삼각법 예제

$\frac{\sec (x)}{\csc (x) - \cot (x)} - \frac{\sec (x)}{\csc (x) + \cot (x)} = 2 \csc (x)$

단계 1

좌변에서부터 시작합니다.

$\frac{\sec (x)}{\csc (x) - \cot (x)} - \frac{\sec (x)}{\csc (x) + \cot (x)}$

단계 2

분수를 뺍니다.

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단계 2.1

공통 분모를 가지는 분수로 $\frac{\sec (x)}{\csc (x) - \cot (x)}$ 을 표현하기 위해 $\frac{\csc (x) + \cot (x)}{\csc (x) + \cot (x)}$ 을 곱합니다.

$\frac{\sec (x)}{\csc (x) - \cot (x)} \cdot \frac{\csc (x) + \cot (x)}{\csc (x) + \cot (x)} - \frac{\sec (x)}{\csc (x) + \cot (x)}$

단계 2.2

공통 분모를 가지는 분수로 $- \frac{\sec (x)}{\csc (x) + \cot (x)}$ 을 표현하기 위해 $\frac{\csc (x) - \cot (x)}{\csc (x) - \cot (x)}$ 을 곱합니다.

$\frac{\sec (x)}{\csc (x) - \cot (x)} \cdot \frac{\csc (x) + \cot (x)}{\csc (x) + \cot (x)} - \frac{\sec (x)}{\csc (x) + \cot (x)} \cdot \frac{\csc (x) - \cot (x)}{\csc (x) - \cot (x)}$

단계 2.3

각 수식에 적절한 인수 $1$ 을 곱하여 수식의 분모가 모두 $(\csc (x) - \cot (x)) (\csc (x) + \cot (x))$ 이 되도록 식을 씁니다.

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단계 2.3.1

$\frac{\sec (x)}{\csc (x) - \cot (x)}$ 에 $\frac{\csc (x) + \cot (x)}{\csc (x) + \cot (x)}$ 을 곱합니다.

$\frac{\sec (x) (\csc (x) + \cot (x))}{(\csc (x) - \cot (x)) (\csc (x) + \cot (x))} - \frac{\sec (x)}{\csc (x) + \cot (x)} \cdot \frac{\csc (x) - \cot (x)}{\csc (x) - \cot (x)}$

단계 2.3.2

$\frac{\sec (x)}{\csc (x) + \cot (x)}$ 에 $\frac{\csc (x) - \cot (x)}{\csc (x) - \cot (x)}$ 을 곱합니다.

$\frac{\sec (x) (\csc (x) + \cot (x))}{(\csc (x) - \cot (x)) (\csc (x) + \cot (x))} - \frac{\sec (x) (\csc (x) - \cot (x))}{(\csc (x) + \cot (x)) (\csc (x) - \cot (x))}$

단계 2.3.3

$(\csc (x) - \cot (x)) (\csc (x) + \cot (x))$ 인수를 다시 정렬합니다.

$\frac{\sec (x) (\csc (x) + \cot (x))}{(\csc (x) + \cot (x)) (\csc (x) - \cot (x))} - \frac{\sec (x) (\csc (x) - \cot (x))}{(\csc (x) + \cot (x)) (\csc (x) - \cot (x))}$

단계 2.4

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{\sec (x) (\csc (x) + \cot (x)) - \sec (x) (\csc (x) - \cot (x))}{(\csc (x) + \cot (x)) (\csc (x) - \cot (x))}$

단계 3

분자를 간단히 합니다.

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단계 3.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 3.1.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{\sec (x) \csc (x) + \sec (x) \cot (x) - \sec (x) (\csc (x) - \cot (x))}{(\csc (x) + \cot (x)) (\csc (x) - \cot (x))}$

단계 3.1.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{\sec (x) \csc (x) + \sec (x) \cot (x) - \sec (x) \csc (x) - \sec (x) (- \cot (x))}{(\csc (x) + \cot (x)) (\csc (x) - \cot (x))}$

단계 3.1.3

$- \sec (x) (- \cot (x))$ 을 곱합니다.

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단계 3.1.3.1

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{\sec (x) \csc (x) + \sec (x) \cot (x) - \sec (x) \csc (x) + 1 \sec (x) \cot (x)}{(\csc (x) + \cot (x)) (\csc (x) - \cot (x))}$

단계 3.1.3.2

$\sec (x)$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{\sec (x) \csc (x) + \sec (x) \cot (x) - \sec (x) \csc (x) + \sec (x) \cot (x)}{(\csc (x) + \cot (x)) (\csc (x) - \cot (x))}$

단계 3.2

$\sec (x) \csc (x)$ 에서 $\sec (x) \csc (x)$ 을 뺍니다.

$\frac{\sec (x) \cot (x) + 0 + \sec (x) \cot (x)}{(\csc (x) + \cot (x)) (\csc (x) - \cot (x))}$

단계 3.3

$\sec (x) \cot (x)$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{\sec (x) \cot (x) + \sec (x) \cot (x)}{(\csc (x) + \cot (x)) (\csc (x) - \cot (x))}$

단계 3.4

$\sec (x) \cot (x)$ 를 $\sec (x) \cot (x)$ 에 더합니다.

$\frac{2 \sec (x) \cot (x)}{(\csc (x) + \cot (x)) (\csc (x) - \cot (x))}$

단계 4

분모를 간단히 합니다.

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단계 4.1

FOIL 계산법을 이용하여 $(\csc (x) + \cot (x)) (\csc (x) - \cot (x))$ 를 전개합니다.

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단계 4.1.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{2 \sec (x) \cot (x)}{\csc (x) (\csc (x) - \cot (x)) + \cot (x) (\csc (x) - \cot (x))}$

단계 4.1.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{2 \sec (x) \cot (x)}{\csc (x) \csc (x) + \csc (x) (- \cot (x)) + \cot (x) (\csc (x) - \cot (x))}$

단계 4.1.3

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{2 \sec (x) \cot (x)}{\csc (x) \csc (x) + \csc (x) (- \cot (x)) + \cot (x) \csc (x) + \cot (x) (- \cot (x))}$

단계 4.2

동류항끼리 묶고 식을 간단히 합니다.

$\frac{2 \sec (x) \cot (x)}{\csc^{2} (x) - \cot^{2} (x)}$

단계 5

피타고라스의 정리를 적용합니다.

$\frac{2 \sec (x) \cot (x)}{1}$

단계 6

사인과 코사인으로 바꿉니다.

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단계 6.1

삼각함수의 역수 관계를 $\sec (x)$ 에 적용합니다.

$\frac{2 \frac{1}{\cos (x)} \cot (x)}{1}$

단계 6.2

삼각함수 항등식을 이용하여 $\cot (x)$ 를 사인과 코사인으로 표현합니다.

$\frac{2 \frac{1}{\cos (x)} \frac{\cos (x)}{\sin (x)}}{1}$

단계 7

간단히 합니다.

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단계 7.1

$2 \frac{1}{\cos (x)} \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$2 \frac{1}{\cos (x)} \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

단계 7.2

$2$ 와 $\frac{1}{\cos (x)}$ 을 묶습니다.

$\frac{2}{\cos (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

단계 7.3

$\cos (x)$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 7.3.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{2}{\cos (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

단계 7.3.2

수식을 다시 씁니다.

$2 \frac{1}{\sin (x)}$

단계 7.4

$2$ 와 $\frac{1}{\sin (x)}$ 을 묶습니다.

$\frac{2}{\sin (x)}$

단계 8

$\frac{2}{\sin (x)}$ 을 $2 \csc (x)$ 로 바꿔 씁니다.

$2 \csc (x)$

단계 9

양변이 동일함을 보였으므로, 이 방정식은 항등식입니다.

$\frac{\sec (x)}{\csc (x) - \cot (x)} - \frac{\sec (x)}{\csc (x) + \cot (x)} = 2 \csc (x)$ 은 항등식입니다