삼각법 예제

$\frac{\csc^{2} (x)}{\cot^{2} (x) - 1} = \frac{\sec^{2} (x)}{1 - \tan^{2} (x)}$

단계 1

좌변에서부터 시작합니다.

$\frac{\csc^{2} (x)}{\cot^{2} (x) - 1}$

단계 2

사인과 코사인으로 바꿉니다.

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단계 2.1

삼각함수의 역수 관계를 $\csc (x)$ 에 적용합니다.

$\frac{{(\frac{1}{\sin (x)})}^{2}}{\cot^{2} (x) - 1}$

단계 2.2

삼각함수 항등식을 이용하여 $\cot (x)$ 를 사인과 코사인으로 표현합니다.

$\frac{{(\frac{1}{\sin (x)})}^{2}}{{(\frac{\cos (x)}{\sin (x)})}^{2} - 1}$

단계 2.3

$\frac{1}{\sin (x)}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$\frac{\frac{1^{2}}{\sin^{2} (x)}}{{(\frac{\cos (x)}{\sin (x)})}^{2} - 1}$

단계 2.4

$\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$\frac{\frac{1^{2}}{\sin^{2} (x)}}{\frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)} - 1}$

단계 3

간단히 합니다.

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단계 3.1

분자에 분모의 역수를 곱합니다.

$\frac{1^{2}}{{\sin (x)}^{2}} \cdot \frac{1}{\frac{{\cos (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}} - 1}$

단계 3.2

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$\frac{1}{{\sin (x)}^{2}} \cdot \frac{1}{\frac{{\cos (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}} - 1}$

단계 3.3

분모를 간단히 합니다.

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단계 3.3.1

$\frac{{\cos (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}}$ 을 ${(\frac{\cos (x)}{\sin (x)})}^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{1}{{\sin (x)}^{2}} \cdot \frac{1}{{(\frac{\cos (x)}{\sin (x)})}^{2} - 1}$

단계 3.3.2

$1$ 을 $1^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{1}{{\sin (x)}^{2}} \cdot \frac{1}{{(\frac{\cos (x)}{\sin (x)})}^{2} - 1^{2}}$

단계 3.3.3

두 항 모두 완전제곱식이므로, 제곱의 차 공식 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 을 이용하여 인수분해합니다. 이 때 $a = \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ 이고 $b = 1$ 입니다.

$\frac{1}{{\sin (x)}^{2}} \cdot \frac{1}{(\frac{\cos (x)}{\sin (x)} + 1) (\frac{\cos (x)}{\sin (x)} - 1)}$

단계 3.3.4

$1$ 을(를) 공통분모가 있는 분수로 표현합니다.

$\frac{1}{{\sin (x)}^{2}} \cdot \frac{1}{(\frac{\cos (x)}{\sin (x)} + \frac{\sin (x)}{\sin (x)}) (\frac{\cos (x)}{\sin (x)} - 1)}$

단계 3.3.5

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{1}{{\sin (x)}^{2}} \cdot \frac{1}{\frac{\cos (x) + \sin (x)}{\sin (x)} (\frac{\cos (x)}{\sin (x)} - 1)}$

단계 3.3.6

공통 분모를 가지는 분수로 $- 1$ 을 표현하기 위해 $\frac{\sin (x)}{\sin (x)}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{{\sin (x)}^{2}} \cdot \frac{1}{\frac{\cos (x) + \sin (x)}{\sin (x)} (\frac{\cos (x)}{\sin (x)} - 1 \cdot \frac{\sin (x)}{\sin (x)})}$

단계 3.3.7

$- 1$ 와 $\frac{\sin (x)}{\sin (x)}$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{{\sin (x)}^{2}} \cdot \frac{1}{\frac{\cos (x) + \sin (x)}{\sin (x)} (\frac{\cos (x)}{\sin (x)} + \frac{- \sin (x)}{\sin (x)})}$

단계 3.3.8

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{1}{{\sin (x)}^{2}} \cdot \frac{1}{\frac{\cos (x) + \sin (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{\cos (x) - \sin (x)}{\sin (x)}}$

단계 3.4

$\frac{\cos (x) + \sin (x)}{\sin (x)}$ 에 $\frac{\cos (x) - \sin (x)}{\sin (x)}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{{\sin (x)}^{2}} \cdot \frac{1}{\frac{(\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x))}{\sin (x) \sin (x)}}$

단계 3.5

분모를 간단히 합니다.

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단계 3.5.1

$\sin (x)$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{1}{{\sin (x)}^{2}} \cdot \frac{1}{\frac{(\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x))}{{\sin (x)}^{1} \sin (x)}}$

단계 3.5.2

$\sin (x)$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{1}{{\sin (x)}^{2}} \cdot \frac{1}{\frac{(\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x))}{{\sin (x)}^{1} {\sin (x)}^{1}}}$

단계 3.5.3

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{1}{{\sin (x)}^{2}} \cdot \frac{1}{\frac{(\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x))}{{\sin (x)}^{1 + 1}}}$

단계 3.5.4

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\frac{1}{{\sin (x)}^{2}} \cdot \frac{1}{\frac{(\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x))}{{\sin (x)}^{2}}}$

단계 3.6

조합합니다.

$\frac{1 \cdot 1}{{\sin (x)}^{2} \frac{(\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x))}{{\sin (x)}^{2}}}$

단계 3.7

$1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{{\sin (x)}^{2} \frac{(\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x))}{{\sin (x)}^{2}}}$

단계 3.8

${\sin (x)}^{2}$ 와 $\frac{(\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x))}{{\sin (x)}^{2}}$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{\frac{{\sin (x)}^{2} ((\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x)))}{{\sin (x)}^{2}}}$

단계 3.9

공약수를 소거하여 수식을 간단히 정리합니다.

$\frac{1}{(\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x))}$

단계 4

$\frac{1}{(\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x))}$ 을 $\frac{\sec^{2} (x)}{1 - \tan^{2} (x)}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{\sec^{2} (x)}{1 - \tan^{2} (x)}$

단계 5

양변이 동일함을 보였으므로, 이 방정식은 항등식입니다.

$\frac{\csc^{2} (x)}{\cot^{2} (x) - 1} = \frac{\sec^{2} (x)}{1 - \tan^{2} (x)}$ 은 항등식입니다