삼각법 예제

$\frac{\cos (x) \cdot \cot (x)}{\cot (x) - \cos (x)} = \frac{\cot (x) + \cos (x)}{\cos (x) \cdot \cot (x)}$

단계 1

좌변에서부터 시작합니다.

$\frac{\cos (x) \cdot \cot (x)}{\cot (x) - \cos (x)}$

단계 2

사인과 코사인으로 바꿉니다.

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단계 2.1

삼각함수 항등식을 이용하여 $\cot (x)$ 를 사인과 코사인으로 표현합니다.

$\frac{\cos (x) \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)}}{\cot (x) - \cos (x)}$

단계 2.2

삼각함수 항등식을 이용하여 $\cot (x)$ 를 사인과 코사인으로 표현합니다.

$\frac{\cos (x) \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)}}{\frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \cos (x)}$

단계 3

$\cos (x)$ 를 분모가 $1$ 인 분수로 표현합니다.

$\frac{\frac{\cos (x)}{1} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)}}{\frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \cos (x)}$

단계 4

조합합니다.

$\frac{\frac{\cos (x) \cos (x)}{1 \sin (x)}}{\frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \cos (x)}$

단계 5

$\cos (x) \cos (x)$ 을 곱합니다.

$\frac{\frac{\cos^{2} (x)}{1 \sin (x)}}{\frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \cos (x)}$

단계 6

$\sin (x)$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{\frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)}}{\frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \cos (x)}$

단계 7

피타고라스의 정리를 반대로 적용합니다.

$\frac{\frac{1 - \sin^{2} (x)}{\sin (x)}}{\frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \cos (x)}$

단계 8

간단히 합니다.

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단계 8.1

분자에 분모의 역수를 곱합니다.

$\frac{1 - {\sin (x)}^{2}}{\sin (x)} \cdot \frac{1}{\frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \cos (x)}$

단계 8.2

분자를 간단히 합니다.

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단계 8.2.1

$1$ 을 $1^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{1^{2} - {\sin (x)}^{2}}{\sin (x)} \cdot \frac{1}{\frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \cos (x)}$

단계 8.2.2

두 항 모두 완전제곱식이므로, 제곱의 차 공식 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 을 이용하여 인수분해합니다. 이 때 $a = 1$ 이고 $b = \sin (x)$ 입니다.

$\frac{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))}{\sin (x)} \cdot \frac{1}{\frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \cos (x)}$

단계 8.3

분모를 간단히 합니다.

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단계 8.3.1

$\frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \cos (x)$ 에서 $\cos (x)$ 를 인수분해합니다.

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단계 8.3.1.1

$\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ 에서 $\cos (x)$ 를 인수분해합니다.

$\frac{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))}{\sin (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x) \frac{1}{\sin (x)} - \cos (x)}$

단계 8.3.1.2

$- \cos (x)$ 에서 $\cos (x)$ 를 인수분해합니다.

$\frac{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))}{\sin (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x) \frac{1}{\sin (x)} + \cos (x) \cdot - 1}$

단계 8.3.1.3

$\cos (x) \frac{1}{\sin (x)} + \cos (x) \cdot - 1$ 에서 $\cos (x)$ 를 인수분해합니다.

$\frac{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))}{\sin (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x) (\frac{1}{\sin (x)} - 1)}$

단계 8.3.2

공통 분모를 가지는 분수로 $- 1$ 을 표현하기 위해 $\frac{\sin (x)}{\sin (x)}$ 을 곱합니다.

$\frac{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))}{\sin (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x) (\frac{1}{\sin (x)} - 1 \cdot \frac{\sin (x)}{\sin (x)})}$

단계 8.3.3

$- 1$ 와 $\frac{\sin (x)}{\sin (x)}$ 을 묶습니다.

$\frac{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))}{\sin (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x) (\frac{1}{\sin (x)} + \frac{- \sin (x)}{\sin (x)})}$

단계 8.3.4

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))}{\sin (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x) \frac{1 - \sin (x)}{\sin (x)}}$

단계 8.4

$\cos (x)$ 와 $\frac{1 - \sin (x)}{\sin (x)}$ 을 묶습니다.

$\frac{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))}{\sin (x)} \cdot \frac{1}{\frac{\cos (x) (1 - \sin (x))}{\sin (x)}}$

단계 8.5

분자에 분모의 역수를 곱합니다.

$\frac{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))}{\sin (x)} (1 \frac{\sin (x)}{\cos (x) (1 - \sin (x))})$

단계 8.6

$\frac{\sin (x)}{\cos (x) (1 - \sin (x))}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))}{\sin (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x) (1 - \sin (x))}$

단계 8.7

$1 - \sin (x)$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 8.7.1

$(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))$ 에서 $1 - \sin (x)$ 를 인수분해합니다.

$\frac{(1 - \sin (x)) (1 + \sin (x))}{\sin (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x) (1 - \sin (x))}$

단계 8.7.2

$\cos (x) (1 - \sin (x))$ 에서 $1 - \sin (x)$ 를 인수분해합니다.

$\frac{(1 - \sin (x)) (1 + \sin (x))}{\sin (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{(1 - \sin (x)) \cos (x)}$

단계 8.7.3

공약수로 약분합니다.

$\frac{(1 - \sin (x)) (1 + \sin (x))}{\sin (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{(1 - \sin (x)) \cos (x)}$

단계 8.7.4

수식을 다시 씁니다.

$\frac{1 + \sin (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

단계 8.8

$\sin (x)$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 8.8.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{1 + \sin (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

단계 8.8.2

수식을 다시 씁니다.

$(1 + \sin (x)) \frac{1}{\cos (x)}$

단계 8.9

분배 법칙을 적용합니다.

$1 \frac{1}{\cos (x)} + \sin (x) \frac{1}{\cos (x)}$

단계 8.10

$\frac{1}{\cos (x)}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{\cos (x)} + \sin (x) \frac{1}{\cos (x)}$

단계 8.11

$\sin (x)$ 와 $\frac{1}{\cos (x)}$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

단계 9

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{1 + \sin (x)}{\cos (x)}$

단계 10

$\frac{1 + \sin (x)}{\cos (x)}$ 을 $\frac{\cot (x) + \cos (x)}{\cos (x) \cdot \cot (x)}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{\cot (x) + \cos (x)}{\cos (x) \cdot \cot (x)}$

단계 11

양변이 동일함을 보였으므로, 이 방정식은 항등식입니다.

$\frac{\cos (x) \cdot \cot (x)}{\cot (x) - \cos (x)} = \frac{\cot (x) + \cos (x)}{\cos (x) \cdot \cot (x)}$ 은 항등식입니다