삼각법 예제

$\frac{\sec^{2} (x) - \cos^{2} (x)}{\tan^{2} (x)}$

단계 1

분자를 간단히 합니다.

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단계 1.1

두 항 모두 완전제곱식이므로, 제곱의 차 공식 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 을 이용하여 인수분해합니다. 이 때 $a = \sec (x)$ 이고 $b = \cos (x)$ 입니다.

$\frac{(\sec (x) + \cos (x)) (\sec (x) - \cos (x))}{\tan^{2} (x)}$

단계 1.2

간단히 합니다.

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단계 1.2.1

$\sec (x)$ 를 사인과 코사인을 사용하여 다시 표현합니다.

$\frac{(\frac{1}{\cos (x)} + \cos (x)) (\sec (x) - \cos (x))}{\tan^{2} (x)}$

단계 1.2.2

$\sec (x)$ 를 사인과 코사인을 사용하여 다시 표현합니다.

$\frac{(\frac{1}{\cos (x)} + \cos (x)) (\frac{1}{\cos (x)} - \cos (x))}{\tan^{2} (x)}$

단계 2

분모를 간단히 합니다.

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단계 2.1

$\tan (x)$ 를 사인과 코사인을 사용하여 다시 표현합니다.

$\frac{(\frac{1}{\cos (x)} + \cos (x)) (\frac{1}{\cos (x)} - \cos (x))}{{(\frac{\sin (x)}{\cos (x)})}^{2}}$

단계 2.2

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$\frac{(\frac{1}{\cos (x)} + \cos (x)) (\frac{1}{\cos (x)} - \cos (x))}{\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}}$

단계 3

분자에 분모의 역수를 곱합니다.

$(\frac{1}{\cos (x)} + \cos (x)) (\frac{1}{\cos (x)} - \cos (x)) \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

단계 4

FOIL 계산법을 이용하여 $(\frac{1}{\cos (x)} + \cos (x)) (\frac{1}{\cos (x)} - \cos (x))$ 를 전개합니다.

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단계 4.1

분배 법칙을 적용합니다.

$(\frac{1}{\cos (x)} (\frac{1}{\cos (x)} - \cos (x)) + \cos (x) (\frac{1}{\cos (x)} - \cos (x))) \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

단계 4.2

분배 법칙을 적용합니다.

$(\frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x)} (- \cos (x)) + \cos (x) (\frac{1}{\cos (x)} - \cos (x))) \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

단계 4.3

분배 법칙을 적용합니다.

$(\frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x)} (- \cos (x)) + \cos (x) \frac{1}{\cos (x)} + \cos (x) (- \cos (x))) \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

단계 5

항을 간단히 합니다.

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단계 5.1

$\frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x)} (- \cos (x)) + \cos (x) \frac{1}{\cos (x)} + \cos (x) (- \cos (x))$ 의 반대 항을 묶습니다.

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단계 5.1.1

인수가 항 $\frac{1}{\cos (x)} (- \cos (x))$ 과(와) $\cos (x) \frac{1}{\cos (x)}$ (으)로 표현되도록 다시 정렬합니다.

$(\frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)} - \cos (x) \frac{1}{\cos (x)} + \cos (x) \frac{1}{\cos (x)} + \cos (x) (- \cos (x))) \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

단계 5.1.2

$- \cos (x) \frac{1}{\cos (x)}$ 를 $\cos (x) \frac{1}{\cos (x)}$ 에 더합니다.

$(\frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)} + 0 + \cos (x) (- \cos (x))) \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

단계 5.1.3

$\frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$(\frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)} + \cos (x) (- \cos (x))) \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

단계 5.2

각 항을 간단히 합니다.

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단계 5.2.1

$\frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$ 을 곱합니다.

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단계 5.2.1.1

$\frac{1}{\cos (x)}$ 에 $\frac{1}{\cos (x)}$ 을 곱합니다.

$(\frac{1}{\cos (x) \cos (x)} + \cos (x) (- \cos (x))) \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

단계 5.2.1.2

$\cos (x)$ 를 $1$ 승 합니다.

$(\frac{1}{\cos^{1} (x) \cos (x)} + \cos (x) (- \cos (x))) \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

단계 5.2.1.3

$\cos (x)$ 를 $1$ 승 합니다.

$(\frac{1}{\cos^{1} (x) \cos^{1} (x)} + \cos (x) (- \cos (x))) \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

단계 5.2.1.4

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$(\frac{1}{{\cos (x)}^{1 + 1}} + \cos (x) (- \cos (x))) \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

단계 5.2.1.5

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$(\frac{1}{\cos^{2} (x)} + \cos (x) (- \cos (x))) \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

단계 5.2.2

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$(\frac{1}{\cos^{2} (x)} - \cos (x) \cos (x)) \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

단계 5.2.3

$- \cos (x) \cos (x)$ 을 곱합니다.

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단계 5.2.3.1

$\cos (x)$ 를 $1$ 승 합니다.

$(\frac{1}{\cos^{2} (x)} - (\cos^{1} (x) \cos (x))) \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

단계 5.2.3.2

$\cos (x)$ 를 $1$ 승 합니다.

$(\frac{1}{\cos^{2} (x)} - (\cos^{1} (x) \cos^{1} (x))) \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

단계 5.2.3.3

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$(\frac{1}{\cos^{2} (x)} - {\cos (x)}^{1 + 1}) \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

단계 5.2.3.4

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$(\frac{1}{\cos^{2} (x)} - \cos^{2} (x)) \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

단계 5.3

항을 간단히 합니다.

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단계 5.3.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{1}{\cos^{2} (x)} \cdot \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)} - \cos^{2} (x) \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

단계 5.3.2

조합합니다.

$\frac{1 \cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x) \sin^{2} (x)} - \cos^{2} (x) \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

단계 6

$- \cos^{2} (x) \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$ 을 곱합니다.

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단계 6.1

$\frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$ 와 $\cos^{2} (x)$ 을 묶습니다.

$\frac{1 \cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x) \sin^{2} (x)} - \frac{\cos^{2} (x) \cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

단계 6.2

지수를 더하여 $\cos^{2} (x)$ 에 $\cos^{2} (x)$ 을 곱합니다.

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단계 6.2.1

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{1 \cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x) \sin^{2} (x)} - \frac{{\cos (x)}^{2 + 2}}{\sin^{2} (x)}$

단계 6.2.2

$2$ 를 $2$ 에 더합니다.

$\frac{1 \cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x) \sin^{2} (x)} - \frac{\cos^{4} (x)}{\sin^{2} (x)}$

단계 7

$\cos^{2} (x)$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 7.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{1 \cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x) \sin^{2} (x)} - \frac{\cos^{4} (x)}{\sin^{2} (x)}$

단계 7.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{\sin^{2} (x)} - \frac{\cos^{4} (x)}{\sin^{2} (x)}$

단계 8

$1$ 을 $1^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{1^{2}}{\sin^{2} (x)} - \frac{\cos^{4} (x)}{\sin^{2} (x)}$

단계 9

$\frac{1^{2}}{\sin^{2} (x)}$ 을 ${(\frac{1}{\sin (x)})}^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

${(\frac{1}{\sin (x)})}^{2} - \frac{\cos^{4} (x)}{\sin^{2} (x)}$

단계 10

$\frac{\cos^{4} (x)}{\sin^{2} (x)}$ 을 ${(\frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)})}^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

${(\frac{1}{\sin (x)})}^{2} - {(\frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)})}^{2}$

단계 11

두 항 모두 완전제곱식이므로, 제곱의 차 공식 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 을 이용하여 인수분해합니다. 이 때 $a = \frac{1}{\sin (x)}$ 이고 $b = \frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)}$ 입니다.

$(\frac{1}{\sin (x)} + \frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)}) (\frac{1}{\sin (x)} - \frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)})$

단계 12

항을 간단히 합니다.

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단계 12.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 12.1.1

$\frac{1}{\sin (x)}$ 을 $\csc (x)$ 로 변환합니다.

$(\csc (x) + \frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)}) (\frac{1}{\sin (x)} - \frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)})$

단계 12.1.2

$\cos^{2} (x)$ 에서 $\cos (x)$ 를 인수분해합니다.

$(\csc (x) + \frac{\cos (x) \cos (x)}{\sin (x)}) (\frac{1}{\sin (x)} - \frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)})$

단계 12.1.3

분수를 나눕니다.

$(\csc (x) + \frac{\cos (x)}{1} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)}) (\frac{1}{\sin (x)} - \frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)})$

단계 12.1.4

$\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ 을 $\cot (x)$ 로 변환합니다.

$(\csc (x) + \frac{\cos (x)}{1} \cot (x)) (\frac{1}{\sin (x)} - \frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)})$

단계 12.1.5

$\cos (x)$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$(\csc (x) + \cos (x) \cot (x)) (\frac{1}{\sin (x)} - \frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)})$

단계 12.2

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$(\csc (x) + \cos (x) \cot (x)) \frac{1 - \cos^{2} (x)}{\sin (x)}$

단계 13

피타고라스의 정리를 적용합니다.

$(\csc (x) + \cos (x) \cot (x)) \frac{\sin^{2} (x)}{\sin (x)}$

단계 14

항을 간단히 합니다.

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단계 14.1

$\sin^{2} (x)$ 및 $\sin (x)$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 14.1.1

$\sin^{2} (x)$ 에서 $\sin (x)$ 를 인수분해합니다.

$(\csc (x) + \cos (x) \cot (x)) \frac{\sin (x) \sin (x)}{\sin (x)}$

단계 14.1.2

공약수로 약분합니다.

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단계 14.1.2.1

$1$ 을 곱합니다.

$(\csc (x) + \cos (x) \cot (x)) \frac{\sin (x) \sin (x)}{\sin (x) \cdot 1}$

단계 14.1.2.2

공약수로 약분합니다.

$(\csc (x) + \cos (x) \cot (x)) \frac{\sin (x) \sin (x)}{\sin (x) \cdot 1}$

단계 14.1.2.3

수식을 다시 씁니다.

$(\csc (x) + \cos (x) \cot (x)) \frac{\sin (x)}{1}$

단계 14.1.2.4

$\sin (x)$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$(\csc (x) + \cos (x) \cot (x)) \sin (x)$

단계 14.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\csc (x) \sin (x) + \cos (x) \cot (x) \sin (x)$

단계 15

사인과 코사인으로 표현되도록 수식을 바꾸고 공약수를 소거합니다.

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단계 15.1

$\csc (x) \sin (x)$ 를 사인과 코사인을 사용하여 다시 표현합니다.

$\frac{1}{\sin (x)} \sin (x) + \cos (x) \cot (x) \sin (x)$

단계 15.2

공약수로 약분합니다.

$1 + \cos (x) \cot (x) \sin (x)$