 2

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ 을 $\tan (x)$ 로 변환합니다.

$\tan (x) > \frac{\cos (x)}{\cos (x)}$

단계 3

$\cos (x)$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 3.1

공약수로 약분합니다.

$\tan (x) > \frac{\cos (x)}{\cos (x)}$

단계 3.2

수식을 다시 씁니다.

$\tan (x) > 1$

단계 4

탄젠트 안의 $x$ 를 꺼내기 위해 방정식 양변에 탄젠트의 역을 취합니다.

$x > \arctan (1)$

단계 5

우변을 간단히 합니다.

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단계 5.1

$\arctan (1)$ 의 정확한 값은 $\frac{π}{4}$ 입니다.

$x > \frac{π}{4}$

단계 6

탄젠트 함수는 제1사분면과 제3사분면에서 양의 값을 가집니다. 두번째 해를 구하려면 $π$ 에 기준각을 더하여 제4사분면에 있는 해를 구합니다.

$x = π + \frac{π}{4}$

단계 7

$π + \frac{π}{4}$ 을 간단히 합니다.

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단계 7.1

공통 분모를 가지는 분수로 $π$ 을 표현하기 위해 $\frac{4}{4}$ 을 곱합니다.

$x = π \cdot \frac{4}{4} + \frac{π}{4}$

단계 7.2

분수를 통분합니다.

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단계 7.2.1

$π$ 와 $\frac{4}{4}$ 을 묶습니다.

$x = \frac{π \cdot 4}{4} + \frac{π}{4}$

단계 7.2.2

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$x = \frac{π \cdot 4 + π}{4}$

단계 7.3

분자를 간단히 합니다.

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단계 7.3.1

$π$ 의 왼쪽으로 $4$ 이동하기

$x = \frac{4 \cdot π + π}{4}$

단계 7.3.2

$4 π$ 를 $π$ 에 더합니다.

$x = \frac{5 π}{4}$

단계 8

$\tan (x)$ 주기를 구합니다.

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단계 8.1

함수의 주기는 $\frac{π}{| b |}$ 를 이용하여 구할 수 있습니다.

$\frac{π}{| b |}$

단계 8.2

주기 공식에서 $b$ 에 $1$ 을 대입합니다.

$\frac{π}{| 1 |}$

단계 8.3

절댓값은 숫자와 0 사이의 거리를 말합니다. $0$ 과 $1$ 사이의 거리는 $1$ 입니다.

$\frac{π}{1}$

단계 8.4

$π$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$π$

단계 9

함수 $\tan (x)$ 의 주기는 $π$ 이므로 양 방향으로 $π$ 라디안마다 값이 반복됩니다.

임의의 정수 $n$ 에 대해 $x = \frac{π}{4} + π n, \frac{5 π}{4} + π n$

단계 10

각 근을 사용하여 시험 구간을 만듭니다.

$\frac{π}{4} < x < \frac{5 π}{4}$

$\frac{5 π}{4} < x < \frac{9 π}{4}$

단계 11

각 구간에서 실험값을 선택하고 이를 원래의 부등식에 대입하여 어느 구간이 부등식을 만족하는지 확인합니다.

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단계 11.1

$\frac{π}{4} < x < \frac{5 π}{4}$ 구간에서 하나의 값을 시험하여 이 값이 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

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단계 11.1.1

$\frac{π}{4} < x < \frac{5 π}{4}$ 구간에서 하나의 값을 선택하고 이 값이 원래의 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

$x = 2$

단계 11.1.2

원래 부등식에서 $x$ 를 $2$ 로 치환합니다.

$\sin (2) > \cos (2)$

단계 11.1.3

좌변 $0.90929742$ 가 우변 $- 0.41614683$ 보다 크므로 주어진 명제는 항상 참입니다.

True

단계 11.2

$\frac{5 π}{4} < x < \frac{9 π}{4}$ 구간에서 하나의 값을 시험하여 이 값이 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

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단계 11.2.1

$\frac{5 π}{4} < x < \frac{9 π}{4}$ 구간에서 하나의 값을 선택하고 이 값이 원래의 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

$x = 5$

단계 11.2.2

원래 부등식에서 $x$ 를 $5$ 로 치환합니다.

$\sin (5) > \cos (5)$

단계 11.2.3

좌변 $- 0.95892427$ 이 우변 $0.28366218$ 보다 크지 않으므로 주어진 명제는 거짓입니다.

False

단계 11.3

구간을 비교하여 원래의 부등식을 만족하는 구간을 찾습니다.

$\frac{π}{4} < x < \frac{5 π}{4}$ 참

$\frac{5 π}{4} < x < \frac{9 π}{4}$ 거짓

$\frac{π}{4} < x < \frac{5 π}{4}$ 참

$\frac{5 π}{4} < x < \frac{9 π}{4}$ 거짓

단계 12

해는 모두 참인 구간으로 이루어져 있습니다.

임의의 정수 $n$ 에 대해 $\frac{π}{4} + π n < x < \frac{5 π}{4} + π n$

단계 13

부등식을 구간 표기로 표현합니다.

$(\frac{π}{4} + π n, \frac{5 π}{4} + π n)$

단계 14