삼각법 예제

$\sqrt{3} \cdot \cos^{2} (x) - 2 \sin (x) = 0$

단계 1

항등식 $\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) = 1$ 를 사용하여 $\cos^{2} (x)$ 를 $1 - \sin^{2} (x)$ 로 바꿉니다.

$\sqrt{3} (1 - \sin^{2} (x)) - 2 \sin (x) = 0$

단계 2

각 항을 간단히 합니다.

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단계 2.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\sqrt{3} \cdot 1 + \sqrt{3} (- \sin^{2} (x)) - 2 \sin (x) = 0$

단계 2.2

$\sqrt{3}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\sqrt{3} + \sqrt{3} (- \sin^{2} (x)) - 2 \sin (x) = 0$

단계 3

다항식을 다시 정렬합니다.

$\sqrt{3} (- \sin^{2} (x)) - 2 \sin (x) + \sqrt{3} = 0$

단계 4

$\sin (x)$ 에 $u$ 를 대입합니다.

$\sqrt{3} (- {(u)}^{2}) - 2 u + \sqrt{3} = 0$

단계 5

근의 공식을 이용해 방정식의 해를 구합니다.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

단계 6

이차함수의 근의 공식에 $a = - \sqrt{3}$ , $b = - 2$ , $c = \sqrt{3}$ 을 대입하여 $u$ 를 구합니다.

$\frac{2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot (- \sqrt{3} \cdot \sqrt{3})}}{2 (- \sqrt{3})}$

단계 7

간단히 합니다.

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단계 7.1

분자를 간단히 합니다.

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단계 7.1.1

$- 2$ 를 $2$ 승 합니다.

$u = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot (- 1 \sqrt{3}) \cdot \sqrt{3}}}{2 (- \sqrt{3})}$

단계 7.1.2

$- 4$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$u = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 4 \sqrt{3} \cdot \sqrt{3}}}{2 (- \sqrt{3})}$

단계 7.1.3

$4 \sqrt{3} \sqrt{3}$ 을 곱합니다.

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단계 7.1.3.1

$\sqrt{3}$ 를 $1$ 승 합니다.

$u = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 4 (\sqrt{3} \sqrt{3})}}{2 (- \sqrt{3})}$

단계 7.1.3.2

$\sqrt{3}$ 를 $1$ 승 합니다.

$u = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 4 (\sqrt{3} \sqrt{3})}}{2 (- \sqrt{3})}$

단계 7.1.3.3

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$u = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 4 {\sqrt{3}}^{1 + 1}}}{2 (- \sqrt{3})}$

단계 7.1.3.4

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$u = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 4 {\sqrt{3}}^{2}}}{2 (- \sqrt{3})}$

단계 7.1.4

${\sqrt{3}}^{2}$ 을 $3$ 로 바꿔 씁니다.

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단계 7.1.4.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{3}$ 을(를) $3^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$u = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 4 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}}{2 (- \sqrt{3})}$

단계 7.1.4.2

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$u = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 4 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}}{2 (- \sqrt{3})}$

단계 7.1.4.3

$\frac{1}{2}$ 와 $2$ 을 묶습니다.

$u = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 4 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}}{2 (- \sqrt{3})}$

단계 7.1.4.4

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 7.1.4.4.1

공약수로 약분합니다.

$u = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 4 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}}{2 (- \sqrt{3})}$

단계 7.1.4.4.2

수식을 다시 씁니다.

$u = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 4 \cdot 3}}{2 (- \sqrt{3})}$

단계 7.1.4.5

지수값을 계산합니다.

$u = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 4 \cdot 3}}{2 (- \sqrt{3})}$

단계 7.1.5

$4$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$u = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 12}}{2 (- \sqrt{3})}$

단계 7.1.6

$4$ 를 $12$ 에 더합니다.

$u = \frac{2 \pm \sqrt{16}}{2 (- \sqrt{3})}$

단계 7.1.7

$16$ 을 $4^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$u = \frac{2 \pm \sqrt{4^{2}}}{2 (- \sqrt{3})}$

단계 7.1.8

양의 실수로 가정하여 근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$u = \frac{2 \pm 4}{2 (- \sqrt{3})}$

단계 7.2

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$u = \frac{2 \pm 4}{- 2 \sqrt{3}}$

단계 7.3

$\frac{2 \pm 4}{- 2 \sqrt{3}}$ 을 간단히 합니다.

$u = \frac{1 \pm 2}{- \sqrt{3}}$

단계 7.4

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$u = - \frac{1 \pm 2}{\sqrt{3}}$

단계 7.5

$\frac{1 \pm 2}{\sqrt{3}}$ 에 $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ 을 곱합니다.

$u = - (\frac{1 \pm 2}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}})$

단계 7.6

분모를 결합하고 간단히 합니다.

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단계 7.6.1

$\frac{1 \pm 2}{\sqrt{3}}$ 에 $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ 을 곱합니다.

$u = - \frac{(1 \pm 2) \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

단계 7.6.2

$\sqrt{3}$ 를 $1$ 승 합니다.

$u = - \frac{(1 \pm 2) \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

단계 7.6.3

$\sqrt{3}$ 를 $1$ 승 합니다.

$u = - \frac{(1 \pm 2) \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

단계 7.6.4

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$u = - \frac{(1 \pm 2) \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

단계 7.6.5

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$u = - \frac{(1 \pm 2) \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

단계 7.6.6

${\sqrt{3}}^{2}$ 을 $3$ 로 바꿔 씁니다.

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단계 7.6.6.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{3}$ 을(를) $3^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$u = - \frac{(1 \pm 2) \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

단계 7.6.6.2

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$u = - \frac{(1 \pm 2) \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

단계 7.6.6.3

$\frac{1}{2}$ 와 $2$ 을 묶습니다.

$u = - \frac{(1 \pm 2) \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

단계 7.6.6.4

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 7.6.6.4.1

공약수로 약분합니다.

$u = - \frac{(1 \pm 2) \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

단계 7.6.6.4.2

수식을 다시 씁니다.

$u = - \frac{(1 \pm 2) \sqrt{3}}{3}$

단계 7.6.6.5

지수값을 계산합니다.

$u = - \frac{(1 \pm 2) \sqrt{3}}{3}$

단계 7.7

$- \frac{(1 \pm 2) \sqrt{3}}{3}$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$u = - \frac{\sqrt{3} (1 \pm 2)}{3}$

단계 8

두 해를 모두 조합하면 최종 답이 됩니다.

$u = - \sqrt{3}, \frac{\sqrt{3}}{3}$

단계 9

$u$ 에 $\sin (x)$ 를 대입합니다.

$\sin (x) = - \sqrt{3}, \frac{\sqrt{3}}{3}$

단계 10

각 식에 대하여 $x$ 를 구합니다.

$\sin (x) = - \sqrt{3}$

$\sin (x) = \frac{\sqrt{3}}{3}$

단계 11

$\sin (x) = - \sqrt{3}$ 의 $x$ 에 대해 풉니다.

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단계 11.1

사인의 범위는 $- 1 \leq y \leq 1$ 입니다. $- \sqrt{3}$ 가 이 영역에 속하지 않으므로 해는 존재하지 않습니다.

해 없음

단계 12

$\sin (x) = \frac{\sqrt{3}}{3}$ 의 $x$ 에 대해 풉니다.

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단계 12.1

사인 안의 $x$ 를 꺼내기 위해 방정식 양변에 사인의 역을 취합니다.

$x = \arcsin (\frac{\sqrt{3}}{3})$

단계 12.2

우변을 간단히 합니다.

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단계 12.2.1

$\arcsin (\frac{\sqrt{3}}{3})$ 의 값을 구합니다.

$x = 0.6154797$

단계 12.3

사인 함수는 제1사분면과 제2사분면에서 양의 값을 가집니다. 두 번째 해를 구하려면 $π$ 에서 기준각을 빼어 제2사분면에 속한 해를 구합니다.

$x = (3.14159265) - 0.6154797$

단계 12.4

$x$ 에 대해 풉니다.

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단계 12.4.1

괄호를 제거합니다.

$x = 3.14159265 - 0.6154797$

단계 12.4.2

괄호를 제거합니다.

$x = (3.14159265) - 0.6154797$

단계 12.4.3

$3.14159265$ 에서 $0.6154797$ 을 뺍니다.

$x = 2.52611294$

단계 12.5

$\sin (x)$ 주기를 구합니다.

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단계 12.5.1

함수의 주기는 $\frac{2 π}{| b |}$ 를 이용하여 구할 수 있습니다.

$\frac{2 π}{| b |}$

단계 12.5.2

주기 공식에서 $b$ 에 $1$ 을 대입합니다.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

단계 12.5.3

절댓값은 숫자와 0 사이의 거리를 말합니다. $0$ 과 $1$ 사이의 거리는 $1$ 입니다.

$\frac{2 π}{1}$

단계 12.5.4

$2 π$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$2 π$

단계 12.6

함수 $\sin (x)$ 의 주기는 $2 π$ 이므로 양 방향으로 $2 π$ 라디안마다 값이 반복됩니다.

임의의 정수 $n$ 에 대해 $x = 0.6154797 + 2 π n, 2.52611294 + 2 π n$

단계 13

모든 해를 나열합니다.

임의의 정수 $n$ 에 대해 $x = 0.6154797 + 2 π n, 2.52611294 + 2 π n$