삼각법 예제

$\frac{\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)}{1 - \tan^{2} (x)} = \cos^{2} (x)$

단계 1

좌변에서부터 시작합니다.

$\frac{\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)}{1 - \tan^{2} (x)}$

단계 2

사인과 코사인으로 바꿉니다.

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단계 2.1

삼각함수 항등식을 이용하여 $\tan (x)$ 를 사인과 코사인으로 표현합니다.

$\frac{\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)}{1 - {(\frac{\sin (x)}{\cos (x)})}^{2}}$

단계 2.2

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$\frac{\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)}{1 - \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}}$

단계 3

간단히 합니다.

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단계 3.1

Multiply the numerator and denominator of the fraction by ${\cos (x)}^{2}$ .

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단계 3.1.1

$\frac{{\cos (x)}^{2} - {\sin (x)}^{2}}{1 - \frac{{\sin (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}}}$ 에 $\frac{{\cos (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}}$ 을 곱합니다.

$\frac{{\cos (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}} \cdot \frac{{\cos (x)}^{2} - {\sin (x)}^{2}}{1 - \frac{{\sin (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}}}$

단계 3.1.2

조합합니다.

$\frac{{\cos (x)}^{2} ({\cos (x)}^{2} - {\sin (x)}^{2})}{{\cos (x)}^{2} (1 - \frac{{\sin (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}})}$

단계 3.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{{\cos (x)}^{2} {\cos (x)}^{2} + {\cos (x)}^{2} (- {\sin (x)}^{2})}{{\cos (x)}^{2} \cdot 1 + {\cos (x)}^{2} (- \frac{{\sin (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}})}$

단계 3.3

${\cos (x)}^{2}$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 3.3.1

$- \frac{{\sin (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}}$ 의 마이너스 부호를 분자로 이동합니다.

$\frac{{\cos (x)}^{2} {\cos (x)}^{2} + {\cos (x)}^{2} (- {\sin (x)}^{2})}{{\cos (x)}^{2} \cdot 1 + {\cos (x)}^{2} \frac{- {\sin (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}}}$

단계 3.3.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{{\cos (x)}^{2} {\cos (x)}^{2} + {\cos (x)}^{2} (- {\sin (x)}^{2})}{{\cos (x)}^{2} \cdot 1 + {\cos (x)}^{2} \frac{- {\sin (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}}}$

단계 3.3.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{{\cos (x)}^{2} {\cos (x)}^{2} + {\cos (x)}^{2} (- {\sin (x)}^{2})}{{\cos (x)}^{2} \cdot 1 - {\sin (x)}^{2}}$

단계 3.4

분자를 간단히 합니다.

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단계 3.4.1

${\cos (x)}^{2} {\cos (x)}^{2}$ 을 ${(\cos (x) \cos (x))}^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{{(\cos (x) \cos (x))}^{2} + {\cos (x)}^{2} (- {\sin (x)}^{2})}{{\cos (x)}^{2} \cdot 1 - {\sin (x)}^{2}}$

단계 3.4.2

${\cos (x)}^{2} ({\sin (x)}^{2})$ 을 ${(\cos (x) \sin (x))}^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{{(\cos (x) \cos (x))}^{2} - {(\cos (x) \sin (x))}^{2}}{{\cos (x)}^{2} \cdot 1 - {\sin (x)}^{2}}$

단계 3.4.3

두 항 모두 완전제곱식이므로, 제곱의 차 공식 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 을 이용하여 인수분해합니다. 이 때 $a = \cos (x) \cos (x)$ 이고 $b = \cos (x) \sin (x)$ 입니다.

$\frac{(\cos (x) \cos (x) + \cos (x) \sin (x)) (\cos (x) \cos (x) - (\cos (x) \sin (x)))}{{\cos (x)}^{2} \cdot 1 - {\sin (x)}^{2}}$

단계 3.4.4

간단히 합니다.

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단계 3.4.4.1

$\cos (x) \cos (x)$ 을 곱합니다.

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단계 3.4.4.1.1

$\cos (x)$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{({\cos (x)}^{1} \cos (x) + \cos (x) \sin (x)) (\cos (x) \cos (x) - (\cos (x) \sin (x)))}{{\cos (x)}^{2} \cdot 1 - {\sin (x)}^{2}}$

단계 3.4.4.1.2

$\cos (x)$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{({\cos (x)}^{1} {\cos (x)}^{1} + \cos (x) \sin (x)) (\cos (x) \cos (x) - (\cos (x) \sin (x)))}{{\cos (x)}^{2} \cdot 1 - {\sin (x)}^{2}}$

단계 3.4.4.1.3

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{({\cos (x)}^{1 + 1} + \cos (x) \sin (x)) (\cos (x) \cos (x) - (\cos (x) \sin (x)))}{{\cos (x)}^{2} \cdot 1 - {\sin (x)}^{2}}$

단계 3.4.4.1.4

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\frac{({\cos (x)}^{2} + \cos (x) \sin (x)) (\cos (x) \cos (x) - (\cos (x) \sin (x)))}{{\cos (x)}^{2} \cdot 1 - {\sin (x)}^{2}}$

단계 3.4.4.2

${\cos (x)}^{2} + \cos (x) \sin (x)$ 에서 $\cos (x)$ 를 인수분해합니다.

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단계 3.4.4.2.1

${\cos (x)}^{2}$ 에서 $\cos (x)$ 를 인수분해합니다.

$\frac{(\cos (x) \cos (x) + \cos (x) \sin (x)) (\cos (x) \cos (x) - (\cos (x) \sin (x)))}{{\cos (x)}^{2} \cdot 1 - {\sin (x)}^{2}}$

단계 3.4.4.2.2

$\cos (x) \sin (x)$ 에서 $\cos (x)$ 를 인수분해합니다.

$\frac{(\cos (x) \cos (x) + \cos (x) (\sin (x))) (\cos (x) \cos (x) - (\cos (x) \sin (x)))}{{\cos (x)}^{2} \cdot 1 - {\sin (x)}^{2}}$

단계 3.4.4.2.3

$\cos (x) \cos (x) + \cos (x) (\sin (x))$ 에서 $\cos (x)$ 를 인수분해합니다.

$\frac{\cos (x) (\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) \cos (x) - (\cos (x) \sin (x)))}{{\cos (x)}^{2} \cdot 1 - {\sin (x)}^{2}}$

단계 3.4.4.3

지수를 묶습니다.

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단계 3.4.4.3.1

$\cos (x)$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{\cos (x) (\cos (x) + \sin (x)) ({\cos (x)}^{1} \cos (x) - (\cos (x) \sin (x)))}{{\cos (x)}^{2} \cdot 1 - {\sin (x)}^{2}}$

단계 3.4.4.3.2

$\cos (x)$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{\cos (x) (\cos (x) + \sin (x)) ({\cos (x)}^{1} {\cos (x)}^{1} - (\cos (x) \sin (x)))}{{\cos (x)}^{2} \cdot 1 - {\sin (x)}^{2}}$

단계 3.4.4.3.3

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{\cos (x) (\cos (x) + \sin (x)) ({\cos (x)}^{1 + 1} - (\cos (x) \sin (x)))}{{\cos (x)}^{2} \cdot 1 - {\sin (x)}^{2}}$

단계 3.4.4.3.4

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\frac{\cos (x) (\cos (x) + \sin (x)) ({\cos (x)}^{2} - (\cos (x) \sin (x)))}{{\cos (x)}^{2} \cdot 1 - {\sin (x)}^{2}}$

단계 3.4.5

${\cos (x)}^{2} - \cos (x) \sin (x)$ 에서 $\cos (x)$ 를 인수분해합니다.

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단계 3.4.5.1

${\cos (x)}^{2}$ 에서 $\cos (x)$ 를 인수분해합니다.

$\frac{\cos (x) (\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) \cos (x) - \cos (x) \sin (x))}{{\cos (x)}^{2} \cdot 1 - {\sin (x)}^{2}}$

단계 3.4.5.2

$- \cos (x) \sin (x)$ 에서 $\cos (x)$ 를 인수분해합니다.

$\frac{\cos (x) (\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) \cos (x) + \cos (x) (- \sin (x)))}{{\cos (x)}^{2} \cdot 1 - {\sin (x)}^{2}}$

단계 3.4.5.3

$\cos (x) \cos (x) + \cos (x) (- \sin (x))$ 에서 $\cos (x)$ 를 인수분해합니다.

$\frac{\cos (x) (\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) (\cos (x) - \sin (x)))}{{\cos (x)}^{2} \cdot 1 - {\sin (x)}^{2}}$

$\frac{\cos (x) (\cos (x) + \sin (x)) \cos (x) (\cos (x) - \sin (x))}{{\cos (x)}^{2} \cdot 1 - {\sin (x)}^{2}}$

단계 3.4.6

지수를 묶습니다.

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단계 3.4.6.1

$\cos (x)$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{{\cos (x)}^{1} \cos (x) (\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x))}{{\cos (x)}^{2} \cdot 1 - {\sin (x)}^{2}}$

단계 3.4.6.2

$\cos (x)$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{{\cos (x)}^{1} {\cos (x)}^{1} (\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x))}{{\cos (x)}^{2} \cdot 1 - {\sin (x)}^{2}}$

단계 3.4.6.3

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{{\cos (x)}^{1 + 1} (\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x))}{{\cos (x)}^{2} \cdot 1 - {\sin (x)}^{2}}$

단계 3.4.6.4

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\frac{{\cos (x)}^{2} (\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x))}{{\cos (x)}^{2} \cdot 1 - {\sin (x)}^{2}}$

단계 3.5

분모를 간단히 합니다.

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단계 3.5.1

${\cos (x)}^{2} \cdot 1$ 을 ${(\cos (x) \cdot 1)}^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{{\cos (x)}^{2} (\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x))}{{(\cos (x) \cdot 1)}^{2} - {\sin (x)}^{2}}$

단계 3.5.2

두 항 모두 완전제곱식이므로, 제곱의 차 공식 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 을 이용하여 인수분해합니다. 이 때 $a = \cos (x) \cdot 1$ 이고 $b = \sin (x)$ 입니다.

$\frac{{\cos (x)}^{2} (\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x))}{(\cos (x) \cdot 1 + \sin (x)) (\cos (x) \cdot 1 - \sin (x))}$

단계 3.5.3

간단히 합니다.

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단계 3.5.3.1

$\cos (x)$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{{\cos (x)}^{2} (\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x))}{(\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) \cdot 1 - \sin (x))}$

단계 3.5.3.2

$\cos (x)$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{{\cos (x)}^{2} (\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x))}{(\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x))}$

단계 3.6

$\cos (x) + \sin (x)$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 3.6.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{{\cos (x)}^{2} (\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x))}{(\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x))}$

단계 3.6.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{{\cos (x)}^{2} (\cos (x) - \sin (x))}{\cos (x) - \sin (x)}$

단계 3.7

$\cos (x) - \sin (x)$ 의 공약수로 약분합니다.

$\cos^{2} (x)$

단계 4

양변이 동일함을 보였으므로, 이 방정식은 항등식입니다.

$\frac{\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)}{1 - \tan^{2} (x)} = \cos^{2} (x)$ 은 항등식입니다