삼각법 예제

$\sin (\frac{x}{3}) < \frac{\sqrt{3}}{2}$

단계 1

사인 안의 $x$ 를 꺼내기 위해 방정식 양변에 사인의 역을 취합니다.

$\frac{x}{3} < \arcsin (\frac{\sqrt{3}}{2})$

단계 2

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

$\arcsin (\frac{\sqrt{3}}{2})$ 의 정확한 값은 $\frac{π}{3}$ 입니다.

$\frac{x}{3} < \frac{π}{3}$

단계 3

방정식의 각 변에 있는 식이 같은 분모를 가지므로 분자가 같아야 합니다.

$x < π$

단계 4

사인 함수는 제1사분면과 제2사분면에서 양의 값을 가집니다. 두 번째 해를 구하려면 $π$ 에서 기준각을 빼어 제2사분면에 속한 해를 구합니다.

$\frac{x}{3} = π - \frac{π}{3}$

단계 5

$x$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

방정식의 양변에 $3$ 을 곱합니다.

$3 \frac{x}{3} = 3 (π - \frac{π}{3})$

단계 5.2

방정식의 양변을 간단히 정리합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.1

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.1.1

$3$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.1.1.1

공약수로 약분합니다.

$3 \frac{x}{3} = 3 (π - \frac{π}{3})$

단계 5.2.1.1.2

수식을 다시 씁니다.

$x = 3 (π - \frac{π}{3})$

단계 5.2.2

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.2.1

$3 (π - \frac{π}{3})$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.2.1.1

공통 분모를 가지는 분수로 $π$ 을 표현하기 위해 $\frac{3}{3}$ 을 곱합니다.

$x = 3 (π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3})$

단계 5.2.2.1.2

항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.2.1.2.1

$π$ 와 $\frac{3}{3}$ 을 묶습니다.

$x = 3 (\frac{π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3})$

단계 5.2.2.1.2.2

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$x = 3 \frac{π \cdot 3 - π}{3}$

단계 5.2.2.1.2.3

$3$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.2.1.2.3.1

공약수로 약분합니다.

$x = 3 \frac{π \cdot 3 - π}{3}$

단계 5.2.2.1.2.3.2

수식을 다시 씁니다.

$x = π \cdot 3 - π$

단계 5.2.2.1.3

$π$ 의 왼쪽으로 $3$ 이동하기

$x = 3 π - π$

단계 5.2.2.1.4

$3 π$ 에서 $π$ 을 뺍니다.

$x = 2 π$

단계 6

$\sin (\frac{x}{3})$ 주기를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1

함수의 주기는 $\frac{2 π}{| b |}$ 를 이용하여 구할 수 있습니다.

$\frac{2 π}{| b |}$

단계 6.2

주기 공식에서 $b$ 에 $\frac{1}{3}$ 을 대입합니다.

$\frac{2 π}{| \frac{1}{3} |}$

단계 6.3

$\frac{1}{3}$ 은 약 $0.\overline{3}$ 로 양수이므로 절댓값 기호를 없앱니다.

$\frac{2 π}{\frac{1}{3}}$

단계 6.4

분자에 분모의 역수를 곱합니다.

$2 π \cdot 3$

단계 6.5

$3$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$6 π$

단계 7

함수 $\sin (\frac{x}{3})$ 의 주기는 $6 π$ 이므로 양 방향으로 $6 π$ 라디안마다 값이 반복됩니다.

임의의 정수 $n$ 에 대해 $x = π + 6 π n, 2 π + 6 π n$

단계 8

각 근을 사용하여 시험 구간을 만듭니다.

$π < x < 2 π$

$2 π < x < 7 π$

$7 π < x < 8 π$

단계 9

각 구간에서 실험값을 선택하고 이를 원래의 부등식에 대입하여 어느 구간이 부등식을 만족하는지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.1

$π < x < 2 π$ 구간에서 하나의 값을 시험하여 이 값이 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.1.1

$π < x < 2 π$ 구간에서 하나의 값을 선택하고 이 값이 원래의 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

$x = 5$

단계 9.1.2

원래 부등식에서 $x$ 를 $5$ 로 치환합니다.

$\sin (\frac{5}{3}) < \frac{\sqrt{3}}{2}$

단계 9.1.3

좌변 $0.99540795$ 이 우변 $0.8660254$ 보다 작지 않으므로 주어진 명제는 거짓입니다.

False

단계 9.2

$2 π < x < 7 π$ 구간에서 하나의 값을 시험하여 이 값이 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.2.1

$2 π < x < 7 π$ 구간에서 하나의 값을 선택하고 이 값이 원래의 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

$x = 9$

단계 9.2.2

원래 부등식에서 $x$ 를 $9$ 로 치환합니다.

$\sin (\frac{9}{3}) < \frac{\sqrt{3}}{2}$

단계 9.2.3

좌변 $0.14112$ 이 우변 $0.8660254$ 보다 작으므로 주어진 명제는 항상 참입니다.

True

단계 9.3

$7 π < x < 8 π$ 구간에서 하나의 값을 시험하여 이 값이 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.3.1

$7 π < x < 8 π$ 구간에서 하나의 값을 선택하고 이 값이 원래의 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

$x = 24$

단계 9.3.2

원래 부등식에서 $x$ 를 $24$ 로 치환합니다.

$\sin (\frac{24}{3}) < \frac{\sqrt{3}}{2}$

단계 9.3.3

좌변 $0.98935824$ 이 우변 $0.8660254$ 보다 작지 않으므로 주어진 명제는 거짓입니다.

False

단계 9.4

구간을 비교하여 원래의 부등식을 만족하는 구간을 찾습니다.

$π < x < 2 π$ 거짓

$2 π < x < 7 π$ 참

$7 π < x < 8 π$ 거짓

$π < x < 2 π$ 거짓

$2 π < x < 7 π$ 참

$7 π < x < 8 π$ 거짓

단계 10

해는 모두 참인 구간으로 이루어져 있습니다.

임의의 정수 $n$ 에 대해 $2 π + 6 π n < x < 7 π + 6 π n$

단계 11

부등식을 구간 표기로 표현합니다.

$(2 π + 6 π n, 7 π + 6 π n)$

단계 12