삼각법 예제

$2 x^{2} + 7 x^{3} - 8 x^{2} + 5$

단계 1

항을 다시 묶습니다.

$- 8 x^{2} + 2 x^{2} + 7 x^{3} + 5$

단계 2

항을 다시 정렬합니다.

$- 8 x^{2} + 7 x^{3} + 2 x^{2} + 5$

단계 3

유리근 정리르 이용하여 $7 x^{3} + 2 x^{2} + 5$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

다항함수의 계수가 정수인 경우, $p$ 가 상수의 약수이며 $q$ 가 최고차항 계수의 인수일 때 모든 유리근은 $\frac{p}{q}$ 의 형태를 가집니다.

$p = \pm 1, \pm 5$

$q = \pm 1, \pm 7$

단계 3.2

$\pm \frac{p}{q}$ 의 모든 조합을 찾습니다. 이들은 다항 함수의 해가 될 수 있습니다.

$\pm 1, \pm 0.\overline{142857}, \pm 5, \pm 0.\overline{714285}$

단계 3.3

$- 1$ 을 대입하고 식을 간단히 합니다. 이 경우 식이 $0$ 이므로 $- 1$ 은 다항식의 근입니다.

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단계 3.3.1

$- 1$ 을 다항식에 대입합니다.

$7 {(- 1)}^{3} + 2 {(- 1)}^{2} + 5$

단계 3.3.2

$- 1$ 를 $3$ 승 합니다.

$7 \cdot - 1 + 2 {(- 1)}^{2} + 5$

단계 3.3.3

$7$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$- 7 + 2 {(- 1)}^{2} + 5$

단계 3.3.4

$- 1$ 를 $2$ 승 합니다.

$- 7 + 2 \cdot 1 + 5$

단계 3.3.5

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- 7 + 2 + 5$

단계 3.3.6

$- 7$ 를 $2$ 에 더합니다.

$- 5 + 5$

단계 3.3.7

$- 5$ 를 $5$ 에 더합니다.

$0$

단계 3.4

$- 1$ 는 알고 있는 해이므로 다항식을 $x + 1$ 으로 나누어 몫 다항식을 구합니다. 이 다항식은 나머지 해를 찾기 위해 이용됩니다.

$\frac{7 x^{3} + 2 x^{2} + 5}{x + 1}$

단계 3.5

$7 x^{3} + 2 x^{2} + 5$ 을 $x + 1$ 로 나눕니다.

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단계 3.5.1

다항식을 나눗셈 형태로 적습니다. 각 지수에 대하여 항이 없는 경우 값이 $0$ 인 항을 삽입합니다.

$x$

$1$

$7 x^{3}$

$2 x^{2}$

$0 x$

$5$

단계 3.5.2

피제수 $7 x^{3}$ 의 고차항을 제수 $x$ 의 고차항으로 나눕니다.

					$7 x^{2}$
	$x$	+	$1$		$7 x^{3}$	+	$2 x^{2}$	+	$0 x$	+	$5$

단계 3.5.3

새로운 몫 값에 제수를 곱합니다.

				$7 x^{2}$
$x$	+	$1$		$7 x^{3}$	+	$2 x^{2}$	+	$0 x$	+	$5$
			+	$7 x^{3}$	+	$7 x^{2}$

단계 3.5.4

식을 피제수에서 빼야 하므로 $7 x^{3} + 7 x^{2}$ 의 모든 부호를 바꿉니다.

				$7 x^{2}$
$x$	+	$1$		$7 x^{3}$	+	$2 x^{2}$	+	$0 x$	+	$5$
			-	$7 x^{3}$	-	$7 x^{2}$

단계 3.5.5

부호를 바꾼 뒤, 곱한 다항식의 마지막 피제수를 더해 새로운 피제수를 구합니다.

				$7 x^{2}$
$x$	+	$1$		$7 x^{3}$	+	$2 x^{2}$	+	$0 x$	+	$5$
			-	$7 x^{3}$	-	$7 x^{2}$
					-	$5 x^{2}$

단계 3.5.6

원래 피제수의 다음 항을 아래로 내려 현재 피제수로 보냅니다.

				$7 x^{2}$
$x$	+	$1$		$7 x^{3}$	+	$2 x^{2}$	+	$0 x$	+	$5$
			-	$7 x^{3}$	-	$7 x^{2}$
					-	$5 x^{2}$	+	$0 x$

단계 3.5.7

피제수 $- 5 x^{2}$ 의 고차항을 제수 $x$ 의 고차항으로 나눕니다.

				$7 x^{2}$	-	$5 x$
$x$	+	$1$		$7 x^{3}$	+	$2 x^{2}$	+	$0 x$	+	$5$
			-	$7 x^{3}$	-	$7 x^{2}$
					-	$5 x^{2}$	+	$0 x$

단계 3.5.8

새로운 몫 값에 제수를 곱합니다.

				$7 x^{2}$	-	$5 x$
$x$	+	$1$		$7 x^{3}$	+	$2 x^{2}$	+	$0 x$	+	$5$
			-	$7 x^{3}$	-	$7 x^{2}$
					-	$5 x^{2}$	+	$0 x$
					-	$5 x^{2}$	-	$5 x$

단계 3.5.9

식을 피제수에서 빼야 하므로 $- 5 x^{2} - 5 x$ 의 모든 부호를 바꿉니다.

				$7 x^{2}$	-	$5 x$
$x$	+	$1$		$7 x^{3}$	+	$2 x^{2}$	+	$0 x$	+	$5$
			-	$7 x^{3}$	-	$7 x^{2}$
					-	$5 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$5 x^{2}$	+	$5 x$

단계 3.5.10

부호를 바꾼 뒤, 곱한 다항식의 마지막 피제수를 더해 새로운 피제수를 구합니다.

				$7 x^{2}$	-	$5 x$
$x$	+	$1$		$7 x^{3}$	+	$2 x^{2}$	+	$0 x$	+	$5$
			-	$7 x^{3}$	-	$7 x^{2}$
					-	$5 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$5 x^{2}$	+	$5 x$
							+	$5 x$

단계 3.5.11

원래 피제수의 다음 항을 아래로 내려 현재 피제수로 보냅니다.

				$7 x^{2}$	-	$5 x$
$x$	+	$1$		$7 x^{3}$	+	$2 x^{2}$	+	$0 x$	+	$5$
			-	$7 x^{3}$	-	$7 x^{2}$
					-	$5 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$5 x^{2}$	+	$5 x$
							+	$5 x$	+	$5$

단계 3.5.12

피제수 $5 x$ 의 고차항을 제수 $x$ 의 고차항으로 나눕니다.

				$7 x^{2}$	-	$5 x$	+	$5$
$x$	+	$1$		$7 x^{3}$	+	$2 x^{2}$	+	$0 x$	+	$5$
			-	$7 x^{3}$	-	$7 x^{2}$
					-	$5 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$5 x^{2}$	+	$5 x$
							+	$5 x$	+	$5$

단계 3.5.13

새로운 몫 값에 제수를 곱합니다.

				$7 x^{2}$	-	$5 x$	+	$5$
$x$	+	$1$		$7 x^{3}$	+	$2 x^{2}$	+	$0 x$	+	$5$
			-	$7 x^{3}$	-	$7 x^{2}$
					-	$5 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$5 x^{2}$	+	$5 x$
							+	$5 x$	+	$5$
							+	$5 x$	+	$5$

단계 3.5.14

식을 피제수에서 빼야 하므로 $5 x + 5$ 의 모든 부호를 바꿉니다.

				$7 x^{2}$	-	$5 x$	+	$5$
$x$	+	$1$		$7 x^{3}$	+	$2 x^{2}$	+	$0 x$	+	$5$
			-	$7 x^{3}$	-	$7 x^{2}$
					-	$5 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$5 x^{2}$	+	$5 x$
							+	$5 x$	+	$5$
							-	$5 x$	-	$5$

단계 3.5.15

부호를 바꾼 뒤, 곱한 다항식의 마지막 피제수를 더해 새로운 피제수를 구합니다.

				$7 x^{2}$	-	$5 x$	+	$5$
$x$	+	$1$		$7 x^{3}$	+	$2 x^{2}$	+	$0 x$	+	$5$
			-	$7 x^{3}$	-	$7 x^{2}$
					-	$5 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$5 x^{2}$	+	$5 x$
							+	$5 x$	+	$5$
							-	$5 x$	-	$5$
										$0$

단계 3.5.16

나머지가 $0$ 이므로, 몫이 최종해입니다.

$7 x^{2} - 5 x + 5$

단계 3.6

$7 x^{3} + 2 x^{2} + 5$ 을 인수의 집합으로 표현합니다.

$- 8 x^{2} + (x + 1) (7 x^{2} - 5 x + 5)$

단계 4

$- 8 x^{2} + (x + 1) (7 x^{2} - 5 x + 5)$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

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단계 4.1

$- 8 x^{2}$ 와 $(x + 1) (7 x^{2} - 5 x + 5)$ 을 다시 정렬합니다.

$(x + 1) (7 x^{2} - 5 x + 5) - 8 x^{2}$

단계 4.2

$(x + 1) (7 x^{2} - 5 x + 5)$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$- ((- x - 1) (7 x^{2} - 5 x + 5)) - 8 x^{2}$

단계 4.3

$- 8 x^{2}$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$- ((- x - 1) (7 x^{2} - 5 x + 5)) - (8 x^{2})$

단계 4.4

$- ((- x - 1) (7 x^{2} - 5 x + 5)) - (8 x^{2})$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$- ((- x - 1) (7 x^{2} - 5 x + 5) + 8 x^{2})$

단계 5

첫 번째 수식의 항과 두 번째 수식의 항을 각각 곱하여 $(- x - 1) (7 x^{2} - 5 x + 5)$ 를 전개합니다.

$- (- x (7 x^{2}) - x (- 5 x) - x \cdot 5 - 1 (7 x^{2}) - 1 (- 5 x) - 1 \cdot 5 + 8 x^{2})$

단계 6

각 항을 간단히 합니다.

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단계 6.1

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$- (- 1 \cdot 7 x \cdot x^{2} - x (- 5 x) - x \cdot 5 - 1 (7 x^{2}) - 1 (- 5 x) - 1 \cdot 5 + 8 x^{2})$

단계 6.2

지수를 더하여 $x$ 에 $x^{2}$ 을 곱합니다.

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단계 6.2.1

$x^{2}$ 를 옮깁니다.

$- (- 1 \cdot 7 (x^{2} x) - x (- 5 x) - x \cdot 5 - 1 (7 x^{2}) - 1 (- 5 x) - 1 \cdot 5 + 8 x^{2})$

단계 6.2.2

$x^{2}$ 에 $x$ 을 곱합니다.

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단계 6.2.2.1

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$- (- 1 \cdot 7 (x^{2} x^{1}) - x (- 5 x) - x \cdot 5 - 1 (7 x^{2}) - 1 (- 5 x) - 1 \cdot 5 + 8 x^{2})$

단계 6.2.2.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$- (- 1 \cdot 7 x^{2 + 1} - x (- 5 x) - x \cdot 5 - 1 (7 x^{2}) - 1 (- 5 x) - 1 \cdot 5 + 8 x^{2})$

단계 6.2.3

$2$ 를 $1$ 에 더합니다.

$- (- 1 \cdot 7 x^{3} - x (- 5 x) - x \cdot 5 - 1 (7 x^{2}) - 1 (- 5 x) - 1 \cdot 5 + 8 x^{2})$

단계 6.3

$- 1$ 에 $7$ 을 곱합니다.

$- (- 7 x^{3} - x (- 5 x) - x \cdot 5 - 1 (7 x^{2}) - 1 (- 5 x) - 1 \cdot 5 + 8 x^{2})$

단계 6.4

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$- (- 7 x^{3} - 1 \cdot - 5 x \cdot x - x \cdot 5 - 1 (7 x^{2}) - 1 (- 5 x) - 1 \cdot 5 + 8 x^{2})$

단계 6.5

지수를 더하여 $x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

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단계 6.5.1

$x$ 를 옮깁니다.

$- (- 7 x^{3} - 1 \cdot - 5 (x \cdot x) - x \cdot 5 - 1 (7 x^{2}) - 1 (- 5 x) - 1 \cdot 5 + 8 x^{2})$

단계 6.5.2

$x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

$- (- 7 x^{3} - 1 \cdot - 5 x^{2} - x \cdot 5 - 1 (7 x^{2}) - 1 (- 5 x) - 1 \cdot 5 + 8 x^{2})$

단계 6.6

$- 1$ 에 $- 5$ 을 곱합니다.

$- (- 7 x^{3} + 5 x^{2} - x \cdot 5 - 1 (7 x^{2}) - 1 (- 5 x) - 1 \cdot 5 + 8 x^{2})$

단계 6.7

$5$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$- (- 7 x^{3} + 5 x^{2} - 5 x - 1 (7 x^{2}) - 1 (- 5 x) - 1 \cdot 5 + 8 x^{2})$

단계 6.8

$7$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$- (- 7 x^{3} + 5 x^{2} - 5 x - 7 x^{2} - 1 (- 5 x) - 1 \cdot 5 + 8 x^{2})$

단계 6.9

$- 5$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$- (- 7 x^{3} + 5 x^{2} - 5 x - 7 x^{2} + 5 x - 1 \cdot 5 + 8 x^{2})$

단계 6.10

$- 1$ 에 $5$ 을 곱합니다.

$- (- 7 x^{3} + 5 x^{2} - 5 x - 7 x^{2} + 5 x - 5 + 8 x^{2})$

단계 7

$- 7 x^{3} + 5 x^{2} - 5 x - 7 x^{2} + 5 x - 5$ 의 반대 항을 묶습니다.

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단계 7.1

$- 5 x$ 를 $5 x$ 에 더합니다.

$- (- 7 x^{3} + 5 x^{2} - 7 x^{2} + 0 - 5 + 8 x^{2})$

단계 7.2

$- 7 x^{3} + 5 x^{2} - 7 x^{2}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$- (- 7 x^{3} + 5 x^{2} - 7 x^{2} - 5 + 8 x^{2})$

단계 8

$5 x^{2}$ 에서 $7 x^{2}$ 을 뺍니다.

$- (- 7 x^{3} - 2 x^{2} - 5 + 8 x^{2})$

단계 9

$- 2 x^{2}$ 를 $8 x^{2}$ 에 더합니다.

$- (- 7 x^{3} + 6 x^{2} - 5)$

단계 10

인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.1

$- 7 x^{3} + 6 x^{2} - 5$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.1.1

$- 7 x^{3}$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$- (- (7 x^{3}) + 6 x^{2} - 5)$

단계 10.1.2

$6 x^{2}$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$- (- (7 x^{3}) - (- 6 x^{2}) - 5)$

단계 10.1.3

$- 5$ 을 $- 1 (5)$ 로 바꿔 씁니다.

$- (- (7 x^{3}) - (- 6 x^{2}) - 1 (5))$

단계 10.1.4

$- (7 x^{3}) - (- 6 x^{2})$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$- (- (7 x^{3} - 6 x^{2}) - 1 (5))$

단계 10.1.5

$- (7 x^{3} - 6 x^{2}) - 1 (5)$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$- - (7 x^{3} - 6 x^{2} + 5)$

단계 10.2

불필요한 괄호를 제거합니다.

$- - 1 (7 x^{3} - 6 x^{2} + 5)$

단계 11

지수를 묶습니다.

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단계 11.1

마이너스 부호를 앞으로 보냅니다.

$- - (7 x^{3} - 6 x^{2} + 5)$

단계 11.2

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$1 (7 x^{3} - 6 x^{2} + 5)$

단계 11.3

$7 x^{3} - 6 x^{2} + 5$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$7 x^{3} - 6 x^{2} + 5$