삼각법 예제

$\frac{\frac{1}{\sin (x)} + 1}{\frac{1}{\sin (x)} - 1} = \tan^{2} (x) + 2 \tan (x) \sec (x) + \sec^{2} (x)$

단계 1

우변부터 시작합니다.

$\tan^{2} (x) + 2 \tan (x) \sec (x) + \sec^{2} (x)$

단계 2

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

$\tan (x)$ 를 사인과 코사인을 사용하여 다시 표현합니다.

${(\frac{\sin (x)}{\cos (x)})}^{2} + 2 \tan (x) \sec (x) + \sec^{2} (x)$

단계 2.2

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} + 2 \tan (x) \sec (x) + \sec^{2} (x)$

단계 2.3

$\tan (x)$ 를 사인과 코사인을 사용하여 다시 표현합니다.

$\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} + 2 \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \sec (x) + \sec^{2} (x)$

단계 2.4

$2$ 와 $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ 을 묶습니다.

$\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{2 \sin (x)}{\cos (x)} \sec (x) + \sec^{2} (x)$

단계 2.5

$\sec (x)$ 를 사인과 코사인을 사용하여 다시 표현합니다.

$\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{2 \sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)} + \sec^{2} (x)$

단계 2.6

$\frac{2 \sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.6.1

$\frac{2 \sin (x)}{\cos (x)}$ 에 $\frac{1}{\cos (x)}$ 을 곱합니다.

$\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{2 \sin (x)}{\cos (x) \cos (x)} + \sec^{2} (x)$

단계 2.6.2

$\cos (x)$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{2 \sin (x)}{\cos^{1} (x) \cos (x)} + \sec^{2} (x)$

단계 2.6.3

$\cos (x)$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{2 \sin (x)}{\cos^{1} (x) \cos^{1} (x)} + \sec^{2} (x)$

단계 2.6.4

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{2 \sin (x)}{{\cos (x)}^{1 + 1}} + \sec^{2} (x)$

단계 2.6.5

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{2 \sin (x)}{\cos^{2} (x)} + \sec^{2} (x)$

단계 2.7

$\sec (x)$ 를 사인과 코사인을 사용하여 다시 표현합니다.

$\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{2 \sin (x)}{\cos^{2} (x)} + {(\frac{1}{\cos (x)})}^{2}$

단계 2.8

$\frac{1}{\cos (x)}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{2 \sin (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)}$

단계 2.9

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{2 \sin (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{1}{\cos^{2} (x)}$

단계 3

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{\sin^{2} (x) + 2 \sin (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{1}{\cos^{2} (x)}$

단계 4

식을 간단히 합니다.

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단계 4.1

$\sin^{2} (x) + 2 \sin (x)$ 에서 $\sin (x)$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.1

$\sin^{2} (x)$ 에서 $\sin (x)$ 를 인수분해합니다.

$\frac{\sin (x) \sin (x) + 2 \sin (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{1}{\cos^{2} (x)}$

단계 4.1.2

$2 \sin (x)$ 에서 $\sin (x)$ 를 인수분해합니다.

$\frac{\sin (x) \sin (x) + \sin (x) \cdot 2}{\cos^{2} (x)} + \frac{1}{\cos^{2} (x)}$

단계 4.1.3

$\sin (x) \sin (x) + \sin (x) \cdot 2$ 에서 $\sin (x)$ 를 인수분해합니다.

$\frac{\sin (x) (\sin (x) + 2)}{\cos^{2} (x)} + \frac{1}{\cos^{2} (x)}$

단계 4.2

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{\sin (x) (\sin (x) + 2) + 1}{\cos^{2} (x)}$

단계 4.3

분자를 간단히 합니다.

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단계 4.3.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{\sin (x) \sin (x) + \sin (x) \cdot 2 + 1}{\cos^{2} (x)}$

단계 4.3.2

$\sin (x) \sin (x)$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.2.1

$\sin (x)$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{\sin^{1} (x) \sin (x) + \sin (x) \cdot 2 + 1}{\cos^{2} (x)}$

단계 4.3.2.2

$\sin (x)$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{\sin^{1} (x) \sin^{1} (x) + \sin (x) \cdot 2 + 1}{\cos^{2} (x)}$

단계 4.3.2.3

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{{\sin (x)}^{1 + 1} + \sin (x) \cdot 2 + 1}{\cos^{2} (x)}$

단계 4.3.2.4

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\frac{\sin^{2} (x) + \sin (x) \cdot 2 + 1}{\cos^{2} (x)}$

단계 4.3.3

$\sin (x)$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$\frac{\sin^{2} (x) + 2 \cdot \sin (x) + 1}{\cos^{2} (x)}$

단계 4.3.4

인수분해된 형태로 $\sin^{2} (x) + 2 \sin (x) + 1$ 를 다시 씁니다.

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단계 4.3.4.1

$u = \sin (x)$ 로 정의합니다. 식에 나타나는 모든 $\sin (x)$ 를 $u$ 로 바꿉니다.

$\frac{u^{2} + 2 u + 1}{\cos^{2} (x)}$

단계 4.3.4.2

완전제곱 법칙을 이용하여 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.4.2.1

$1$ 을 $1^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{u^{2} + 2 u + 1^{2}}{\cos^{2} (x)}$

단계 4.3.4.2.2

중간 항이 첫 번째 항 및 세 번째 항에서 제곱되는 수를 곱한 값의 두 배인지 확인합니다.

$2 u = 2 \cdot u \cdot 1$

단계 4.3.4.2.3

다항식을 다시 씁니다.

$\frac{u^{2} + 2 \cdot u \cdot 1 + 1^{2}}{\cos^{2} (x)}$

단계 4.3.4.2.4

$a = u$ 이고 $b = 1$ 일 때 완전제곱 삼항식 법칙 $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ 을 이용하여 인수분해합니다.

$\frac{{(u + 1)}^{2}}{\cos^{2} (x)}$

단계 4.3.4.3

$u$ 를 모두 $\sin (x)$ 로 바꿉니다.

$\frac{{(\sin (x) + 1)}^{2}}{\cos^{2} (x)}$

단계 5

피타고라스의 정리를 반대로 적용합니다.

$\frac{{(\sin (x) + 1)}^{2}}{1 - \sin^{2} (x)}$

단계 6

분모를 간단히 합니다.

$\frac{{(\sin (x) + 1)}^{2}}{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))}$

단계 7

${(1 + \sin (x))}^{2}$ 및 $1 + \sin (x)$ 의 공약수로 약분합니다.

$\frac{1 + \sin (x)}{1 - \sin (x)}$

단계 8

$\frac{1 + \sin (x)}{1 - \sin (x)}$ 을 $\frac{\frac{1}{\sin (x)} + 1}{\frac{1}{\sin (x)} - 1}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{\frac{1}{\sin (x)} + 1}{\frac{1}{\sin (x)} - 1}$

단계 9

양변이 동일함을 보였으므로, 이 방정식은 항등식입니다.

$\frac{\frac{1}{\sin (x)} + 1}{\frac{1}{\sin (x)} - 1} = \tan^{2} (x) + 2 \tan (x) \sec (x) + \sec^{2} (x)$ 은 항등식입니다