삼각법 예제

$\frac{2 \tan (\frac{5 π}{6})}{1 - \tan^{2} (\frac{5 π}{6})}$

단계 1

분자를 간단히 합니다.

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단계 1.1

제1사분면에서 동일한 삼각값을 갖는 각도를 찾아 기준 각도를 적용합니다. 제2사분면에서 탄젠트가 음수이므로 수식에 마이너스 부호를 붙입니다.

$\frac{2 (- \tan (\frac{π}{6}))}{1 - \tan^{2} (\frac{5 π}{6})}$

단계 1.2

$\tan (\frac{π}{6})$ 의 정확한 값은 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ 입니다.

$\frac{2 \cdot - 1 \frac{\sqrt{3}}{3}}{1 - \tan^{2} (\frac{5 π}{6})}$

단계 1.3

지수를 묶습니다.

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단계 1.3.1

마이너스 부호를 앞으로 보냅니다.

$\frac{- (2 \frac{\sqrt{3}}{3})}{1 - \tan^{2} (\frac{5 π}{6})}$

단계 1.3.2

$2$ 와 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ 을 묶습니다.

$\frac{- \frac{2 \sqrt{3}}{3}}{1 - \tan^{2} (\frac{5 π}{6})}$

단계 2

분모를 간단히 합니다.

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단계 2.1

$1$ 을 $1^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{- \frac{2 \sqrt{3}}{3}}{1^{2} - \tan^{2} (\frac{5 π}{6})}$

단계 2.2

두 항 모두 완전제곱식이므로, 제곱의 차 공식 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 을 이용하여 인수분해합니다. 이 때 $a = 1$ 이고 $b = \tan (\frac{5 π}{6})$ 입니다.

$\frac{- \frac{2 \sqrt{3}}{3}}{(1 + \tan (\frac{5 π}{6})) (1 - \tan (\frac{5 π}{6}))}$

단계 2.3

간단히 합니다.

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단계 2.3.1

제1사분면에서 동일한 삼각값을 갖는 각도를 찾아 기준 각도를 적용합니다. 제2사분면에서 탄젠트가 음수이므로 수식에 마이너스 부호를 붙입니다.

$\frac{- \frac{2 \sqrt{3}}{3}}{(1 - \tan (\frac{π}{6})) (1 - \tan (\frac{5 π}{6}))}$

단계 2.3.2

$\tan (\frac{π}{6})$ 의 정확한 값은 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ 입니다.

$\frac{- \frac{2 \sqrt{3}}{3}}{(1 - \frac{\sqrt{3}}{3}) (1 - \tan (\frac{5 π}{6}))}$

단계 2.3.3

제1사분면에서 동일한 삼각값을 갖는 각도를 찾아 기준 각도를 적용합니다. 제2사분면에서 탄젠트가 음수이므로 수식에 마이너스 부호를 붙입니다.

$\frac{- \frac{2 \sqrt{3}}{3}}{(1 - \frac{\sqrt{3}}{3}) (1 - - \tan (\frac{π}{6}))}$

단계 2.3.4

$\tan (\frac{π}{6})$ 의 정확한 값은 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ 입니다.

$\frac{- \frac{2 \sqrt{3}}{3}}{(1 - \frac{\sqrt{3}}{3}) (1 - - \frac{\sqrt{3}}{3})}$

단계 2.3.5

$- - \frac{\sqrt{3}}{3}$ 을 곱합니다.

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단계 2.3.5.1

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{- \frac{2 \sqrt{3}}{3}}{(1 - \frac{\sqrt{3}}{3}) (1 + 1 \frac{\sqrt{3}}{3})}$

단계 2.3.5.2

$\frac{\sqrt{3}}{3}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{- \frac{2 \sqrt{3}}{3}}{(1 - \frac{\sqrt{3}}{3}) (1 + \frac{\sqrt{3}}{3})}$

단계 2.4

$1$ 을(를) 공통분모가 있는 분수로 표현합니다.

$\frac{- \frac{2 \sqrt{3}}{3}}{(\frac{3}{3} - \frac{\sqrt{3}}{3}) (1 + \frac{\sqrt{3}}{3})}$

단계 2.5

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{- \frac{2 \sqrt{3}}{3}}{\frac{3 - \sqrt{3}}{3} (1 + \frac{\sqrt{3}}{3})}$

단계 2.6

$1$ 을(를) 공통분모가 있는 분수로 표현합니다.

$\frac{- \frac{2 \sqrt{3}}{3}}{\frac{3 - \sqrt{3}}{3} (\frac{3}{3} + \frac{\sqrt{3}}{3})}$

단계 2.7

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{- \frac{2 \sqrt{3}}{3}}{\frac{3 - \sqrt{3}}{3} \cdot \frac{3 + \sqrt{3}}{3}}$

단계 3

$\frac{3 - \sqrt{3}}{3}$ 에 $\frac{3 + \sqrt{3}}{3}$ 을 곱합니다.

$\frac{- \frac{2 \sqrt{3}}{3}}{\frac{(3 - \sqrt{3}) (3 + \sqrt{3})}{3 \cdot 3}}$

단계 4

분자를 간단히 합니다.

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단계 4.1

FOIL 계산법을 이용하여 $(3 - \sqrt{3}) (3 + \sqrt{3})$ 를 전개합니다.

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단계 4.1.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{- \frac{2 \sqrt{3}}{3}}{\frac{3 (3 + \sqrt{3}) - \sqrt{3} (3 + \sqrt{3})}{3 \cdot 3}}$

단계 4.1.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{- \frac{2 \sqrt{3}}{3}}{\frac{3 \cdot 3 + 3 \sqrt{3} - \sqrt{3} (3 + \sqrt{3})}{3 \cdot 3}}$

단계 4.1.3

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{- \frac{2 \sqrt{3}}{3}}{\frac{3 \cdot 3 + 3 \sqrt{3} - \sqrt{3} \cdot 3 - \sqrt{3} \sqrt{3}}{3 \cdot 3}}$

단계 4.2

동류항끼리 묶고 식을 간단히 합니다.

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단계 4.2.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 4.2.1.1

$3$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$\frac{- \frac{2 \sqrt{3}}{3}}{\frac{9 + 3 \sqrt{3} - \sqrt{3} \cdot 3 - \sqrt{3} \sqrt{3}}{3 \cdot 3}}$

단계 4.2.1.2

$3$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{- \frac{2 \sqrt{3}}{3}}{\frac{9 + 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} - \sqrt{3} \sqrt{3}}{3 \cdot 3}}$

단계 4.2.1.3

$- \sqrt{3} \sqrt{3}$ 을 곱합니다.

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단계 4.2.1.3.1

$\sqrt{3}$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{- \frac{2 \sqrt{3}}{3}}{\frac{9 + 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} - ({\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3})}{3 \cdot 3}}$

단계 4.2.1.3.2

$\sqrt{3}$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{- \frac{2 \sqrt{3}}{3}}{\frac{9 + 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} - ({\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1})}{3 \cdot 3}}$

단계 4.2.1.3.3

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{- \frac{2 \sqrt{3}}{3}}{\frac{9 + 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} - {\sqrt{3}}^{1 + 1}}{3 \cdot 3}}$

단계 4.2.1.3.4

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\frac{- \frac{2 \sqrt{3}}{3}}{\frac{9 + 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} - {\sqrt{3}}^{2}}{3 \cdot 3}}$

단계 4.2.1.4

${\sqrt{3}}^{2}$ 을 $3$ 로 바꿔 씁니다.

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단계 4.2.1.4.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{3}$ 을(를) $3^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$\frac{- \frac{2 \sqrt{3}}{3}}{\frac{9 + 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} - {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{3 \cdot 3}}$

단계 4.2.1.4.2

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$\frac{- \frac{2 \sqrt{3}}{3}}{\frac{9 + 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} - 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{3 \cdot 3}}$

단계 4.2.1.4.3

$\frac{1}{2}$ 와 $2$ 을 묶습니다.

$\frac{- \frac{2 \sqrt{3}}{3}}{\frac{9 + 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} - 3^{\frac{2}{2}}}{3 \cdot 3}}$

단계 4.2.1.4.4

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 4.2.1.4.4.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{- \frac{2 \sqrt{3}}{3}}{\frac{9 + 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} - 3^{\frac{2}{2}}}{3 \cdot 3}}$

단계 4.2.1.4.4.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{- \frac{2 \sqrt{3}}{3}}{\frac{9 + 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} - 3^{1}}{3 \cdot 3}}$

단계 4.2.1.4.5

지수값을 계산합니다.

$\frac{- \frac{2 \sqrt{3}}{3}}{\frac{9 + 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} - 1 \cdot 3}{3 \cdot 3}}$

단계 4.2.1.5

$- 1$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$\frac{- \frac{2 \sqrt{3}}{3}}{\frac{9 + 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} - 3}{3 \cdot 3}}$

단계 4.2.2

$9$ 에서 $3$ 을 뺍니다.

$\frac{- \frac{2 \sqrt{3}}{3}}{\frac{6 + 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3}}{3 \cdot 3}}$

단계 4.2.3

$3 \sqrt{3}$ 에서 $3 \sqrt{3}$ 을 뺍니다.

$\frac{- \frac{2 \sqrt{3}}{3}}{\frac{6 + 0}{3 \cdot 3}}$

단계 4.2.4

$6$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{- \frac{2 \sqrt{3}}{3}}{\frac{6}{3 \cdot 3}}$

단계 5

공약수를 소거하여 수식을 간단히 정리합니다.

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단계 5.1

$3$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$\frac{- \frac{2 \sqrt{3}}{3}}{\frac{6}{9}}$

단계 5.2

$6$ 및 $9$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 5.2.1

$6$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$\frac{- \frac{2 \sqrt{3}}{3}}{\frac{3 (2)}{9}}$

단계 5.2.2

공약수로 약분합니다.

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단계 5.2.2.1

$9$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$\frac{- \frac{2 \sqrt{3}}{3}}{\frac{3 \cdot 2}{3 \cdot 3}}$

단계 5.2.2.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{- \frac{2 \sqrt{3}}{3}}{\frac{3 \cdot 2}{3 \cdot 3}}$

단계 5.2.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{- \frac{2 \sqrt{3}}{3}}{\frac{2}{3}}$

단계 6

분자에 분모의 역수를 곱합니다.

$- \frac{2 \sqrt{3}}{3} \cdot \frac{3}{2}$

단계 7

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 7.1

$- \frac{2 \sqrt{3}}{3}$ 의 마이너스 부호를 분자로 이동합니다.

$\frac{- 2 \sqrt{3}}{3} \cdot \frac{3}{2}$

단계 7.2

$- 2 \sqrt{3}$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 (- \sqrt{3})}{3} \cdot \frac{3}{2}$

단계 7.3

공약수로 약분합니다.

$\frac{2 (- \sqrt{3})}{3} \cdot \frac{3}{2}$

단계 7.4

수식을 다시 씁니다.

$\frac{- \sqrt{3}}{3} \cdot 3$

단계 8

$3$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 8.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{- \sqrt{3}}{3} \cdot 3$

단계 8.2

수식을 다시 씁니다.

$- \sqrt{3}$

단계 9

결과값은 다양한 형태로 나타낼 수 있습니다.

완전 형식:

$- \sqrt{3}$

소수 형태:

$- 1.73205080 \dots$