삼각법 예제

$(\csc (x) + \cot (x)) (\csc (x) - \cot (x)) + \tan^{2} (x) = \frac{1}{\cos^{2} (x)}$

단계 1

좌변에서부터 시작합니다.

$(\csc (x) + \cot (x)) (\csc (x) - \cot (x)) + \tan^{2} (x)$

단계 2

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 2.1.1

$\csc (x)$ 를 사인과 코사인을 사용하여 다시 표현합니다.

$(\frac{1}{\sin (x)} + \cot (x)) (\csc (x) - \cot (x)) + \tan^{2} (x)$

단계 2.1.2

$\cot (x)$ 를 사인과 코사인을 사용하여 다시 표현합니다.

$(\frac{1}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)}) (\csc (x) - \cot (x)) + \tan^{2} (x)$

단계 2.2

각 항을 간단히 합니다.

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단계 2.2.1

$\csc (x)$ 를 사인과 코사인을 사용하여 다시 표현합니다.

$(\frac{1}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)}) (\frac{1}{\sin (x)} - \cot (x)) + \tan^{2} (x)$

단계 2.2.2

$\cot (x)$ 를 사인과 코사인을 사용하여 다시 표현합니다.

$(\frac{1}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)}) (\frac{1}{\sin (x)} - \frac{\cos (x)}{\sin (x)}) + \tan^{2} (x)$

단계 2.3

FOIL 계산법을 이용하여 $(\frac{1}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)}) (\frac{1}{\sin (x)} - \frac{\cos (x)}{\sin (x)})$ 를 전개합니다.

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단계 2.3.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{1}{\sin (x)} (\frac{1}{\sin (x)} - \frac{\cos (x)}{\sin (x)}) + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} (\frac{1}{\sin (x)} - \frac{\cos (x)}{\sin (x)}) + \tan^{2} (x)$

단계 2.3.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{1}{\sin (x)} \cdot \frac{1}{\sin (x)} + \frac{1}{\sin (x)} (- \frac{\cos (x)}{\sin (x)}) + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} (\frac{1}{\sin (x)} - \frac{\cos (x)}{\sin (x)}) + \tan^{2} (x)$

단계 2.3.3

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{1}{\sin (x)} \cdot \frac{1}{\sin (x)} + \frac{1}{\sin (x)} (- \frac{\cos (x)}{\sin (x)}) + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{1}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} (- \frac{\cos (x)}{\sin (x)}) + \tan^{2} (x)$

단계 2.4

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단계 2.4.1

인수가 항 $\frac{1}{\sin (x)} (- \frac{\cos (x)}{\sin (x)})$ 과(와) $\frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{1}{\sin (x)}$ (으)로 표현되도록 다시 정렬합니다.

$\frac{1}{\sin (x)} \cdot \frac{1}{\sin (x)} - \frac{1}{\sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)} + \frac{1}{\sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} (- \frac{\cos (x)}{\sin (x)}) + \tan^{2} (x)$

단계 2.4.2

$- \frac{1}{\sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ 를 $\frac{1}{\sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ 에 더합니다.

$\frac{1}{\sin (x)} \cdot \frac{1}{\sin (x)} + 0 + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} (- \frac{\cos (x)}{\sin (x)}) + \tan^{2} (x)$

단계 2.4.3

$\frac{1}{\sin (x)} \cdot \frac{1}{\sin (x)}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{1}{\sin (x)} \cdot \frac{1}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} (- \frac{\cos (x)}{\sin (x)}) + \tan^{2} (x)$

단계 2.5

각 항을 간단히 합니다.

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단계 2.5.1

$\frac{1}{\sin (x)} \cdot \frac{1}{\sin (x)}$ 을 곱합니다.

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단계 2.5.1.1

$\frac{1}{\sin (x)}$ 에 $\frac{1}{\sin (x)}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{\sin (x) \sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} (- \frac{\cos (x)}{\sin (x)}) + \tan^{2} (x)$

단계 2.5.1.2

$\sin (x)$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{1}{\sin^{1} (x) \sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} (- \frac{\cos (x)}{\sin (x)}) + \tan^{2} (x)$

단계 2.5.1.3

$\sin (x)$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{1}{\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} (- \frac{\cos (x)}{\sin (x)}) + \tan^{2} (x)$

단계 2.5.1.4

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{1}{{\sin (x)}^{1 + 1}} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} (- \frac{\cos (x)}{\sin (x)}) + \tan^{2} (x)$

단계 2.5.1.5

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\frac{1}{\sin^{2} (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} (- \frac{\cos (x)}{\sin (x)}) + \tan^{2} (x)$

단계 2.5.2

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$\frac{1}{\sin^{2} (x)} - \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)} + \tan^{2} (x)$

단계 2.5.3

$- \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ 을 곱합니다.

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단계 2.5.3.1

$\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ 에 $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{\sin^{2} (x)} - \frac{\cos (x) \cos (x)}{\sin (x) \sin (x)} + \tan^{2} (x)$

단계 2.5.3.2

$\cos (x)$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{1}{\sin^{2} (x)} - \frac{\cos^{1} (x) \cos (x)}{\sin (x) \sin (x)} + \tan^{2} (x)$

단계 2.5.3.3

$\cos (x)$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{1}{\sin^{2} (x)} - \frac{\cos^{1} (x) \cos^{1} (x)}{\sin (x) \sin (x)} + \tan^{2} (x)$

단계 2.5.3.4

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{1}{\sin^{2} (x)} - \frac{{\cos (x)}^{1 + 1}}{\sin (x) \sin (x)} + \tan^{2} (x)$

단계 2.5.3.5

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\frac{1}{\sin^{2} (x)} - \frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x) \sin (x)} + \tan^{2} (x)$

단계 2.5.3.6

$\sin (x)$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{1}{\sin^{2} (x)} - \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{1} (x) \sin (x)} + \tan^{2} (x)$

단계 2.5.3.7

$\sin (x)$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{1}{\sin^{2} (x)} - \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)} + \tan^{2} (x)$

단계 2.5.3.8

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{1}{\sin^{2} (x)} - \frac{\cos^{2} (x)}{{\sin (x)}^{1 + 1}} + \tan^{2} (x)$

단계 2.5.3.9

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\frac{1}{\sin^{2} (x)} - \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)} + \tan^{2} (x)$

단계 2.6

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{1 - \cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)} + \tan^{2} (x)$

단계 2.7

피타고라스의 정리를 적용합니다.

$\frac{\sin^{2} (x)}{\sin^{2} (x)} + \tan^{2} (x)$

단계 2.8

$\sin^{2} (x)$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 2.8.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{\sin^{2} (x)}{\sin^{2} (x)} + \tan^{2} (x)$

단계 2.8.2

수식을 다시 씁니다.

$1 + \tan^{2} (x)$

단계 2.9

$\tan (x)$ 를 사인과 코사인을 사용하여 다시 표현합니다.

$1 + {(\frac{\sin (x)}{\cos (x)})}^{2}$

단계 2.10

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$1 + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$

단계 3

피타고라스의 정리를 반대로 적용합니다.

$1 + \frac{1 - \cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$

단계 4

간단히 합니다.

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단계 4.1

분자를 간단히 합니다.

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단계 4.1.1

$1$ 을 $1^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$1 + \frac{1^{2} - {\cos (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}}$

단계 4.1.2

두 항 모두 완전제곱식이므로, 제곱의 차 공식 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 을 이용하여 인수분해합니다. 이 때 $a = 1$ 이고 $b = \cos (x)$ 입니다.

$1 + \frac{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}{{\cos (x)}^{2}}$

단계 4.2

$1$ 을(를) 공통분모가 있는 분수로 표현합니다.

$\frac{{\cos (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}{{\cos (x)}^{2}}$

단계 4.3

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{{\cos (x)}^{2} + (1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}{{\cos (x)}^{2}}$

단계 4.4

분자를 간단히 합니다.

$\frac{1}{\cos^{2} (x)}$

단계 5

양변이 동일함을 보였으므로, 이 방정식은 항등식입니다.

$(\csc (x) + \cot (x)) (\csc (x) - \cot (x)) + \tan^{2} (x) = \frac{1}{\cos^{2} (x)}$ 은 항등식입니다