삼각법 예제

$\frac{1 - \cos (x)}{1 + \cos (x)} = {(\cot (x) - \csc (x))}^{2}$

단계 1

우변부터 시작합니다.

${(\cot (x) - \csc (x))}^{2}$

단계 2

사인과 코사인으로 바꿉니다.

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단계 2.1

삼각함수 항등식을 이용하여 $\cot (x)$ 를 사인과 코사인으로 표현합니다.

${(\frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \csc (x))}^{2}$

단계 2.2

삼각함수의 역수 관계를 $\csc (x)$ 에 적용합니다.

${(\frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \frac{1}{\sin (x)})}^{2}$

단계 2.3

간단히 합니다.

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단계 2.3.1

${(\frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \frac{1}{\sin (x)})}^{2}$ 을 $(\frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \frac{1}{\sin (x)}) (\frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \frac{1}{\sin (x)})$ 로 바꿔 씁니다.

$(\frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \frac{1}{\sin (x)}) (\frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \frac{1}{\sin (x)})$

단계 2.3.2

FOIL 계산법을 이용하여 $(\frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \frac{1}{\sin (x)}) (\frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \frac{1}{\sin (x)})$ 를 전개합니다.

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단계 2.3.2.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{\cos (x)}{\sin (x)} (\frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \frac{1}{\sin (x)}) - \frac{1}{\sin (x)} (\frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \frac{1}{\sin (x)})$

단계 2.3.2.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} (- \frac{1}{\sin (x)}) - \frac{1}{\sin (x)} (\frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \frac{1}{\sin (x)})$

단계 2.3.2.3

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} (- \frac{1}{\sin (x)}) - \frac{1}{\sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \frac{1}{\sin (x)} (- \frac{1}{\sin (x)})$

단계 2.3.3

동류항끼리 묶고 식을 간단히 합니다.

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단계 2.3.3.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 2.3.3.1.1

$\frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ 을 곱합니다.

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단계 2.3.3.1.1.1

$\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ 에 $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ 을 곱합니다.

$\frac{\cos (x) \cos (x)}{\sin (x) \sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} (- \frac{1}{\sin (x)}) - \frac{1}{\sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \frac{1}{\sin (x)} (- \frac{1}{\sin (x)})$

단계 2.3.3.1.1.2

$\cos (x)$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{{\cos (x)}^{1} \cos (x)}{\sin (x) \sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} (- \frac{1}{\sin (x)}) - \frac{1}{\sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \frac{1}{\sin (x)} (- \frac{1}{\sin (x)})$

단계 2.3.3.1.1.3

$\cos (x)$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{{\cos (x)}^{1} {\cos (x)}^{1}}{\sin (x) \sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} (- \frac{1}{\sin (x)}) - \frac{1}{\sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \frac{1}{\sin (x)} (- \frac{1}{\sin (x)})$

단계 2.3.3.1.1.4

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{{\cos (x)}^{1 + 1}}{\sin (x) \sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} (- \frac{1}{\sin (x)}) - \frac{1}{\sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \frac{1}{\sin (x)} (- \frac{1}{\sin (x)})$

단계 2.3.3.1.1.5

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\frac{{\cos (x)}^{2}}{\sin (x) \sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} (- \frac{1}{\sin (x)}) - \frac{1}{\sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \frac{1}{\sin (x)} (- \frac{1}{\sin (x)})$

단계 2.3.3.1.1.6

$\sin (x)$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{{\cos (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{1} \sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} (- \frac{1}{\sin (x)}) - \frac{1}{\sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \frac{1}{\sin (x)} (- \frac{1}{\sin (x)})$

단계 2.3.3.1.1.7

$\sin (x)$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{{\cos (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{1} {\sin (x)}^{1}} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} (- \frac{1}{\sin (x)}) - \frac{1}{\sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \frac{1}{\sin (x)} (- \frac{1}{\sin (x)})$

단계 2.3.3.1.1.8

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{{\cos (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{1 + 1}} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} (- \frac{1}{\sin (x)}) - \frac{1}{\sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \frac{1}{\sin (x)} (- \frac{1}{\sin (x)})$

단계 2.3.3.1.1.9

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\frac{{\cos (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} (- \frac{1}{\sin (x)}) - \frac{1}{\sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \frac{1}{\sin (x)} (- \frac{1}{\sin (x)})$

단계 2.3.3.1.2

$\frac{\cos (x)}{\sin (x)} (- \frac{1}{\sin (x)})$ 을 곱합니다.

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단계 2.3.3.1.2.1

$\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ 에 $\frac{1}{\sin (x)}$ 을 곱합니다.

$\frac{{\cos (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}} - \frac{\cos (x)}{\sin (x) \sin (x)} - \frac{1}{\sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \frac{1}{\sin (x)} (- \frac{1}{\sin (x)})$

단계 2.3.3.1.2.2

$\sin (x)$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{{\cos (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}} - \frac{\cos (x)}{{\sin (x)}^{1} \sin (x)} - \frac{1}{\sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \frac{1}{\sin (x)} (- \frac{1}{\sin (x)})$

단계 2.3.3.1.2.3

$\sin (x)$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{{\cos (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}} - \frac{\cos (x)}{{\sin (x)}^{1} {\sin (x)}^{1}} - \frac{1}{\sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \frac{1}{\sin (x)} (- \frac{1}{\sin (x)})$

단계 2.3.3.1.2.4

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{{\cos (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}} - \frac{\cos (x)}{{\sin (x)}^{1 + 1}} - \frac{1}{\sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \frac{1}{\sin (x)} (- \frac{1}{\sin (x)})$

단계 2.3.3.1.2.5

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\frac{{\cos (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}} - \frac{\cos (x)}{{\sin (x)}^{2}} - \frac{1}{\sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \frac{1}{\sin (x)} (- \frac{1}{\sin (x)})$

단계 2.3.3.1.3

$- \frac{1}{\sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ 을 곱합니다.

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단계 2.3.3.1.3.1

$\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ 에 $\frac{1}{\sin (x)}$ 을 곱합니다.

$\frac{{\cos (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}} - \frac{\cos (x)}{{\sin (x)}^{2}} - \frac{\cos (x)}{\sin (x) \sin (x)} - \frac{1}{\sin (x)} (- \frac{1}{\sin (x)})$

단계 2.3.3.1.3.2

$\sin (x)$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{{\cos (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}} - \frac{\cos (x)}{{\sin (x)}^{2}} - \frac{\cos (x)}{{\sin (x)}^{1} \sin (x)} - \frac{1}{\sin (x)} (- \frac{1}{\sin (x)})$

단계 2.3.3.1.3.3

$\sin (x)$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{{\cos (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}} - \frac{\cos (x)}{{\sin (x)}^{2}} - \frac{\cos (x)}{{\sin (x)}^{1} {\sin (x)}^{1}} - \frac{1}{\sin (x)} (- \frac{1}{\sin (x)})$

단계 2.3.3.1.3.4

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{{\cos (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}} - \frac{\cos (x)}{{\sin (x)}^{2}} - \frac{\cos (x)}{{\sin (x)}^{1 + 1}} - \frac{1}{\sin (x)} (- \frac{1}{\sin (x)})$

단계 2.3.3.1.3.5

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\frac{{\cos (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}} - \frac{\cos (x)}{{\sin (x)}^{2}} - \frac{\cos (x)}{{\sin (x)}^{2}} - \frac{1}{\sin (x)} (- \frac{1}{\sin (x)})$

단계 2.3.3.1.4

$- \frac{1}{\sin (x)} (- \frac{1}{\sin (x)})$ 을 곱합니다.

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단계 2.3.3.1.4.1

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{{\cos (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}} - \frac{\cos (x)}{{\sin (x)}^{2}} - \frac{\cos (x)}{{\sin (x)}^{2}} + 1 \frac{1}{\sin (x)} \frac{1}{\sin (x)}$

단계 2.3.3.1.4.2

$\frac{1}{\sin (x)}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{{\cos (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}} - \frac{\cos (x)}{{\sin (x)}^{2}} - \frac{\cos (x)}{{\sin (x)}^{2}} + \frac{1}{\sin (x)} \cdot \frac{1}{\sin (x)}$

단계 2.3.3.1.4.3

$\frac{1}{\sin (x)}$ 에 $\frac{1}{\sin (x)}$ 을 곱합니다.

$\frac{{\cos (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}} - \frac{\cos (x)}{{\sin (x)}^{2}} - \frac{\cos (x)}{{\sin (x)}^{2}} + \frac{1}{\sin (x) \sin (x)}$

단계 2.3.3.1.4.4

$\sin (x)$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{{\cos (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}} - \frac{\cos (x)}{{\sin (x)}^{2}} - \frac{\cos (x)}{{\sin (x)}^{2}} + \frac{1}{{\sin (x)}^{1} \sin (x)}$

단계 2.3.3.1.4.5

$\sin (x)$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{{\cos (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}} - \frac{\cos (x)}{{\sin (x)}^{2}} - \frac{\cos (x)}{{\sin (x)}^{2}} + \frac{1}{{\sin (x)}^{1} {\sin (x)}^{1}}$

단계 2.3.3.1.4.6

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{{\cos (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}} - \frac{\cos (x)}{{\sin (x)}^{2}} - \frac{\cos (x)}{{\sin (x)}^{2}} + \frac{1}{{\sin (x)}^{1 + 1}}$

단계 2.3.3.1.4.7

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\frac{{\cos (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}} - \frac{\cos (x)}{{\sin (x)}^{2}} - \frac{\cos (x)}{{\sin (x)}^{2}} + \frac{1}{{\sin (x)}^{2}}$

단계 2.3.3.2

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{{\cos (x)}^{2} - \cos (x)}{{\sin (x)}^{2}} - \frac{\cos (x)}{{\sin (x)}^{2}} + \frac{1}{{\sin (x)}^{2}}$

단계 2.3.4

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{{\cos (x)}^{2} - \cos (x) - \cos (x) + 1}{{\sin (x)}^{2}}$

단계 2.3.5

$- \cos (x)$ 에서 $\cos (x)$ 을 뺍니다.

$\frac{{\cos (x)}^{2} - 2 \cos (x) + 1}{{\sin (x)}^{2}}$

단계 2.3.6

완전제곱 법칙을 이용하여 인수분해합니다.

$\frac{{(\cos (x) - 1)}^{2}}{\sin^{2} (x)}$

단계 2.4

간단히 합니다.

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단계 2.4.1

${(\cos (x) - 1)}^{2}$ 을 $(\cos (x) - 1) (\cos (x) - 1)$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{(\cos (x) - 1) (\cos (x) - 1)}{\sin^{2} (x)}$

단계 2.4.2

FOIL 계산법을 이용하여 $(\cos (x) - 1) (\cos (x) - 1)$ 를 전개합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.4.2.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{\cos (x) (\cos (x) - 1) - 1 (\cos (x) - 1)}{\sin^{2} (x)}$

단계 2.4.2.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{\cos (x) \cos (x) + \cos (x) \cdot - 1 - 1 (\cos (x) - 1)}{\sin^{2} (x)}$

단계 2.4.2.3

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{\cos (x) \cos (x) + \cos (x) \cdot - 1 - 1 \cos (x) - 1 \cdot - 1}{\sin^{2} (x)}$

단계 2.4.3

동류항끼리 묶고 식을 간단히 합니다.

$\frac{\cos^{2} (x) - 2 \cos (x) + 1}{\sin^{2} (x)}$

단계 3

완전제곱 법칙을 이용하여 인수분해합니다.

$\frac{{(\cos (x) - 1)}^{2}}{\sin^{2} (x)}$

단계 4

피타고라스의 정리를 반대로 적용합니다.

$\frac{{(\cos (x) - 1)}^{2}}{1 - \cos^{2} (x)}$

단계 5

간단히 합니다.

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단계 5.1

분모를 간단히 합니다.

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단계 5.1.1

$1$ 을 $1^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{{(\cos (x) - 1)}^{2}}{1^{2} - {\cos (x)}^{2}}$

단계 5.1.2

두 항 모두 완전제곱식이므로, 제곱의 차 공식 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 을 이용하여 인수분해합니다. 이 때 $a = 1$ 이고 $b = \cos (x)$ 입니다.

$\frac{{(\cos (x) - 1)}^{2}}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

단계 5.2

${(\cos (x) - 1)}^{2}$ 및 $1 - \cos (x)$ 의 공약수로 약분합니다.

$\frac{1 - \cos (x)}{1 + \cos (x)}$

단계 6

양변이 동일함을 보였으므로, 이 방정식은 항등식입니다.

$\frac{1 - \cos (x)}{1 + \cos (x)} = {(\cot (x) - \csc (x))}^{2}$ 은 항등식입니다