삼각법 예제

$\csc (x) - \cot (x) = \frac{1}{\csc (x) + \cot (x)}$

단계 1

우변부터 시작합니다.

$\frac{1}{\csc (x) + \cot (x)}$

단계 2

사인과 코사인으로 바꿉니다.

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단계 2.1

삼각함수의 역수 관계를 $\csc (x)$ 에 적용합니다.

$\frac{1}{\frac{1}{\sin (x)} + \cot (x)}$

단계 2.2

삼각함수 항등식을 이용하여 $\cot (x)$ 를 사인과 코사인으로 표현합니다.

$\frac{1}{\frac{1}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)}}$

단계 3

$\frac{1}{\frac{1}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)}}$ 에 $\frac{\frac{1}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)}}{\frac{1}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)}}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{\frac{1}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)}} \cdot \frac{\frac{1}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)}}{\frac{1}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)}}$

단계 4

조합합니다.

$\frac{1 (\frac{1}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)})}{(\frac{1}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)}) (\frac{1}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)})}$

단계 5

$\frac{1}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{\frac{1}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)}}{(\frac{1}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)}) (\frac{1}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)})}$

단계 6

분모를 간단히 합니다.

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단계 6.1

FOIL 계산법을 이용하여 $(\frac{1}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)}) (\frac{1}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)})$ 를 전개합니다.

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단계 6.1.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{\frac{1}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)}}{\frac{1}{\sin (x)} (\frac{1}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)}) + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} (\frac{1}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)})}$

단계 6.1.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{\frac{1}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)}}{\frac{1}{\sin (x)} \cdot \frac{1}{\sin (x)} + \frac{1}{\sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} (\frac{1}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)})}$

단계 6.1.3

분배 법칙을 적용합니다.

단계 6.2

동류항끼리 묶고 식을 간단히 합니다.

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단계 6.2.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 6.2.1.1

$\frac{1}{\sin (x)} \cdot \frac{1}{\sin (x)}$ 을 곱합니다.

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단계 6.2.1.1.1

$\frac{1}{\sin (x)}$ 에 $\frac{1}{\sin (x)}$ 을 곱합니다.

$\frac{\frac{1}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)}}{\frac{1}{\sin (x) \sin (x)} + \frac{1}{\sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{1}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)}}$

단계 6.2.1.1.2

$\sin (x)$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{\frac{1}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)}}{\frac{1}{{\sin (x)}^{1} \sin (x)} + \frac{1}{\sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{1}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)}}$

단계 6.2.1.1.3

$\sin (x)$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{\frac{1}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)}}{\frac{1}{{\sin (x)}^{1} {\sin (x)}^{1}} + \frac{1}{\sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{1}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)}}$

단계 6.2.1.1.4

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{\frac{1}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)}}{\frac{1}{{\sin (x)}^{1 + 1}} + \frac{1}{\sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{1}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)}}$

단계 6.2.1.1.5

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\frac{\frac{1}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)}}{\frac{1}{{\sin (x)}^{2}} + \frac{1}{\sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{1}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)}}$

단계 6.2.1.2

$\frac{1}{\sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ 을 곱합니다.

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단계 6.2.1.2.1

$\frac{1}{\sin (x)}$ 에 $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ 을 곱합니다.

$\frac{\frac{1}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)}}{\frac{1}{{\sin (x)}^{2}} + \frac{\cos (x)}{\sin (x) \sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{1}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)}}$

단계 6.2.1.2.2

$\sin (x)$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{\frac{1}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)}}{\frac{1}{{\sin (x)}^{2}} + \frac{\cos (x)}{{\sin (x)}^{1} \sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{1}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)}}$

단계 6.2.1.2.3

$\sin (x)$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{\frac{1}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)}}{\frac{1}{{\sin (x)}^{2}} + \frac{\cos (x)}{{\sin (x)}^{1} {\sin (x)}^{1}} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{1}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)}}$

단계 6.2.1.2.4

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{\frac{1}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)}}{\frac{1}{{\sin (x)}^{2}} + \frac{\cos (x)}{{\sin (x)}^{1 + 1}} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{1}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)}}$

단계 6.2.1.2.5

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\frac{\frac{1}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)}}{\frac{1}{{\sin (x)}^{2}} + \frac{\cos (x)}{{\sin (x)}^{2}} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{1}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)}}$

단계 6.2.1.3

$\frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{1}{\sin (x)}$ 을 곱합니다.

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단계 6.2.1.3.1

$\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ 에 $\frac{1}{\sin (x)}$ 을 곱합니다.

$\frac{\frac{1}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)}}{\frac{1}{{\sin (x)}^{2}} + \frac{\cos (x)}{{\sin (x)}^{2}} + \frac{\cos (x)}{\sin (x) \sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)}}$

단계 6.2.1.3.2

$\sin (x)$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{\frac{1}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)}}{\frac{1}{{\sin (x)}^{2}} + \frac{\cos (x)}{{\sin (x)}^{2}} + \frac{\cos (x)}{{\sin (x)}^{1} \sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)}}$

단계 6.2.1.3.3

$\sin (x)$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{\frac{1}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)}}{\frac{1}{{\sin (x)}^{2}} + \frac{\cos (x)}{{\sin (x)}^{2}} + \frac{\cos (x)}{{\sin (x)}^{1} {\sin (x)}^{1}} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)}}$

단계 6.2.1.3.4

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{\frac{1}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)}}{\frac{1}{{\sin (x)}^{2}} + \frac{\cos (x)}{{\sin (x)}^{2}} + \frac{\cos (x)}{{\sin (x)}^{1 + 1}} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)}}$

단계 6.2.1.3.5

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\frac{\frac{1}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)}}{\frac{1}{{\sin (x)}^{2}} + \frac{\cos (x)}{{\sin (x)}^{2}} + \frac{\cos (x)}{{\sin (x)}^{2}} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)}}$

단계 6.2.1.4

$\frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ 을 곱합니다.

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단계 6.2.1.4.1

$\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ 에 $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ 을 곱합니다.

$\frac{\frac{1}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)}}{\frac{1}{{\sin (x)}^{2}} + \frac{\cos (x)}{{\sin (x)}^{2}} + \frac{\cos (x)}{{\sin (x)}^{2}} + \frac{\cos (x) \cos (x)}{\sin (x) \sin (x)}}$

단계 6.2.1.4.2

$\cos (x)$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{\frac{1}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)}}{\frac{1}{{\sin (x)}^{2}} + \frac{\cos (x)}{{\sin (x)}^{2}} + \frac{\cos (x)}{{\sin (x)}^{2}} + \frac{{\cos (x)}^{1} \cos (x)}{\sin (x) \sin (x)}}$

단계 6.2.1.4.3

$\cos (x)$ 를 $1$ 승 합니다.

단계 6.2.1.4.4

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{\frac{1}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)}}{\frac{1}{{\sin (x)}^{2}} + \frac{\cos (x)}{{\sin (x)}^{2}} + \frac{\cos (x)}{{\sin (x)}^{2}} + \frac{{\cos (x)}^{1 + 1}}{\sin (x) \sin (x)}}$

단계 6.2.1.4.5

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\frac{\frac{1}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)}}{\frac{1}{{\sin (x)}^{2}} + \frac{\cos (x)}{{\sin (x)}^{2}} + \frac{\cos (x)}{{\sin (x)}^{2}} + \frac{{\cos (x)}^{2}}{\sin (x) \sin (x)}}$

단계 6.2.1.4.6

$\sin (x)$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{\frac{1}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)}}{\frac{1}{{\sin (x)}^{2}} + \frac{\cos (x)}{{\sin (x)}^{2}} + \frac{\cos (x)}{{\sin (x)}^{2}} + \frac{{\cos (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{1} \sin (x)}}$

단계 6.2.1.4.7

$\sin (x)$ 를 $1$ 승 합니다.

단계 6.2.1.4.8

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{\frac{1}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)}}{\frac{1}{{\sin (x)}^{2}} + \frac{\cos (x)}{{\sin (x)}^{2}} + \frac{\cos (x)}{{\sin (x)}^{2}} + \frac{{\cos (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{1 + 1}}}$

단계 6.2.1.4.9

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\frac{\frac{1}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)}}{\frac{1}{{\sin (x)}^{2}} + \frac{\cos (x)}{{\sin (x)}^{2}} + \frac{\cos (x)}{{\sin (x)}^{2}} + \frac{{\cos (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}}}$

단계 6.2.2

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{\frac{1}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)}}{\frac{1}{{\sin (x)}^{2}} + \frac{\cos (x) + \cos (x)}{{\sin (x)}^{2}} + \frac{{\cos (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}}}$

단계 6.3

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{\frac{1}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)}}{\frac{1 + \cos (x) + \cos (x) + {\cos (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}}}$

단계 6.4

$\cos (x)$ 를 $\cos (x)$ 에 더합니다.

$\frac{\frac{1}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)}}{\frac{1 + 2 \cos (x) + {\cos (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}}}$

단계 6.5

완전제곱 법칙을 이용하여 인수분해합니다.

$\frac{\frac{1}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)}}{\frac{{(1 + \cos (x))}^{2}}{\sin^{2} (x)}}$

단계 7

피타고라스의 정리를 반대로 적용합니다.

$\frac{\frac{1}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)}}{\frac{{(1 + \cos (x))}^{2}}{1 - \cos^{2} (x)}}$

단계 8

간단히 합니다.

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단계 8.1

분자에 분모의 역수를 곱합니다.

$(\frac{1}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)}) \frac{1 - {\cos (x)}^{2}}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

단계 8.2

분자를 간단히 합니다.

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단계 8.2.1

$1$ 을 $1^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$(\frac{1}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)}) \frac{1^{2} - {\cos (x)}^{2}}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

단계 8.2.2

두 항 모두 완전제곱식이므로, 제곱의 차 공식 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 을 이용하여 인수분해합니다. 이 때 $a = 1$ 이고 $b = \cos (x)$ 입니다.

$(\frac{1}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)}) \frac{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

단계 8.3

공약수로 약분합니다.

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단계 8.3.1

${(1 + \cos (x))}^{2}$ 에서 $1 + \cos (x)$ 를 인수분해합니다.

$(\frac{1}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)}) \frac{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}{(1 + \cos (x)) (1 + \cos (x))}$

단계 8.3.2

공약수로 약분합니다.

$(\frac{1}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)}) \frac{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}{(1 + \cos (x)) (1 + \cos (x))}$

단계 8.3.3

수식을 다시 씁니다.

$(\frac{1}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)}) \frac{1 - \cos (x)}{1 + \cos (x)}$

단계 8.4

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{1}{\sin (x)} \cdot \frac{1 - \cos (x)}{1 + \cos (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{1 - \cos (x)}{1 + \cos (x)}$

단계 8.5

$\frac{1}{\sin (x)}$ 에 $\frac{1 - \cos (x)}{1 + \cos (x)}$ 을 곱합니다.

$\frac{1 - \cos (x)}{\sin (x) (1 + \cos (x))} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{1 - \cos (x)}{1 + \cos (x)}$

단계 8.6

$\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ 에 $\frac{1 - \cos (x)}{1 + \cos (x)}$ 을 곱합니다.

$\frac{1 - \cos (x)}{\sin (x) (1 + \cos (x))} + \frac{\cos (x) (1 - \cos (x))}{\sin (x) (1 + \cos (x))}$

단계 8.7

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{1 - \cos (x) + \cos (x) (1 - \cos (x))}{(1 + \cos (x)) \sin (x)}$

단계 8.8

각 항을 간단히 합니다.

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단계 8.8.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{1 - \cos (x) + \cos (x) \cdot 1 + \cos (x) (- \cos (x))}{(1 + \cos (x)) \sin (x)}$

단계 8.8.2

$\cos (x)$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{1 - \cos (x) + \cos (x) + \cos (x) (- \cos (x))}{(1 + \cos (x)) \sin (x)}$

단계 8.8.3

$\cos (x) (- \cos (x))$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.8.3.1

$\cos (x)$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{1 - \cos (x) + \cos (x) - ({\cos (x)}^{1} \cos (x))}{(1 + \cos (x)) \sin (x)}$

단계 8.8.3.2

$\cos (x)$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{1 - \cos (x) + \cos (x) - ({\cos (x)}^{1} {\cos (x)}^{1})}{(1 + \cos (x)) \sin (x)}$

단계 8.8.3.3

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{1 - \cos (x) + \cos (x) - {\cos (x)}^{1 + 1}}{(1 + \cos (x)) \sin (x)}$

단계 8.8.3.4

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\frac{1 - \cos (x) + \cos (x) - {\cos (x)}^{2}}{(1 + \cos (x)) \sin (x)}$

단계 8.9

$- \cos (x)$ 를 $\cos (x)$ 에 더합니다.

$\frac{1 + 0 - {\cos (x)}^{2}}{(1 + \cos (x)) \sin (x)}$

단계 8.10

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{1 - {\cos (x)}^{2}}{(1 + \cos (x)) \sin (x)}$

단계 8.11

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.11.1

$1$ 을 $1^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{1^{2} - {\cos (x)}^{2}}{(1 + \cos (x)) \sin (x)}$

단계 8.11.2

두 항 모두 완전제곱식이므로, 제곱의 차 공식 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 을 이용하여 인수분해합니다. 이 때 $a = 1$ 이고 $b = \cos (x)$ 입니다.

$\frac{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}{(1 + \cos (x)) \sin (x)}$

단계 8.12

$1 + \cos (x)$ 의 공약수로 약분합니다.

$\frac{1 - \cos (x)}{\sin (x)}$

단계 9

이제 방정식의 좌변을 살펴 봅니다.

$\csc (x) - \cot (x)$

단계 10

사인과 코사인으로 바꿉니다.

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단계 10.1

삼각함수의 역수 관계를 $\csc (x)$ 에 적용합니다.

$\frac{1}{\sin (x)} - \cot (x)$

단계 10.2

삼각함수 항등식을 이용하여 $\cot (x)$ 를 사인과 코사인으로 표현합니다.

$\frac{1}{\sin (x)} - \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

단계 11

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{1 - \cos (x)}{\sin (x)}$

단계 12

양변이 동일함을 보였으므로, 이 방정식은 항등식입니다.

$\csc (x) - \cot (x) = \frac{1}{\csc (x) + \cot (x)}$ 은 항등식입니다