삼각법 예제

$\tan^{4} (x) + 2 \tan^{2} (x) + 1 = \sec^{4} (x)$

단계 1

좌변에서부터 시작합니다.

$\tan^{4} (x) + 2 \tan^{2} (x) + 1$

단계 2

사인과 코사인으로 바꿉니다.

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단계 2.1

삼각함수 항등식을 이용하여 $\tan (x)$ 를 사인과 코사인으로 표현합니다.

${(\frac{\sin (x)}{\cos (x)})}^{4} + 2 \tan^{2} (x) + 1$

단계 2.2

삼각함수 항등식을 이용하여 $\tan (x)$ 를 사인과 코사인으로 표현합니다.

${(\frac{\sin (x)}{\cos (x)})}^{4} + 2 {(\frac{\sin (x)}{\cos (x)})}^{2} + 1$

단계 2.3

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$\frac{\sin^{4} (x)}{\cos^{4} (x)} + 2 {(\frac{\sin (x)}{\cos (x)})}^{2} + 1$

단계 2.4

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$\frac{\sin^{4} (x)}{\cos^{4} (x)} + 2 \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} + 1$

단계 3

간단히 합니다.

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단계 3.1

$2$ 와 $\frac{{\sin (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}}$ 을 묶습니다.

$\frac{{\sin (x)}^{4}}{{\cos (x)}^{4}} + \frac{2 {\sin (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}} + 1$

단계 3.2

공통 분모를 가지는 분수로 $\frac{2 {\sin (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}}$ 을 표현하기 위해 $\frac{{\cos (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}}$ 을 곱합니다.

$\frac{{\sin (x)}^{4}}{{\cos (x)}^{4}} + \frac{2 {\sin (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}} \cdot \frac{{\cos (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}} + 1$

단계 3.3

각 수식에 적절한 인수 $1$ 을 곱하여 수식의 분모가 모두 ${\cos (x)}^{4}$ 이 되도록 식을 씁니다.

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단계 3.3.1

$\frac{2 {\sin (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}}$ 에 $\frac{{\cos (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}}$ 을 곱합니다.

$\frac{{\sin (x)}^{4}}{{\cos (x)}^{4}} + \frac{2 {\sin (x)}^{2} {\cos (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2} {\cos (x)}^{2}} + 1$

단계 3.3.2

지수를 더하여 ${\cos (x)}^{2}$ 에 ${\cos (x)}^{2}$ 을 곱합니다.

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단계 3.3.2.1

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{{\sin (x)}^{4}}{{\cos (x)}^{4}} + \frac{2 {\sin (x)}^{2} {\cos (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2 + 2}} + 1$

단계 3.3.2.2

$2$ 를 $2$ 에 더합니다.

$\frac{{\sin (x)}^{4}}{{\cos (x)}^{4}} + \frac{2 {\sin (x)}^{2} {\cos (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{4}} + 1$

단계 3.4

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{{\sin (x)}^{4} + 2 {\sin (x)}^{2} {\cos (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{4}} + 1$

단계 3.5

${\sin (x)}^{4} + 2 {\sin (x)}^{2} {\cos (x)}^{2}$ 에서 ${\sin (x)}^{2}$ 를 인수분해합니다.

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단계 3.5.1

${\sin (x)}^{4}$ 에서 ${\sin (x)}^{2}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{{\sin (x)}^{2} {\sin (x)}^{2} + 2 {\sin (x)}^{2} {\cos (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{4}} + 1$

단계 3.5.2

$2 {\sin (x)}^{2} {\cos (x)}^{2}$ 에서 ${\sin (x)}^{2}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{{\sin (x)}^{2} {\sin (x)}^{2} + {\sin (x)}^{2} (2 {\cos (x)}^{2})}{{\cos (x)}^{4}} + 1$

단계 3.5.3

${\sin (x)}^{2} {\sin (x)}^{2} + {\sin (x)}^{2} (2 {\cos (x)}^{2})$ 에서 ${\sin (x)}^{2}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{{\sin (x)}^{2} ({\sin (x)}^{2} + 2 {\cos (x)}^{2})}{{\cos (x)}^{4}} + 1$

단계 3.6

$1$ 을(를) 공통분모가 있는 분수로 표현합니다.

$\frac{{\sin (x)}^{2} ({\sin (x)}^{2} + 2 {\cos (x)}^{2})}{{\cos (x)}^{4}} + \frac{{\cos (x)}^{4}}{{\cos (x)}^{4}}$

단계 3.7

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{{\sin (x)}^{2} ({\sin (x)}^{2} + 2 {\cos (x)}^{2}) + {\cos (x)}^{4}}{{\cos (x)}^{4}}$

단계 3.8

분자를 간단히 합니다.

$\frac{{(\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x))}^{2}}{\cos^{4} (x)}$

단계 4

피타고라스의 정리를 적용합니다.

$\frac{1^{2}}{\cos^{4} (x)}$

단계 5

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$\frac{1}{\cos^{4} (x)}$

단계 6

$\frac{1}{\cos^{4} (x)}$ 을 $\sec^{4} (x)$ 로 바꿔 씁니다.

$\sec^{4} (x)$

단계 7

양변이 동일함을 보였으므로, 이 방정식은 항등식입니다.

$\tan^{4} (x) + 2 \tan^{2} (x) + 1 = \sec^{4} (x)$ 은 항등식입니다