삼각법 예제

$\tan (x) - \cot (x) = \frac{\sin^{2} (x) - \cos^{2} (x)}{\sin (x) \cos (x)}$

단계 1

우변부터 시작합니다.

$\frac{\sin^{2} (x) - \cos^{2} (x)}{\sin (x) \cos (x)}$

단계 2

두 항 모두 완전제곱식이므로, 제곱의 차 공식 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 을 이용하여 인수분해합니다. 이 때 $a = \sin (x)$ 이고 $b = \cos (x)$ 입니다.

$\frac{(\sin (x) + \cos (x)) (\sin (x) - \cos (x))}{\sin (x) \cos (x)}$

단계 3

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{(\sin (x) + \cos (x)) (\sin (x) - \cos (x))}{\cos (x) \sin (x)}$

단계 4

이제 방정식의 좌변을 살펴 봅니다.

$\tan (x) - \cot (x)$

단계 5

사인과 코사인으로 바꿉니다.

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단계 5.1

삼각함수 항등식을 이용하여 $\tan (x)$ 를 사인과 코사인으로 표현합니다.

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} - \cot (x)$

단계 5.2

삼각함수 항등식을 이용하여 $\cot (x)$ 를 사인과 코사인으로 표현합니다.

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} - \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

단계 6

분수를 뺍니다.

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단계 6.1

공통 분모를 가지는 분수로 $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ 을 표현하기 위해 $\frac{\sin (x)}{\sin (x)}$ 을 곱합니다.

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\sin (x)} - \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

단계 6.2

공통 분모를 가지는 분수로 $- \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ 을 표현하기 위해 $\frac{\cos (x)}{\cos (x)}$ 을 곱합니다.

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\sin (x)} - \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\cos (x)}$

단계 6.3

각 수식에 적절한 인수 $1$ 을 곱하여 수식의 분모가 모두 $\cos (x) \sin (x)$ 이 되도록 식을 씁니다.

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단계 6.3.1

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ 에 $\frac{\sin (x)}{\sin (x)}$ 을 곱합니다.

$\frac{\sin (x) \sin (x)}{\cos (x) \sin (x)} - \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\cos (x)}$

단계 6.3.2

$\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ 에 $\frac{\cos (x)}{\cos (x)}$ 을 곱합니다.

$\frac{\sin (x) \sin (x)}{\cos (x) \sin (x)} - \frac{\cos (x) \cos (x)}{\sin (x) \cos (x)}$

단계 6.3.3

$\sin (x) \cos (x)$ 인수를 다시 정렬합니다.

$\frac{\sin (x) \sin (x)}{\cos (x) \sin (x)} - \frac{\cos (x) \cos (x)}{\cos (x) \sin (x)}$

단계 6.4

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{\sin (x) \sin (x) - \cos (x) \cos (x)}{\cos (x) \sin (x)}$

단계 7

각 항을 간단히 합니다.

$\frac{\sin^{2} (x) - \cos^{2} (x)}{\cos (x) \sin (x)}$

단계 8

두 항 모두 완전제곱식이므로, 제곱의 차 공식 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 을 이용하여 인수분해합니다. 이 때 $a = \sin (x)$ 이고 $b = \cos (x)$ 입니다.

$\frac{(\sin (x) + \cos (x)) (\sin (x) - \cos (x))}{\cos (x) \sin (x)}$

단계 9

양변이 동일함을 보였으므로, 이 방정식은 항등식입니다.

$\tan (x) - \cot (x) = \frac{\sin^{2} (x) - \cos^{2} (x)}{\sin (x) \cos (x)}$ 은 항등식입니다