삼각법 예제

$\frac{\csc (x)}{1 + \csc (x)} - \frac{\csc (x)}{1 - \csc (x)} = 2 \sec^{2} (x)$

단계 1

좌변에서부터 시작합니다.

$\frac{\csc (x)}{1 + \csc (x)} - \frac{\csc (x)}{1 - \csc (x)}$

단계 2

분수를 뺍니다.

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단계 2.1

공통 분모를 가지는 분수로 $\frac{\csc (x)}{1 + \csc (x)}$ 을 표현하기 위해 $\frac{1 - \csc (x)}{1 - \csc (x)}$ 을 곱합니다.

$\frac{\csc (x)}{1 + \csc (x)} \cdot \frac{1 - \csc (x)}{1 - \csc (x)} - \frac{\csc (x)}{1 - \csc (x)}$

단계 2.2

공통 분모를 가지는 분수로 $- \frac{\csc (x)}{1 - \csc (x)}$ 을 표현하기 위해 $\frac{1 + \csc (x)}{1 + \csc (x)}$ 을 곱합니다.

$\frac{\csc (x)}{1 + \csc (x)} \cdot \frac{1 - \csc (x)}{1 - \csc (x)} - \frac{\csc (x)}{1 - \csc (x)} \cdot \frac{1 + \csc (x)}{1 + \csc (x)}$

단계 2.3

각 수식에 적절한 인수 $1$ 을 곱하여 수식의 분모가 모두 $(1 + \csc (x)) (1 - \csc (x))$ 이 되도록 식을 씁니다.

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단계 2.3.1

$\frac{\csc (x)}{1 + \csc (x)}$ 에 $\frac{1 - \csc (x)}{1 - \csc (x)}$ 을 곱합니다.

$\frac{\csc (x) (1 - \csc (x))}{(1 + \csc (x)) (1 - \csc (x))} - \frac{\csc (x)}{1 - \csc (x)} \cdot \frac{1 + \csc (x)}{1 + \csc (x)}$

단계 2.3.2

$\frac{\csc (x)}{1 - \csc (x)}$ 에 $\frac{1 + \csc (x)}{1 + \csc (x)}$ 을 곱합니다.

$\frac{\csc (x) (1 - \csc (x))}{(1 + \csc (x)) (1 - \csc (x))} - \frac{\csc (x) (1 + \csc (x))}{(1 - \csc (x)) (1 + \csc (x))}$

단계 2.3.3

$(1 - \csc (x)) (1 + \csc (x))$ 인수를 다시 정렬합니다.

$\frac{\csc (x) (1 - \csc (x))}{(1 + \csc (x)) (1 - \csc (x))} - \frac{\csc (x) (1 + \csc (x))}{(1 + \csc (x)) (1 - \csc (x))}$

단계 2.4

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{\csc (x) (1 - \csc (x)) - \csc (x) (1 + \csc (x))}{(1 + \csc (x)) (1 - \csc (x))}$

단계 3

분자를 간단히 합니다.

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단계 3.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 3.1.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{\csc (x) \cdot 1 + \csc (x) (- \csc (x)) - \csc (x) (1 + \csc (x))}{(1 + \csc (x)) (1 - \csc (x))}$

단계 3.1.2

$\csc (x)$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{\csc (x) + \csc (x) (- \csc (x)) - \csc (x) (1 + \csc (x))}{(1 + \csc (x)) (1 - \csc (x))}$

단계 3.1.3

$\csc (x) (- \csc (x))$ 을 곱합니다.

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단계 3.1.3.1

$\csc (x)$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{\csc (x) - ({\csc (x)}^{1} \csc (x)) - \csc (x) (1 + \csc (x))}{(1 + \csc (x)) (1 - \csc (x))}$

단계 3.1.3.2

$\csc (x)$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{\csc (x) - ({\csc (x)}^{1} {\csc (x)}^{1}) - \csc (x) (1 + \csc (x))}{(1 + \csc (x)) (1 - \csc (x))}$

단계 3.1.3.3

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{\csc (x) - {\csc (x)}^{1 + 1} - \csc (x) (1 + \csc (x))}{(1 + \csc (x)) (1 - \csc (x))}$

단계 3.1.3.4

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\frac{\csc (x) - {\csc (x)}^{2} - \csc (x) (1 + \csc (x))}{(1 + \csc (x)) (1 - \csc (x))}$

단계 3.1.4

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{\csc (x) - {\csc (x)}^{2} - \csc (x) \cdot 1 - \csc (x) \csc (x)}{(1 + \csc (x)) (1 - \csc (x))}$

단계 3.1.5

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{\csc (x) - {\csc (x)}^{2} - \csc (x) - \csc (x) \csc (x)}{(1 + \csc (x)) (1 - \csc (x))}$

단계 3.1.6

$- \csc (x) \csc (x)$ 을 곱합니다.

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단계 3.1.6.1

$\csc (x)$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{\csc (x) - {\csc (x)}^{2} - \csc (x) - ({\csc (x)}^{1} \csc (x))}{(1 + \csc (x)) (1 - \csc (x))}$

단계 3.1.6.2

$\csc (x)$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{\csc (x) - {\csc (x)}^{2} - \csc (x) - ({\csc (x)}^{1} {\csc (x)}^{1})}{(1 + \csc (x)) (1 - \csc (x))}$

단계 3.1.6.3

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{\csc (x) - {\csc (x)}^{2} - \csc (x) - {\csc (x)}^{1 + 1}}{(1 + \csc (x)) (1 - \csc (x))}$

단계 3.1.6.4

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\frac{\csc (x) - {\csc (x)}^{2} - \csc (x) - {\csc (x)}^{2}}{(1 + \csc (x)) (1 - \csc (x))}$

단계 3.2

$\csc (x)$ 에서 $\csc (x)$ 을 뺍니다.

$\frac{- {\csc (x)}^{2} + 0 - {\csc (x)}^{2}}{(1 + \csc (x)) (1 - \csc (x))}$

단계 3.3

$- {\csc (x)}^{2}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{- {\csc (x)}^{2} - {\csc (x)}^{2}}{(1 + \csc (x)) (1 - \csc (x))}$

단계 3.4

$- {\csc (x)}^{2}$ 에서 ${\csc (x)}^{2}$ 을 뺍니다.

$\frac{- 2 \csc^{2} (x)}{(1 + \csc (x)) (1 - \csc (x))}$

단계 4

분모를 간단히 합니다.

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단계 4.1

FOIL 계산법을 이용하여 $(1 + \csc (x)) (1 - \csc (x))$ 를 전개합니다.

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단계 4.1.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{- 2 \csc^{2} (x)}{1 (1 - \csc (x)) + \csc (x) (1 - \csc (x))}$

단계 4.1.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{- 2 \csc^{2} (x)}{1 \cdot 1 + 1 (- \csc (x)) + \csc (x) (1 - \csc (x))}$

단계 4.1.3

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{- 2 \csc^{2} (x)}{1 \cdot 1 + 1 (- \csc (x)) + \csc (x) \cdot 1 + \csc (x) (- \csc (x))}$

단계 4.2

동류항끼리 묶고 식을 간단히 합니다.

$\frac{- 2 \csc^{2} (x)}{1 - \csc^{2} (x)}$

단계 5

피타고라스의 정리를 적용합니다.

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단계 5.1

$1$ 와 $- \csc^{2} (x)$ 을 다시 정렬합니다.

$\frac{- 2 \csc^{2} (x)}{- \csc^{2} (x) + 1}$

단계 5.2

$- \csc^{2} (x)$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{- 2 \csc^{2} (x)}{- (\csc^{2} (x)) + 1}$

단계 5.3

$1$ 을 $- 1 (- 1)$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{- 2 \csc^{2} (x)}{- \csc^{2} (x) - 1 \cdot - 1}$

단계 5.4

$- \csc^{2} (x) - 1 \cdot - 1$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{- 2 \csc^{2} (x)}{- (\csc^{2} (x) - 1)}$

단계 5.5

피타고라스의 정리를 적용합니다.

$\frac{- 2 \csc^{2} (x)}{- \cot^{2} (x)}$

단계 6

사인과 코사인으로 바꿉니다.

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단계 6.1

삼각함수의 역수 관계를 $\csc (x)$ 에 적용합니다.

$\frac{- 2 {(\frac{1}{\sin (x)})}^{2}}{- \cot^{2} (x)}$

단계 6.2

삼각함수 항등식을 이용하여 $\cot (x)$ 를 사인과 코사인으로 표현합니다.

$\frac{- 2 {(\frac{1}{\sin (x)})}^{2}}{- {(\frac{\cos (x)}{\sin (x)})}^{2}}$

단계 6.3

$\frac{1}{\sin (x)}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$\frac{- 2 \frac{1^{2}}{\sin^{2} (x)}}{- {(\frac{\cos (x)}{\sin (x)})}^{2}}$

단계 6.4

$\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$\frac{- 2 \frac{1^{2}}{\sin^{2} (x)}}{- \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}}$

단계 7

간단히 합니다.

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단계 7.1

분자에 분모의 역수를 곱합니다.

$- 2 \frac{1^{2}}{{\sin (x)}^{2}} (- \frac{{\sin (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}})$

단계 7.2

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$- 2 \frac{1}{{\sin (x)}^{2}} (- \frac{{\sin (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}})$

단계 7.3

$- 2$ 와 $\frac{1}{{\sin (x)}^{2}}$ 을 묶습니다.

$\frac{- 2}{{\sin (x)}^{2}} (- \frac{{\sin (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}})$

단계 7.4

${\sin (x)}^{2}$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 7.4.1

$- \frac{{\sin (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}}$ 의 마이너스 부호를 분자로 이동합니다.

$\frac{- 2}{{\sin (x)}^{2}} \cdot \frac{- {\sin (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}}$

단계 7.4.2

$- {\sin (x)}^{2}$ 에서 ${\sin (x)}^{2}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{- 2}{{\sin (x)}^{2}} \cdot \frac{{\sin (x)}^{2} \cdot - 1}{{\cos (x)}^{2}}$

단계 7.4.3

공약수로 약분합니다.

$\frac{- 2}{{\sin (x)}^{2}} \cdot \frac{{\sin (x)}^{2} \cdot - 1}{{\cos (x)}^{2}}$

단계 7.4.4

수식을 다시 씁니다.

$- 2 \frac{- 1}{{\cos (x)}^{2}}$

단계 7.5

$- 2$ 와 $\frac{- 1}{{\cos (x)}^{2}}$ 을 묶습니다.

$\frac{- 2 \cdot - 1}{{\cos (x)}^{2}}$

단계 7.6

$- 2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{2}{\cos^{2} (x)}$

단계 8

$\frac{2}{\cos^{2} (x)}$ 을 $2 \sec^{2} (x)$ 로 바꿔 씁니다.

$2 \sec^{2} (x)$

단계 9

양변이 동일함을 보였으므로, 이 방정식은 항등식입니다.

$\frac{\csc (x)}{1 + \csc (x)} - \frac{\csc (x)}{1 - \csc (x)} = 2 \sec^{2} (x)$ 은 항등식입니다