삼각법 예제

$\frac{\tan (a) - \tan (b)}{\cot (b) - \cot (a)} = \frac{\tan (b)}{\cot (a)}$

단계 1

좌변에서부터 시작합니다.

$\frac{\tan (a) - \tan (b)}{\cot (b) - \cot (a)}$

단계 2

사인과 코사인으로 바꿉니다.

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단계 2.1

삼각함수 항등식을 이용하여 $\tan (a)$ 를 사인과 코사인으로 표현합니다.

$\frac{\frac{\sin (a)}{\cos (a)} - \tan (b)}{\cot (b) - \cot (a)}$

단계 2.2

삼각함수 항등식을 이용하여 $\tan (b)$ 를 사인과 코사인으로 표현합니다.

$\frac{\frac{\sin (a)}{\cos (a)} - \frac{\sin (b)}{\cos (b)}}{\cot (b) - \cot (a)}$

단계 2.3

삼각함수 항등식을 이용하여 $\cot (b)$ 를 사인과 코사인으로 표현합니다.

$\frac{\frac{\sin (a)}{\cos (a)} - \frac{\sin (b)}{\cos (b)}}{\frac{\cos (b)}{\sin (b)} - \cot (a)}$

단계 2.4

삼각함수 항등식을 이용하여 $\cot (a)$ 를 사인과 코사인으로 표현합니다.

$\frac{\frac{\sin (a)}{\cos (a)} - \frac{\sin (b)}{\cos (b)}}{\frac{\cos (b)}{\sin (b)} - \frac{\cos (a)}{\sin (a)}}$

단계 3

간단히 합니다.

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단계 3.1

Multiply the numerator and denominator of the fraction by $\cos (a) \cos (b) \sin (b) \sin (a)$ .

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단계 3.1.1

$\frac{\frac{\sin (a)}{\cos (a)} - \frac{\sin (b)}{\cos (b)}}{\frac{\cos (b)}{\sin (b)} - \frac{\cos (a)}{\sin (a)}}$ 에 $\frac{\cos (a) \cos (b) \sin (b) \sin (a)}{\cos (a) \cos (b) \sin (b) \sin (a)}$ 을 곱합니다.

$\frac{\cos (a) \cos (b) \sin (b) \sin (a)}{\cos (a) \cos (b) \sin (b) \sin (a)} \cdot \frac{\frac{\sin (a)}{\cos (a)} - \frac{\sin (b)}{\cos (b)}}{\frac{\cos (b)}{\sin (b)} - \frac{\cos (a)}{\sin (a)}}$

단계 3.1.2

조합합니다.

$\frac{\cos (a) \cos (b) \sin (b) \sin (a) (\frac{\sin (a)}{\cos (a)} - \frac{\sin (b)}{\cos (b)})}{\cos (a) \cos (b) \sin (b) \sin (a) (\frac{\cos (b)}{\sin (b)} - \frac{\cos (a)}{\sin (a)})}$

단계 3.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{\cos (a) \cos (b) \sin (b) \sin (a) \frac{\sin (a)}{\cos (a)} + \cos (a) \cos (b) \sin (b) \sin (a) (- \frac{\sin (b)}{\cos (b)})}{\cos (a) \cos (b) \sin (b) \sin (a) \frac{\cos (b)}{\sin (b)} + \cos (a) \cos (b) \sin (b) \sin (a) (- \frac{\cos (a)}{\sin (a)})}$

단계 3.3

소거하고 식을 간단히 합니다.

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단계 3.3.1

$\cos (a)$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 3.3.1.1

$\cos (a) \cos (b) \sin (b) \sin (a)$ 에서 $\cos (a)$ 를 인수분해합니다.

$\frac{\cos (a) (\cos (b) \sin (b) \sin (a)) \frac{\sin (a)}{\cos (a)} + \cos (a) \cos (b) \sin (b) \sin (a) (- \frac{\sin (b)}{\cos (b)})}{\cos (a) \cos (b) \sin (b) \sin (a) \frac{\cos (b)}{\sin (b)} + \cos (a) \cos (b) \sin (b) \sin (a) (- \frac{\cos (a)}{\sin (a)})}$

단계 3.3.1.2

공약수로 약분합니다.

단계 3.3.1.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{\cos (b) \sin (b) \sin (a) \sin (a) + \cos (a) \cos (b) \sin (b) \sin (a) (- \frac{\sin (b)}{\cos (b)})}{\cos (a) \cos (b) \sin (b) \sin (a) \frac{\cos (b)}{\sin (b)} + \cos (a) \cos (b) \sin (b) \sin (a) (- \frac{\cos (a)}{\sin (a)})}$

단계 3.3.2

$\sin (a)$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{\cos (b) \sin (b) ({\sin (a)}^{1} \sin (a)) + \cos (a) \cos (b) \sin (b) \sin (a) (- \frac{\sin (b)}{\cos (b)})}{\cos (a) \cos (b) \sin (b) \sin (a) \frac{\cos (b)}{\sin (b)} + \cos (a) \cos (b) \sin (b) \sin (a) (- \frac{\cos (a)}{\sin (a)})}$

단계 3.3.3

$\sin (a)$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{\cos (b) \sin (b) ({\sin (a)}^{1} {\sin (a)}^{1}) + \cos (a) \cos (b) \sin (b) \sin (a) (- \frac{\sin (b)}{\cos (b)})}{\cos (a) \cos (b) \sin (b) \sin (a) \frac{\cos (b)}{\sin (b)} + \cos (a) \cos (b) \sin (b) \sin (a) (- \frac{\cos (a)}{\sin (a)})}$

단계 3.3.4

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{\cos (b) \sin (b) {\sin (a)}^{1 + 1} + \cos (a) \cos (b) \sin (b) \sin (a) (- \frac{\sin (b)}{\cos (b)})}{\cos (a) \cos (b) \sin (b) \sin (a) \frac{\cos (b)}{\sin (b)} + \cos (a) \cos (b) \sin (b) \sin (a) (- \frac{\cos (a)}{\sin (a)})}$

단계 3.3.5

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\frac{\cos (b) \sin (b) {\sin (a)}^{2} + \cos (a) \cos (b) \sin (b) \sin (a) (- \frac{\sin (b)}{\cos (b)})}{\cos (a) \cos (b) \sin (b) \sin (a) \frac{\cos (b)}{\sin (b)} + \cos (a) \cos (b) \sin (b) \sin (a) (- \frac{\cos (a)}{\sin (a)})}$

단계 3.3.6

$\cos (b)$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 3.3.6.1

$- \frac{\sin (b)}{\cos (b)}$ 의 마이너스 부호를 분자로 이동합니다.

$\frac{\cos (b) \sin (b) {\sin (a)}^{2} + \cos (a) \cos (b) \sin (b) \sin (a) \frac{- \sin (b)}{\cos (b)}}{\cos (a) \cos (b) \sin (b) \sin (a) \frac{\cos (b)}{\sin (b)} + \cos (a) \cos (b) \sin (b) \sin (a) (- \frac{\cos (a)}{\sin (a)})}$

단계 3.3.6.2

$\cos (a) \cos (b) \sin (b) \sin (a)$ 에서 $\cos (b)$ 를 인수분해합니다.

$\frac{\cos (b) \sin (b) {\sin (a)}^{2} + \cos (b) (\cos (a) \sin (b) \sin (a)) \frac{- \sin (b)}{\cos (b)}}{\cos (a) \cos (b) \sin (b) \sin (a) \frac{\cos (b)}{\sin (b)} + \cos (a) \cos (b) \sin (b) \sin (a) (- \frac{\cos (a)}{\sin (a)})}$

단계 3.3.6.3

공약수로 약분합니다.

단계 3.3.6.4

수식을 다시 씁니다.

$\frac{\cos (b) \sin (b) {\sin (a)}^{2} + \cos (a) \sin (b) \sin (a) (- \sin (b))}{\cos (a) \cos (b) \sin (b) \sin (a) \frac{\cos (b)}{\sin (b)} + \cos (a) \cos (b) \sin (b) \sin (a) (- \frac{\cos (a)}{\sin (a)})}$

단계 3.3.7

$\sin (b)$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{\cos (b) \sin (b) {\sin (a)}^{2} + \cos (a) \sin (a) (- ({\sin (b)}^{1} \sin (b)))}{\cos (a) \cos (b) \sin (b) \sin (a) \frac{\cos (b)}{\sin (b)} + \cos (a) \cos (b) \sin (b) \sin (a) (- \frac{\cos (a)}{\sin (a)})}$

단계 3.3.8

$\sin (b)$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{\cos (b) \sin (b) {\sin (a)}^{2} + \cos (a) \sin (a) (- ({\sin (b)}^{1} {\sin (b)}^{1}))}{\cos (a) \cos (b) \sin (b) \sin (a) \frac{\cos (b)}{\sin (b)} + \cos (a) \cos (b) \sin (b) \sin (a) (- \frac{\cos (a)}{\sin (a)})}$

단계 3.3.9

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{\cos (b) \sin (b) {\sin (a)}^{2} + \cos (a) \sin (a) (- {\sin (b)}^{1 + 1})}{\cos (a) \cos (b) \sin (b) \sin (a) \frac{\cos (b)}{\sin (b)} + \cos (a) \cos (b) \sin (b) \sin (a) (- \frac{\cos (a)}{\sin (a)})}$

단계 3.3.10

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\frac{\cos (b) \sin (b) {\sin (a)}^{2} + \cos (a) \sin (a) (- {\sin (b)}^{2})}{\cos (a) \cos (b) \sin (b) \sin (a) \frac{\cos (b)}{\sin (b)} + \cos (a) \cos (b) \sin (b) \sin (a) (- \frac{\cos (a)}{\sin (a)})}$

단계 3.3.11

$\sin (b)$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 3.3.11.1

$\cos (a) \cos (b) \sin (b) \sin (a)$ 에서 $\sin (b)$ 를 인수분해합니다.

$\frac{\cos (b) \sin (b) {\sin (a)}^{2} + \cos (a) \sin (a) (- {\sin (b)}^{2})}{\sin (b) (\cos (a) \cos (b) \sin (a)) \frac{\cos (b)}{\sin (b)} + \cos (a) \cos (b) \sin (b) \sin (a) (- \frac{\cos (a)}{\sin (a)})}$

단계 3.3.11.2

공약수로 약분합니다.

단계 3.3.11.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{\cos (b) \sin (b) {\sin (a)}^{2} + \cos (a) \sin (a) (- {\sin (b)}^{2})}{\cos (a) \cos (b) \sin (a) \cos (b) + \cos (a) \cos (b) \sin (b) \sin (a) (- \frac{\cos (a)}{\sin (a)})}$

단계 3.3.12

$\cos (b)$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{\cos (b) \sin (b) {\sin (a)}^{2} + \cos (a) \sin (a) (- {\sin (b)}^{2})}{\cos (a) ({\cos (b)}^{1} \cos (b)) \sin (a) + \cos (a) \cos (b) \sin (b) \sin (a) (- \frac{\cos (a)}{\sin (a)})}$

단계 3.3.13

$\cos (b)$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{\cos (b) \sin (b) {\sin (a)}^{2} + \cos (a) \sin (a) (- {\sin (b)}^{2})}{\cos (a) ({\cos (b)}^{1} {\cos (b)}^{1}) \sin (a) + \cos (a) \cos (b) \sin (b) \sin (a) (- \frac{\cos (a)}{\sin (a)})}$

단계 3.3.14

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{\cos (b) \sin (b) {\sin (a)}^{2} + \cos (a) \sin (a) (- {\sin (b)}^{2})}{\cos (a) {\cos (b)}^{1 + 1} \sin (a) + \cos (a) \cos (b) \sin (b) \sin (a) (- \frac{\cos (a)}{\sin (a)})}$

단계 3.3.15

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\frac{\cos (b) \sin (b) {\sin (a)}^{2} + \cos (a) \sin (a) (- {\sin (b)}^{2})}{\cos (a) {\cos (b)}^{2} \sin (a) + \cos (a) \cos (b) \sin (b) \sin (a) (- \frac{\cos (a)}{\sin (a)})}$

단계 3.3.16

$\sin (a)$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 3.3.16.1

$- \frac{\cos (a)}{\sin (a)}$ 의 마이너스 부호를 분자로 이동합니다.

$\frac{\cos (b) \sin (b) {\sin (a)}^{2} + \cos (a) \sin (a) (- {\sin (b)}^{2})}{\cos (a) {\cos (b)}^{2} \sin (a) + \cos (a) \cos (b) \sin (b) \sin (a) \frac{- \cos (a)}{\sin (a)}}$

단계 3.3.16.2

$\cos (a) \cos (b) \sin (b) \sin (a)$ 에서 $\sin (a)$ 를 인수분해합니다.

$\frac{\cos (b) \sin (b) {\sin (a)}^{2} + \cos (a) \sin (a) (- {\sin (b)}^{2})}{\cos (a) {\cos (b)}^{2} \sin (a) + \sin (a) (\cos (a) \cos (b) \sin (b)) \frac{- \cos (a)}{\sin (a)}}$

단계 3.3.16.3

공약수로 약분합니다.

$\frac{\cos (b) \sin (b) {\sin (a)}^{2} + \cos (a) \sin (a) (- {\sin (b)}^{2})}{\cos (a) {\cos (b)}^{2} \sin (a) + \sin (a) (\cos (a) \cos (b) \sin (b)) \frac{- \cos (a)}{\sin (a)}}$

단계 3.3.16.4

수식을 다시 씁니다.

$\frac{\cos (b) \sin (b) {\sin (a)}^{2} + \cos (a) \sin (a) (- {\sin (b)}^{2})}{\cos (a) {\cos (b)}^{2} \sin (a) + \cos (a) \cos (b) \sin (b) (- \cos (a))}$

단계 3.3.17

$\cos (a)$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{\cos (b) \sin (b) {\sin (a)}^{2} + \cos (a) \sin (a) (- {\sin (b)}^{2})}{\cos (a) {\cos (b)}^{2} \sin (a) + \cos (b) \sin (b) (- ({\cos (a)}^{1} \cos (a)))}$

단계 3.3.18

$\cos (a)$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{\cos (b) \sin (b) {\sin (a)}^{2} + \cos (a) \sin (a) (- {\sin (b)}^{2})}{\cos (a) {\cos (b)}^{2} \sin (a) + \cos (b) \sin (b) (- ({\cos (a)}^{1} {\cos (a)}^{1}))}$

단계 3.3.19

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{\cos (b) \sin (b) {\sin (a)}^{2} + \cos (a) \sin (a) (- {\sin (b)}^{2})}{\cos (a) {\cos (b)}^{2} \sin (a) + \cos (b) \sin (b) (- {\cos (a)}^{1 + 1})}$

단계 3.3.20

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\frac{\cos (b) \sin (b) {\sin (a)}^{2} + \cos (a) \sin (a) (- {\sin (b)}^{2})}{\cos (a) {\cos (b)}^{2} \sin (a) + \cos (b) \sin (b) (- {\cos (a)}^{2})}$

단계 3.4

$\cos (b) \sin (b) {\sin (a)}^{2} + \cos (a) \sin (a) (- {\sin (b)}^{2})$ 에서 $\sin (b) \sin (a)$ 를 인수분해합니다.

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단계 3.4.1

$\cos (b) \sin (b) {\sin (a)}^{2}$ 에서 $\sin (b) \sin (a)$ 를 인수분해합니다.

$\frac{\sin (b) \sin (a) (\cos (b) \sin (a)) + \cos (a) \sin (a) (- {\sin (b)}^{2})}{\cos (a) {\cos (b)}^{2} \sin (a) + \cos (b) \sin (b) (- {\cos (a)}^{2})}$

단계 3.4.2

$\cos (a) \sin (a) (- {\sin (b)}^{2})$ 에서 $\sin (b) \sin (a)$ 를 인수분해합니다.

$\frac{\sin (b) \sin (a) (\cos (b) \sin (a)) + \sin (b) \sin (a) (\cos (a) (- \sin (b)))}{\cos (a) {\cos (b)}^{2} \sin (a) + \cos (b) \sin (b) (- {\cos (a)}^{2})}$

단계 3.4.3

$\sin (b) \sin (a) (\cos (b) \sin (a)) + \sin (b) \sin (a) (\cos (a) (- \sin (b)))$ 에서 $\sin (b) \sin (a)$ 를 인수분해합니다.

$\frac{\sin (b) \sin (a) (\cos (b) \sin (a) + \cos (a) (- \sin (b)))}{\cos (a) {\cos (b)}^{2} \sin (a) + \cos (b) \sin (b) (- {\cos (a)}^{2})}$

단계 3.5

$\cos (a) {\cos (b)}^{2} \sin (a) + \cos (b) \sin (b) (- {\cos (a)}^{2})$ 에서 $\cos (a) \cos (b)$ 를 인수분해합니다.

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단계 3.5.1

$\cos (a) {\cos (b)}^{2} \sin (a)$ 에서 $\cos (a) \cos (b)$ 를 인수분해합니다.

$\frac{\sin (b) \sin (a) (\cos (b) \sin (a) + \cos (a) (- \sin (b)))}{\cos (a) \cos (b) (\cos (b) \sin (a)) + \cos (b) \sin (b) (- {\cos (a)}^{2})}$

단계 3.5.2

$\cos (b) \sin (b) (- {\cos (a)}^{2})$ 에서 $\cos (a) \cos (b)$ 를 인수분해합니다.

$\frac{\sin (b) \sin (a) (\cos (b) \sin (a) + \cos (a) (- \sin (b)))}{\cos (a) \cos (b) (\cos (b) \sin (a)) + \cos (a) \cos (b) (\sin (b) (- \cos (a)))}$

단계 3.5.3

$\cos (a) \cos (b) (\cos (b) \sin (a)) + \cos (a) \cos (b) (\sin (b) (- \cos (a)))$ 에서 $\cos (a) \cos (b)$ 를 인수분해합니다.

$\frac{\sin (b) \sin (a) (\cos (b) \sin (a) + \cos (a) (- \sin (b)))}{\cos (a) \cos (b) (\cos (b) \sin (a) + \sin (b) (- \cos (a)))}$

단계 3.6

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{\sin (b) \sin (a) (\cos (b) \sin (a) - 1 \cdot \cos (a) \sin (b))}{\cos (a) \cos (b) (\cos (b) \sin (a) - 1 \cdot \sin (b) \cos (a))}$

단계 3.7

$\cos (b) \sin (a) - 1 \cdot \cos (a) \sin (b)$ 및 $\cos (b) \sin (a) - 1 \cdot \sin (b) \cos (a)$ 의 공약수로 약분합니다.

$\frac{\sin (b) \sin (a)}{\cos (a) \cos (b)}$

단계 4

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{\sin (a) \sin (b)}{\cos (a) \cos (b)}$

단계 5

$\frac{\sin (a) \sin (b)}{\cos (a) \cos (b)}$ 을 $\frac{\tan (b)}{\cot (a)}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{\tan (b)}{\cot (a)}$

단계 6

양변이 동일함을 보였으므로, 이 방정식은 항등식입니다.

$\frac{\tan (a) - \tan (b)}{\cot (b) - \cot (a)} = \frac{\tan (b)}{\cot (a)}$ 은 항등식입니다