삼각법 예제

$\frac{\cot (A)}{\csc (A) + 1} = \sec (A) - \tan (A)$

단계 1

좌변에서부터 시작합니다.

$\frac{\cot (A)}{\csc (A) + 1}$

단계 2

$\frac{\cot (A)}{\csc (A) + 1}$ 에 $\frac{- \csc (A) + 1}{- \csc (A) + 1}$ 을 곱합니다.

$\frac{\cot (A)}{\csc (A) + 1} \cdot \frac{- \csc (A) + 1}{- \csc (A) + 1}$

단계 3

조합합니다.

$\frac{\cot (A) (- \csc (A) + 1)}{(\csc (A) + 1) (- \csc (A) + 1)}$

단계 4

분자를 간단히 합니다.

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단계 4.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{\cot (A) (- \csc (A)) + \cot (A) \cdot 1}{(\csc (A) + 1) (- \csc (A) + 1)}$

단계 4.2

$\cot (A)$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{\cot (A) (- \csc (A)) + \cot (A)}{(\csc (A) + 1) (- \csc (A) + 1)}$

단계 4.3

$\cot (A) (- \csc (A)) + \cot (A)$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$\frac{- \cot (A) \csc (A) + \cot (A)}{(\csc (A) + 1) (- \csc (A) + 1)}$

단계 5

분모를 간단히 합니다.

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단계 5.1

FOIL 계산법을 이용하여 $(\csc (A) + 1) (- \csc (A) + 1)$ 를 전개합니다.

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단계 5.1.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{- \cot (A) \csc (A) + \cot (A)}{\csc (A) (- \csc (A) + 1) + 1 (- \csc (A) + 1)}$

단계 5.1.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{- \cot (A) \csc (A) + \cot (A)}{\csc (A) (- \csc (A)) + \csc (A) \cdot 1 + 1 (- \csc (A) + 1)}$

단계 5.1.3

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{- \cot (A) \csc (A) + \cot (A)}{\csc (A) (- \csc (A)) + \csc (A) \cdot 1 + 1 (- \csc (A)) + 1 \cdot 1}$

단계 5.2

동류항끼리 묶고 식을 간단히 합니다.

$\frac{- \cot (A) \csc (A) + \cot (A)}{- \csc^{2} (A) + 1}$

단계 6

피타고라스의 정리를 적용합니다.

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단계 6.1

$- \csc^{2} (A)$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{- \cot (A) \csc (A) + \cot (A)}{- (\csc^{2} (A)) + 1}$

단계 6.2

$1$ 을 $- 1 (- 1)$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{- \cot (A) \csc (A) + \cot (A)}{- \csc^{2} (A) - 1 \cdot - 1}$

단계 6.3

$- \csc^{2} (A) - 1 \cdot - 1$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{- \cot (A) \csc (A) + \cot (A)}{- (\csc^{2} (A) - 1)}$

단계 6.4

피타고라스의 정리를 적용합니다.

$\frac{- \cot (A) \csc (A) + \cot (A)}{- \cot^{2} (A)}$

단계 7

사인과 코사인으로 바꿉니다.

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단계 7.1

삼각함수 항등식을 이용하여 $\cot (A)$ 를 사인과 코사인으로 표현합니다.

$\frac{- \frac{\cos (A)}{\sin (A)} \csc (A) + \cot (A)}{- \cot^{2} (A)}$

단계 7.2

삼각함수의 역수 관계를 $\csc (A)$ 에 적용합니다.

$\frac{- \frac{\cos (A)}{\sin (A)} \cdot \frac{1}{\sin (A)} + \cot (A)}{- \cot^{2} (A)}$

단계 7.3

삼각함수 항등식을 이용하여 $\cot (A)$ 를 사인과 코사인으로 표현합니다.

$\frac{- \frac{\cos (A)}{\sin (A)} \cdot \frac{1}{\sin (A)} + \frac{\cos (A)}{\sin (A)}}{- \cot^{2} (A)}$

단계 7.4

삼각함수 항등식을 이용하여 $\cot (A)$ 를 사인과 코사인으로 표현합니다.

$\frac{- \frac{\cos (A)}{\sin (A)} \cdot \frac{1}{\sin (A)} + \frac{\cos (A)}{\sin (A)}}{- {(\frac{\cos (A)}{\sin (A)})}^{2}}$

단계 7.5

$\frac{\cos (A)}{\sin (A)}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$\frac{- \frac{\cos (A)}{\sin (A)} \cdot \frac{1}{\sin (A)} + \frac{\cos (A)}{\sin (A)}}{- \frac{\cos^{2} (A)}{\sin^{2} (A)}}$

단계 8

간단히 합니다.

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단계 8.1

분자에 분모의 역수를 곱합니다.

$(- \frac{\cos (A)}{\sin (A)} \cdot \frac{1}{\sin (A)} + \frac{\cos (A)}{\sin (A)}) (- \frac{{\sin (A)}^{2}}{{\cos (A)}^{2}})$

단계 8.2

$- \frac{\cos (A)}{\sin (A)} \cdot \frac{1}{\sin (A)}$ 을 곱합니다.

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단계 8.2.1

$\frac{1}{\sin (A)}$ 에 $\frac{\cos (A)}{\sin (A)}$ 을 곱합니다.

$(- \frac{\cos (A)}{\sin (A) \sin (A)} + \frac{\cos (A)}{\sin (A)}) (- \frac{{\sin (A)}^{2}}{{\cos (A)}^{2}})$

단계 8.2.2

$\sin (A)$ 를 $1$ 승 합니다.

$(- \frac{\cos (A)}{{\sin (A)}^{1} \sin (A)} + \frac{\cos (A)}{\sin (A)}) (- \frac{{\sin (A)}^{2}}{{\cos (A)}^{2}})$

단계 8.2.3

$\sin (A)$ 를 $1$ 승 합니다.

$(- \frac{\cos (A)}{{\sin (A)}^{1} {\sin (A)}^{1}} + \frac{\cos (A)}{\sin (A)}) (- \frac{{\sin (A)}^{2}}{{\cos (A)}^{2}})$

단계 8.2.4

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$(- \frac{\cos (A)}{{\sin (A)}^{1 + 1}} + \frac{\cos (A)}{\sin (A)}) (- \frac{{\sin (A)}^{2}}{{\cos (A)}^{2}})$

단계 8.2.5

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$(- \frac{\cos (A)}{{\sin (A)}^{2}} + \frac{\cos (A)}{\sin (A)}) (- \frac{{\sin (A)}^{2}}{{\cos (A)}^{2}})$

단계 8.3

공통 분모를 가지는 분수로 $\frac{\cos (A)}{\sin (A)}$ 을 표현하기 위해 $\frac{\sin (A)}{\sin (A)}$ 을 곱합니다.

$(- \frac{\cos (A)}{{\sin (A)}^{2}} + \frac{\cos (A)}{\sin (A)} \cdot \frac{\sin (A)}{\sin (A)}) (- \frac{{\sin (A)}^{2}}{{\cos (A)}^{2}})$

단계 8.4

각 수식에 적절한 인수 $1$ 을 곱하여 수식의 분모가 모두 ${\sin (A)}^{2}$ 이 되도록 식을 씁니다.

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단계 8.4.1

$\frac{\cos (A)}{\sin (A)}$ 에 $\frac{\sin (A)}{\sin (A)}$ 을 곱합니다.

$(- \frac{\cos (A)}{{\sin (A)}^{2}} + \frac{\cos (A) \sin (A)}{\sin (A) \sin (A)}) (- \frac{{\sin (A)}^{2}}{{\cos (A)}^{2}})$

단계 8.4.2

$\sin (A)$ 를 $1$ 승 합니다.

$(- \frac{\cos (A)}{{\sin (A)}^{2}} + \frac{\cos (A) \sin (A)}{{\sin (A)}^{1} \sin (A)}) (- \frac{{\sin (A)}^{2}}{{\cos (A)}^{2}})$

단계 8.4.3

$\sin (A)$ 를 $1$ 승 합니다.

$(- \frac{\cos (A)}{{\sin (A)}^{2}} + \frac{\cos (A) \sin (A)}{{\sin (A)}^{1} {\sin (A)}^{1}}) (- \frac{{\sin (A)}^{2}}{{\cos (A)}^{2}})$

단계 8.4.4

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$(- \frac{\cos (A)}{{\sin (A)}^{2}} + \frac{\cos (A) \sin (A)}{{\sin (A)}^{1 + 1}}) (- \frac{{\sin (A)}^{2}}{{\cos (A)}^{2}})$

단계 8.4.5

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$(- \frac{\cos (A)}{{\sin (A)}^{2}} + \frac{\cos (A) \sin (A)}{{\sin (A)}^{2}}) (- \frac{{\sin (A)}^{2}}{{\cos (A)}^{2}})$

단계 8.5

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{- \cos (A) + \cos (A) \sin (A)}{{\sin (A)}^{2}} (- \frac{{\sin (A)}^{2}}{{\cos (A)}^{2}})$

단계 8.6

$- \cos (A) + \cos (A) \sin (A)$ 에서 $\cos (A)$ 를 인수분해합니다.

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단계 8.6.1

$- \cos (A)$ 에서 $\cos (A)$ 를 인수분해합니다.

$\frac{\cos (A) \cdot - 1 + \cos (A) \sin (A)}{{\sin (A)}^{2}} (- \frac{{\sin (A)}^{2}}{{\cos (A)}^{2}})$

단계 8.6.2

$\cos (A) \sin (A)$ 에서 $\cos (A)$ 를 인수분해합니다.

$\frac{\cos (A) \cdot - 1 + \cos (A) (\sin (A))}{{\sin (A)}^{2}} (- \frac{{\sin (A)}^{2}}{{\cos (A)}^{2}})$

단계 8.6.3

$\cos (A) \cdot - 1 + \cos (A) (\sin (A))$ 에서 $\cos (A)$ 를 인수분해합니다.

$\frac{\cos (A) (- 1 + \sin (A))}{{\sin (A)}^{2}} (- \frac{{\sin (A)}^{2}}{{\cos (A)}^{2}})$

단계 8.7

$\cos (A)$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 8.7.1

$- \frac{{\sin (A)}^{2}}{{\cos (A)}^{2}}$ 의 마이너스 부호를 분자로 이동합니다.

$\frac{\cos (A) (- 1 + \sin (A))}{{\sin (A)}^{2}} \cdot \frac{- {\sin (A)}^{2}}{{\cos (A)}^{2}}$

단계 8.7.2

${\cos (A)}^{2}$ 에서 $\cos (A)$ 를 인수분해합니다.

$\frac{\cos (A) (- 1 + \sin (A))}{{\sin (A)}^{2}} \cdot \frac{- {\sin (A)}^{2}}{\cos (A) \cos (A)}$

단계 8.7.3

공약수로 약분합니다.

$\frac{\cos (A) (- 1 + \sin (A))}{{\sin (A)}^{2}} \cdot \frac{- {\sin (A)}^{2}}{\cos (A) \cos (A)}$

단계 8.7.4

수식을 다시 씁니다.

$\frac{- 1 + \sin (A)}{{\sin (A)}^{2}} \cdot \frac{- {\sin (A)}^{2}}{\cos (A)}$

단계 8.8

${\sin (A)}^{2}$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 8.8.1

$- {\sin (A)}^{2}$ 에서 ${\sin (A)}^{2}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{- 1 + \sin (A)}{{\sin (A)}^{2}} \cdot \frac{{\sin (A)}^{2} \cdot - 1}{\cos (A)}$

단계 8.8.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{- 1 + \sin (A)}{{\sin (A)}^{2}} \cdot \frac{{\sin (A)}^{2} \cdot - 1}{\cos (A)}$

단계 8.8.3

수식을 다시 씁니다.

$(- 1 + \sin (A)) \frac{- 1}{\cos (A)}$

단계 8.9

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$(- 1 + \sin (A)) (- \frac{1}{\cos (A)})$

단계 8.10

분배 법칙을 적용합니다.

$- 1 (- \frac{1}{\cos (A)}) + \sin (A) (- \frac{1}{\cos (A)})$

단계 8.11

$- 1 (- \frac{1}{\cos (A)})$ 을 곱합니다.

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단계 8.11.1

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$1 \frac{1}{\cos (A)} + \sin (A) (- \frac{1}{\cos (A)})$

단계 8.11.2

$\frac{1}{\cos (A)}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{\cos (A)} + \sin (A) (- \frac{1}{\cos (A)})$

단계 8.12

$\sin (A)$ 와 $\frac{1}{\cos (A)}$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{\cos (A)} - \frac{\sin (A)}{\cos (A)}$

단계 9

이제 방정식의 우변을 살펴봅니다.

$\sec (A) - \tan (A)$

단계 10

사인과 코사인으로 바꿉니다.

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단계 10.1

삼각함수의 역수 관계를 $\sec (A)$ 에 적용합니다.

$\frac{1}{\cos (A)} - \tan (A)$

단계 10.2

삼각함수 항등식을 이용하여 $\tan (A)$ 를 사인과 코사인으로 표현합니다.

$\frac{1}{\cos (A)} - \frac{\sin (A)}{\cos (A)}$

단계 11

양변이 동일함을 보였으므로, 이 방정식은 항등식입니다.

$\frac{\cot (A)}{\csc (A) + 1} = \sec (A) - \tan (A)$ 은 항등식입니다