삼각법 예제

$\csc^{4} (x) - \csc^{2} (x) = \cot^{4} (x) + \cot^{2} (x)$

단계 1

우변부터 시작합니다.

$\cot^{4} (x) + \cot^{2} (x)$

단계 2

$\cot^{4} (x) + \cot^{2} (x)$ 에서 $\cot^{2} (x)$ 를 인수분해합니다.

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단계 2.1

$\cot^{4} (x)$ 에서 $\cot^{2} (x)$ 를 인수분해합니다.

$\cot^{2} (x) \cot^{2} (x) + \cot^{2} (x)$

단계 2.2

$1$ 을 곱합니다.

$\cot^{2} (x) \cot^{2} (x) + \cot^{2} (x) \cdot 1$

단계 2.3

$\cot^{2} (x) \cot^{2} (x) + \cot^{2} (x) \cdot 1$ 에서 $\cot^{2} (x)$ 를 인수분해합니다.

$\cot^{2} (x) (\cot^{2} (x) + 1)$

단계 3

피타고라스의 정리를 적용합니다.

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단계 3.1

항을 다시 배열합니다.

$\cot^{2} (x) (1 + \cot^{2} (x))$

단계 3.2

피타고라스의 정리를 적용합니다.

$\cot^{2} (x) \csc^{2} (x)$

단계 4

피타고라스의 정리를 반대로 적용합니다.

$(\csc^{2} (x) - 1) \csc^{2} (x)$

단계 5

사인과 코사인으로 바꿉니다.

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단계 5.1

삼각함수의 역수 관계를 $\csc (x)$ 에 적용합니다.

$({(\frac{1}{\sin (x)})}^{2} - 1) \csc^{2} (x)$

단계 5.2

삼각함수의 역수 관계를 $\csc (x)$ 에 적용합니다.

$({(\frac{1}{\sin (x)})}^{2} - 1) {(\frac{1}{\sin (x)})}^{2}$

단계 5.3

$\frac{1}{\sin (x)}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$(\frac{1^{2}}{\sin^{2} (x)} - 1) {(\frac{1}{\sin (x)})}^{2}$

단계 5.4

$\frac{1}{\sin (x)}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$(\frac{1^{2}}{\sin^{2} (x)} - 1) \frac{1^{2}}{\sin^{2} (x)}$

단계 6

간단히 합니다.

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단계 6.1

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$(\frac{1^{2}}{{\sin (x)}^{2}} - 1) \frac{1}{{\sin (x)}^{2}}$

단계 6.2

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$(\frac{1}{{\sin (x)}^{2}} - 1) \frac{1}{{\sin (x)}^{2}}$

단계 6.3

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{1}{{\sin (x)}^{2}} \cdot \frac{1}{{\sin (x)}^{2}} - 1 \frac{1}{{\sin (x)}^{2}}$

단계 6.4

조합합니다.

$\frac{1 \cdot 1}{{\sin (x)}^{2} {\sin (x)}^{2}} - 1 \frac{1}{{\sin (x)}^{2}}$

단계 6.5

$- 1 \frac{1}{{\sin (x)}^{2}}$ 을 $- \frac{1}{{\sin (x)}^{2}}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{1 \cdot 1}{{\sin (x)}^{2} {\sin (x)}^{2}} - \frac{1}{{\sin (x)}^{2}}$

단계 6.6

$1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{{\sin (x)}^{2} {\sin (x)}^{2}} - \frac{1}{{\sin (x)}^{2}}$

단계 6.7

지수를 더하여 ${\sin (x)}^{2}$ 에 ${\sin (x)}^{2}$ 을 곱합니다.

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단계 6.7.1

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{1}{{\sin (x)}^{2 + 2}} - \frac{1}{{\sin (x)}^{2}}$

단계 6.7.2

$2$ 를 $2$ 에 더합니다.

$\frac{1}{{\sin (x)}^{4}} - \frac{1}{{\sin (x)}^{2}}$

단계 6.8

공통 분모를 가지는 분수로 $- \frac{1}{{\sin (x)}^{2}}$ 을 표현하기 위해 $\frac{{\sin (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{{\sin (x)}^{4}} - \frac{1}{{\sin (x)}^{2}} \cdot \frac{{\sin (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}}$

단계 6.9

각 수식에 적절한 인수 $1$ 을 곱하여 수식의 분모가 모두 ${\sin (x)}^{4}$ 이 되도록 식을 씁니다.

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단계 6.9.1

$\frac{1}{{\sin (x)}^{2}}$ 에 $\frac{{\sin (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{{\sin (x)}^{4}} - \frac{{\sin (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2} {\sin (x)}^{2}}$

단계 6.9.2

지수를 더하여 ${\sin (x)}^{2}$ 에 ${\sin (x)}^{2}$ 을 곱합니다.

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단계 6.9.2.1

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{1}{{\sin (x)}^{4}} - \frac{{\sin (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2 + 2}}$

단계 6.9.2.2

$2$ 를 $2$ 에 더합니다.

$\frac{1}{{\sin (x)}^{4}} - \frac{{\sin (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{4}}$

단계 6.10

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{1 - {\sin (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{4}}$

단계 6.11

분자를 간단히 합니다.

$\frac{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))}{\sin^{4} (x)}$

단계 7

$\frac{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))}{\sin^{4} (x)}$ 을 $\csc^{4} (x) - \csc^{2} (x)$ 로 바꿔 씁니다.

$\csc^{4} (x) - \csc^{2} (x)$

단계 8

양변이 동일함을 보였으므로, 이 방정식은 항등식입니다.

$\csc^{4} (x) - \csc^{2} (x) = \cot^{4} (x) + \cot^{2} (x)$ 은 항등식입니다