삼각법 예제

$\sin (\arctan (2 x) - \arccos (x))$

단계 1

삼각함수의 차의 공식을 이용합니다.

$\sin (\arctan (2 x)) \cos (\arccos (x)) - \cos (\arctan (2 x)) \sin (\arccos (x))$

단계 2

항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.1

평면에 $(1, 2 x)$ , $(1, 0)$ , 원점을 꼭짓점으로 하는 삼각형을 그립니다. 그러면 $\arctan (2 x)$ 는 양의 x축과 원점에서 시작해서 $(1, 2 x)$ 를 지나는 선 사이의 각이 됩니다. 따라서 $\sin (\arctan (2 x))$ 는 $\frac{2 x}{\sqrt{1 + {(2 x)}^{2}}}$ 입니다.

$\frac{2 x}{\sqrt{1 + {(2 x)}^{2}}} \cos (\arccos (x)) - \cos (\arctan (2 x)) \sin (\arccos (x))$

단계 2.1.2

분모를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.2.1

$2 x$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$\frac{2 x}{\sqrt{1 + 2^{2} x^{2}}} \cos (\arccos (x)) - \cos (\arctan (2 x)) \sin (\arccos (x))$

단계 2.1.2.2

$2$ 를 $2$ 승 합니다.

$\frac{2 x}{\sqrt{1 + 4 x^{2}}} \cos (\arccos (x)) - \cos (\arctan (2 x)) \sin (\arccos (x))$

단계 2.1.3

$\frac{2 x}{\sqrt{1 + 4 x^{2}}}$ 에 $\frac{\sqrt{1 + 4 x^{2}}}{\sqrt{1 + 4 x^{2}}}$ 을 곱합니다.

$\frac{2 x}{\sqrt{1 + 4 x^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{1 + 4 x^{2}}}{\sqrt{1 + 4 x^{2}}} \cos (\arccos (x)) - \cos (\arctan (2 x)) \sin (\arccos (x))$

단계 2.1.4

분모를 결합하고 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.4.1

$\frac{2 x}{\sqrt{1 + 4 x^{2}}}$ 에 $\frac{\sqrt{1 + 4 x^{2}}}{\sqrt{1 + 4 x^{2}}}$ 을 곱합니다.

$\frac{2 x \sqrt{1 + 4 x^{2}}}{\sqrt{1 + 4 x^{2}} \sqrt{1 + 4 x^{2}}} \cos (\arccos (x)) - \cos (\arctan (2 x)) \sin (\arccos (x))$

단계 2.1.4.2

$\sqrt{1 + 4 x^{2}}$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{2 x \sqrt{1 + 4 x^{2}}}{{\sqrt{1 + 4 x^{2}}}^{1} \sqrt{1 + 4 x^{2}}} \cos (\arccos (x)) - \cos (\arctan (2 x)) \sin (\arccos (x))$

단계 2.1.4.3

$\sqrt{1 + 4 x^{2}}$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{2 x \sqrt{1 + 4 x^{2}}}{{\sqrt{1 + 4 x^{2}}}^{1} {\sqrt{1 + 4 x^{2}}}^{1}} \cos (\arccos (x)) - \cos (\arctan (2 x)) \sin (\arccos (x))$

단계 2.1.4.4

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{2 x \sqrt{1 + 4 x^{2}}}{{\sqrt{1 + 4 x^{2}}}^{1 + 1}} \cos (\arccos (x)) - \cos (\arctan (2 x)) \sin (\arccos (x))$

단계 2.1.4.5

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\frac{2 x \sqrt{1 + 4 x^{2}}}{{\sqrt{1 + 4 x^{2}}}^{2}} \cos (\arccos (x)) - \cos (\arctan (2 x)) \sin (\arccos (x))$

단계 2.1.4.6

${\sqrt{1 + 4 x^{2}}}^{2}$ 을 $1 + 4 x^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.4.6.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{1 + 4 x^{2}}$ 을(를) ${(1 + 4 x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$\frac{2 x \sqrt{1 + 4 x^{2}}}{{({(1 + 4 x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} \cos (\arccos (x)) - \cos (\arctan (2 x)) \sin (\arccos (x))$

단계 2.1.4.6.2

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$\frac{2 x \sqrt{1 + 4 x^{2}}}{{(1 + 4 x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}} \cos (\arccos (x)) - \cos (\arctan (2 x)) \sin (\arccos (x))$

단계 2.1.4.6.3

$\frac{1}{2}$ 와 $2$ 을 묶습니다.

$\frac{2 x \sqrt{1 + 4 x^{2}}}{{(1 + 4 x^{2})}^{\frac{2}{2}}} \cos (\arccos (x)) - \cos (\arctan (2 x)) \sin (\arccos (x))$

단계 2.1.4.6.4

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.4.6.4.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{2 x \sqrt{1 + 4 x^{2}}}{{(1 + 4 x^{2})}^{\frac{2}{2}}} \cos (\arccos (x)) - \cos (\arctan (2 x)) \sin (\arccos (x))$

단계 2.1.4.6.4.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{2 x \sqrt{1 + 4 x^{2}}}{{(1 + 4 x^{2})}^{1}} \cos (\arccos (x)) - \cos (\arctan (2 x)) \sin (\arccos (x))$

단계 2.1.4.6.5

간단히 합니다.

$\frac{2 x \sqrt{1 + 4 x^{2}}}{1 + 4 x^{2}} \cos (\arccos (x)) - \cos (\arctan (2 x)) \sin (\arccos (x))$

단계 2.1.5

함수 코사인과 아크코사인은 역함수입니다.

$\frac{2 x \sqrt{1 + 4 x^{2}}}{1 + 4 x^{2}} x - \cos (\arctan (2 x)) \sin (\arccos (x))$

단계 2.1.6

$\frac{2 x \sqrt{1 + 4 x^{2}}}{1 + 4 x^{2}} x$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.6.1

$\frac{2 x \sqrt{1 + 4 x^{2}}}{1 + 4 x^{2}}$ 와 $x$ 을 묶습니다.

$\frac{2 x \sqrt{1 + 4 x^{2}} x}{1 + 4 x^{2}} - \cos (\arctan (2 x)) \sin (\arccos (x))$

단계 2.1.6.2

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{2 (x^{1} x) \sqrt{1 + 4 x^{2}}}{1 + 4 x^{2}} - \cos (\arctan (2 x)) \sin (\arccos (x))$

단계 2.1.6.3

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{2 (x^{1} x^{1}) \sqrt{1 + 4 x^{2}}}{1 + 4 x^{2}} - \cos (\arctan (2 x)) \sin (\arccos (x))$

단계 2.1.6.4

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{2 x^{1 + 1} \sqrt{1 + 4 x^{2}}}{1 + 4 x^{2}} - \cos (\arctan (2 x)) \sin (\arccos (x))$

단계 2.1.6.5

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\frac{2 x^{2} \sqrt{1 + 4 x^{2}}}{1 + 4 x^{2}} - \cos (\arctan (2 x)) \sin (\arccos (x))$

단계 2.1.7

평면에 $(1, 2 x)$ , $(1, 0)$ , 원점을 꼭짓점으로 하는 삼각형을 그립니다. 그러면 $\arctan (2 x)$ 는 양의 x축과 원점에서 시작해서 $(1, 2 x)$ 를 지나는 선 사이의 각이 됩니다. 따라서 $\cos (\arctan (2 x))$ 는 $\frac{1}{\sqrt{1 + {(2 x)}^{2}}}$ 입니다.

$\frac{2 x^{2} \sqrt{1 + 4 x^{2}}}{1 + 4 x^{2}} - \frac{1}{\sqrt{1 + {(2 x)}^{2}}} \sin (\arccos (x))$

단계 2.1.8

분모를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.8.1

$2 x$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$\frac{2 x^{2} \sqrt{1 + 4 x^{2}}}{1 + 4 x^{2}} - \frac{1}{\sqrt{1 + 2^{2} x^{2}}} \sin (\arccos (x))$

단계 2.1.8.2

$2$ 를 $2$ 승 합니다.

$\frac{2 x^{2} \sqrt{1 + 4 x^{2}}}{1 + 4 x^{2}} - \frac{1}{\sqrt{1 + 4 x^{2}}} \sin (\arccos (x))$

단계 2.1.9

$\frac{1}{\sqrt{1 + 4 x^{2}}}$ 에 $\frac{\sqrt{1 + 4 x^{2}}}{\sqrt{1 + 4 x^{2}}}$ 을 곱합니다.

$\frac{2 x^{2} \sqrt{1 + 4 x^{2}}}{1 + 4 x^{2}} - (\frac{1}{\sqrt{1 + 4 x^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{1 + 4 x^{2}}}{\sqrt{1 + 4 x^{2}}}) \sin (\arccos (x))$

단계 2.1.10

분모를 결합하고 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.10.1

$\frac{1}{\sqrt{1 + 4 x^{2}}}$ 에 $\frac{\sqrt{1 + 4 x^{2}}}{\sqrt{1 + 4 x^{2}}}$ 을 곱합니다.

$\frac{2 x^{2} \sqrt{1 + 4 x^{2}}}{1 + 4 x^{2}} - \frac{\sqrt{1 + 4 x^{2}}}{\sqrt{1 + 4 x^{2}} \sqrt{1 + 4 x^{2}}} \sin (\arccos (x))$

단계 2.1.10.2

$\sqrt{1 + 4 x^{2}}$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{2 x^{2} \sqrt{1 + 4 x^{2}}}{1 + 4 x^{2}} - \frac{\sqrt{1 + 4 x^{2}}}{{\sqrt{1 + 4 x^{2}}}^{1} \sqrt{1 + 4 x^{2}}} \sin (\arccos (x))$

단계 2.1.10.3

$\sqrt{1 + 4 x^{2}}$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{2 x^{2} \sqrt{1 + 4 x^{2}}}{1 + 4 x^{2}} - \frac{\sqrt{1 + 4 x^{2}}}{{\sqrt{1 + 4 x^{2}}}^{1} {\sqrt{1 + 4 x^{2}}}^{1}} \sin (\arccos (x))$

단계 2.1.10.4

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{2 x^{2} \sqrt{1 + 4 x^{2}}}{1 + 4 x^{2}} - \frac{\sqrt{1 + 4 x^{2}}}{{\sqrt{1 + 4 x^{2}}}^{1 + 1}} \sin (\arccos (x))$

단계 2.1.10.5

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\frac{2 x^{2} \sqrt{1 + 4 x^{2}}}{1 + 4 x^{2}} - \frac{\sqrt{1 + 4 x^{2}}}{{\sqrt{1 + 4 x^{2}}}^{2}} \sin (\arccos (x))$

단계 2.1.10.6

${\sqrt{1 + 4 x^{2}}}^{2}$ 을 $1 + 4 x^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.10.6.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{1 + 4 x^{2}}$ 을(를) ${(1 + 4 x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$\frac{2 x^{2} \sqrt{1 + 4 x^{2}}}{1 + 4 x^{2}} - \frac{\sqrt{1 + 4 x^{2}}}{{({(1 + 4 x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} \sin (\arccos (x))$

단계 2.1.10.6.2

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$\frac{2 x^{2} \sqrt{1 + 4 x^{2}}}{1 + 4 x^{2}} - \frac{\sqrt{1 + 4 x^{2}}}{{(1 + 4 x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}} \sin (\arccos (x))$

단계 2.1.10.6.3

$\frac{1}{2}$ 와 $2$ 을 묶습니다.

$\frac{2 x^{2} \sqrt{1 + 4 x^{2}}}{1 + 4 x^{2}} - \frac{\sqrt{1 + 4 x^{2}}}{{(1 + 4 x^{2})}^{\frac{2}{2}}} \sin (\arccos (x))$

단계 2.1.10.6.4

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.10.6.4.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{2 x^{2} \sqrt{1 + 4 x^{2}}}{1 + 4 x^{2}} - \frac{\sqrt{1 + 4 x^{2}}}{{(1 + 4 x^{2})}^{\frac{2}{2}}} \sin (\arccos (x))$

단계 2.1.10.6.4.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{2 x^{2} \sqrt{1 + 4 x^{2}}}{1 + 4 x^{2}} - \frac{\sqrt{1 + 4 x^{2}}}{{(1 + 4 x^{2})}^{1}} \sin (\arccos (x))$

단계 2.1.10.6.5

간단히 합니다.

$\frac{2 x^{2} \sqrt{1 + 4 x^{2}}}{1 + 4 x^{2}} - \frac{\sqrt{1 + 4 x^{2}}}{1 + 4 x^{2}} \sin (\arccos (x))$

단계 2.1.11

평면에 $(x, \sqrt{1^{2} - x^{2}})$ , $(x, 0)$ , 원점을 꼭짓점으로 하는 삼각형을 그립니다. 그러면 $\arccos (x)$ 는 양의 x축과 원점에서 시작해서 $(x, \sqrt{1^{2} - x^{2}})$ 를 지나는 선 사이의 각이 됩니다. 따라서 $\sin (\arccos (x))$ 는 $\sqrt{1 - x^{2}}$ 입니다.

$\frac{2 x^{2} \sqrt{1 + 4 x^{2}}}{1 + 4 x^{2}} - \frac{\sqrt{1 + 4 x^{2}}}{1 + 4 x^{2}} \sqrt{1 - x^{2}}$

단계 2.1.12

$1$ 을 $1^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{2 x^{2} \sqrt{1 + 4 x^{2}}}{1 + 4 x^{2}} - \frac{\sqrt{1 + 4 x^{2}}}{1 + 4 x^{2}} \sqrt{1^{2} - x^{2}}$

단계 2.1.13

두 항 모두 완전제곱식이므로, 제곱의 차 공식 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 을 이용하여 인수분해합니다. 이 때 $a = 1$ 이고 $b = x$ 입니다.

$\frac{2 x^{2} \sqrt{1 + 4 x^{2}}}{1 + 4 x^{2}} - \frac{\sqrt{1 + 4 x^{2}}}{1 + 4 x^{2}} \sqrt{(1 + x) (1 - x)}$

단계 2.1.14

$- \frac{\sqrt{1 + 4 x^{2}}}{1 + 4 x^{2}} \sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.14.1

$\sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ 와 $\frac{\sqrt{1 + 4 x^{2}}}{1 + 4 x^{2}}$ 을 묶습니다.

$\frac{2 x^{2} \sqrt{1 + 4 x^{2}}}{1 + 4 x^{2}} - \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)} \sqrt{1 + 4 x^{2}}}{1 + 4 x^{2}}$

단계 2.1.14.2

근호의 곱의 미분 법칙을 사용하여 묶습니다.

$\frac{2 x^{2} \sqrt{1 + 4 x^{2}}}{1 + 4 x^{2}} - \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x) (1 + 4 x^{2})}}{1 + 4 x^{2}}$

단계 2.2

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{2 x^{2} \sqrt{1 + 4 x^{2}} - \sqrt{(1 + x) (1 - x) (1 + 4 x^{2})}}{1 + 4 x^{2}}$