삼각법 예제

$\frac{\cot (x) - \tan (x)}{\sin (x) \cdot \cos (x)} = \csc^{2} (x) - \sec^{2} (x)$

단계 1

우변부터 시작합니다.

$\csc^{2} (x) - \sec^{2} (x)$

단계 2

사인과 코사인으로 바꿉니다.

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단계 2.1

삼각함수의 역수 관계를 $\csc (x)$ 에 적용합니다.

${(\frac{1}{\sin (x)})}^{2} - \sec^{2} (x)$

단계 2.2

삼각함수의 역수 관계를 $\sec (x)$ 에 적용합니다.

${(\frac{1}{\sin (x)})}^{2} - {(\frac{1}{\cos (x)})}^{2}$

단계 2.3

$\frac{1}{\sin (x)}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$\frac{1^{2}}{\sin^{2} (x)} - {(\frac{1}{\cos (x)})}^{2}$

단계 2.4

$\frac{1}{\cos (x)}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$\frac{1^{2}}{\sin^{2} (x)} - \frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)}$

단계 3

각 항을 간단히 합니다.

$\frac{1}{\sin^{2} (x)} - \frac{1}{\cos^{2} (x)}$

단계 4

분수를 뺍니다.

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단계 4.1

공통 분모를 가지는 분수로 $\frac{1}{\sin^{2} (x)}$ 을 표현하기 위해 $\frac{\cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{\sin^{2} (x)} \cdot \frac{\cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} - \frac{1}{\cos^{2} (x)}$

단계 4.2

공통 분모를 가지는 분수로 $- \frac{1}{\cos^{2} (x)}$ 을 표현하기 위해 $\frac{\sin^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{\sin^{2} (x)} \cdot \frac{\cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} - \frac{1}{\cos^{2} (x)} \cdot \frac{\sin^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

단계 4.3

각 수식에 적절한 인수 $1$ 을 곱하여 수식의 분모가 모두 $\sin^{2} (x) \cos^{2} (x)$ 이 되도록 식을 씁니다.

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단계 4.3.1

$\frac{1}{\sin^{2} (x)}$ 에 $\frac{\cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$ 을 곱합니다.

$\frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x) \cos^{2} (x)} - \frac{1}{\cos^{2} (x)} \cdot \frac{\sin^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

단계 4.3.2

$\frac{1}{\cos^{2} (x)}$ 에 $\frac{\sin^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$ 을 곱합니다.

$\frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x) \cos^{2} (x)} - \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x) \sin^{2} (x)}$

단계 4.3.3

$\sin^{2} (x) \cos^{2} (x)$ 인수를 다시 정렬합니다.

$\frac{\cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x) \sin^{2} (x)} - \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x) \sin^{2} (x)}$

단계 4.4

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x) \sin^{2} (x)}$

단계 5

두 항 모두 완전제곱식이므로, 제곱의 차 공식 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 을 이용하여 인수분해합니다. 이 때 $a = \cos (x)$ 이고 $b = \sin (x)$ 입니다.

$\frac{(\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x))}{\cos^{2} (x) \sin^{2} (x)}$

단계 6

$\frac{(\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x))}{\cos^{2} (x) \sin^{2} (x)}$ 을 $\frac{\cot (x) - \tan (x)}{\sin (x) \cdot \cos (x)}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{\cot (x) - \tan (x)}{\sin (x) \cdot \cos (x)}$

단계 7

양변이 동일함을 보였으므로, 이 방정식은 항등식입니다.

$\frac{\cot (x) - \tan (x)}{\sin (x) \cdot \cos (x)} = \csc^{2} (x) - \sec^{2} (x)$ 은 항등식입니다