삼각법 예제

$\frac{3 \cos^{2} (x) + 4 \cos (x) + 1}{\cos^{2} (x) + 2 \cos (x) + 1}$

단계 1

분자를 간단히 합니다.

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단계 1.1

$u = \cos (x)$ 로 정의합니다. 식에 나타나는 모든 $\cos (x)$ 를 $u$ 로 바꿉니다.

$\frac{3 u^{2} + 4 u + 1}{\cos^{2} (x) + 2 \cos (x) + 1}$

단계 1.2

공통인수를 이용하여 인수분해를 합니다.

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단계 1.2.1

$a x^{2} + b x + c$ 형태의 다항식에 대해 곱이 $a \cdot c = 3 \cdot 1 = 3$ 이고 합이 $b = 4$ 인 두 항의 합으로 중간항을 다시 씁니다.

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단계 1.2.1.1

$4 u$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$\frac{3 u^{2} + 4 (u) + 1}{\cos^{2} (x) + 2 \cos (x) + 1}$

단계 1.2.1.2

$4$ 를 $1$ + $3$ 로 다시 씁니다.

$\frac{3 u^{2} + (1 + 3) u + 1}{\cos^{2} (x) + 2 \cos (x) + 1}$

단계 1.2.1.3

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{3 u^{2} + 1 u + 3 u + 1}{\cos^{2} (x) + 2 \cos (x) + 1}$

단계 1.2.1.4

$u$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{3 u^{2} + u + 3 u + 1}{\cos^{2} (x) + 2 \cos (x) + 1}$

단계 1.2.2

각 그룹에서 최대공약수를 밖으로 뺍니다.

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단계 1.2.2.1

처음 두 항과 마지막 두 항을 묶습니다.

$\frac{(3 u^{2} + u) + 3 u + 1}{\cos^{2} (x) + 2 \cos (x) + 1}$

단계 1.2.2.2

각 그룹에서 최대공약수를 밖으로 뺍니다.

$\frac{u (3 u + 1) + 1 (3 u + 1)}{\cos^{2} (x) + 2 \cos (x) + 1}$

단계 1.2.3

최대공약수 $3 u + 1$ 을 밖으로 빼어 다항식을 인수분해합니다.

$\frac{(3 u + 1) (u + 1)}{\cos^{2} (x) + 2 \cos (x) + 1}$

단계 1.3

$u$ 를 모두 $\cos (x)$ 로 바꿉니다.

$\frac{(3 \cos (x) + 1) (\cos (x) + 1)}{\cos^{2} (x) + 2 \cos (x) + 1}$

단계 2

분모를 간단히 합니다.

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단계 2.1

$u = \cos (x)$ 로 정의합니다. 식에 나타나는 모든 $\cos (x)$ 를 $u$ 로 바꿉니다.

$\frac{(3 \cos (x) + 1) (\cos (x) + 1)}{u^{2} + 2 u + 1}$

단계 2.2

완전제곱 법칙을 이용하여 인수분해합니다.

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단계 2.2.1

$1$ 을 $1^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{(3 \cos (x) + 1) (\cos (x) + 1)}{u^{2} + 2 u + 1^{2}}$

단계 2.2.2

중간 항이 첫 번째 항 및 세 번째 항에서 제곱되는 수를 곱한 값의 두 배인지 확인합니다.

$2 u = 2 \cdot u \cdot 1$

단계 2.2.3

다항식을 다시 씁니다.

$\frac{(3 \cos (x) + 1) (\cos (x) + 1)}{u^{2} + 2 \cdot u \cdot 1 + 1^{2}}$

단계 2.2.4

$a = u$ 이고 $b = 1$ 일 때 완전제곱 삼항식 법칙 $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ 을 이용하여 인수분해합니다.

$\frac{(3 \cos (x) + 1) (\cos (x) + 1)}{{(u + 1)}^{2}}$

단계 2.3

$u$ 를 모두 $\cos (x)$ 로 바꿉니다.

$\frac{(3 \cos (x) + 1) (\cos (x) + 1)}{{(\cos (x) + 1)}^{2}}$

단계 3

$\cos (x) + 1$ 및 ${(\cos (x) + 1)}^{2}$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 3.1

$(3 \cos (x) + 1) (\cos (x) + 1)$ 에서 $\cos (x) + 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{(\cos (x) + 1) (3 \cos (x) + 1)}{{(\cos (x) + 1)}^{2}}$

단계 3.2

공약수로 약분합니다.

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단계 3.2.1

${(\cos (x) + 1)}^{2}$ 에서 $\cos (x) + 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{(\cos (x) + 1) (3 \cos (x) + 1)}{(\cos (x) + 1) (\cos (x) + 1)}$

단계 3.2.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{(\cos (x) + 1) (3 \cos (x) + 1)}{(\cos (x) + 1) (\cos (x) + 1)}$

단계 3.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{3 \cos (x) + 1}{\cos (x) + 1}$