삼각법 예제

$\frac{\sin^{2} (x) - \tan^{2} (x)}{\tan^{2} (x) \sin^{2} (x)}$

단계 1

분자를 간단히 합니다.

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단계 1.1

두 항 모두 완전제곱식이므로, 제곱의 차 공식 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 을 이용하여 인수분해합니다. 이 때 $a = \sin (x)$ 이고 $b = \tan (x)$ 입니다.

$\frac{(\sin (x) + \tan (x)) (\sin (x) - \tan (x))}{\tan^{2} (x) \sin^{2} (x)}$

단계 1.2

간단히 합니다.

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단계 1.2.1

$\tan (x)$ 를 사인과 코사인을 사용하여 다시 표현합니다.

$\frac{(\sin (x) + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) (\sin (x) - \tan (x))}{\tan^{2} (x) \sin^{2} (x)}$

단계 1.2.2

$\sin (x) + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ 에서 $\sin (x)$ 를 인수분해합니다.

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단계 1.2.2.1

$1$ 을 곱합니다.

$\frac{(\sin (x) \cdot 1 + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) (\sin (x) - \tan (x))}{\tan^{2} (x) \sin^{2} (x)}$

단계 1.2.2.2

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ 에서 $\sin (x)$ 를 인수분해합니다.

$\frac{(\sin (x) \cdot 1 + \sin (x) \frac{1}{\cos (x)}) (\sin (x) - \tan (x))}{\tan^{2} (x) \sin^{2} (x)}$

단계 1.2.2.3

$\sin (x) \cdot 1 + \sin (x) \frac{1}{\cos (x)}$ 에서 $\sin (x)$ 를 인수분해합니다.

$\frac{\sin (x) (1 + \frac{1}{\cos (x)}) (\sin (x) - \tan (x))}{\tan^{2} (x) \sin^{2} (x)}$

단계 1.2.3

$\tan (x)$ 를 사인과 코사인을 사용하여 다시 표현합니다.

$\frac{\sin (x) (1 + \frac{1}{\cos (x)}) (\sin (x) - \frac{\sin (x)}{\cos (x)})}{\tan^{2} (x) \sin^{2} (x)}$

단계 1.2.4

$\sin (x) - \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ 에서 $\sin (x)$ 를 인수분해합니다.

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단계 1.2.4.1

$1$ 을 곱합니다.

$\frac{\sin (x) (1 + \frac{1}{\cos (x)}) (\sin (x) \cdot 1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)})}{\tan^{2} (x) \sin^{2} (x)}$

단계 1.2.4.2

$- \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ 에서 $\sin (x)$ 를 인수분해합니다.

$\frac{\sin (x) (1 + \frac{1}{\cos (x)}) (\sin (x) \cdot 1 + \sin (x) (- \frac{1}{\cos (x)}))}{\tan^{2} (x) \sin^{2} (x)}$

단계 1.2.4.3

$\sin (x) \cdot 1 + \sin (x) (- \frac{1}{\cos (x)})$ 에서 $\sin (x)$ 를 인수분해합니다.

$\frac{\sin (x) (1 + \frac{1}{\cos (x)}) (\sin (x) (1 - \frac{1}{\cos (x)}))}{\tan^{2} (x) \sin^{2} (x)}$

$\frac{\sin (x) (1 + \frac{1}{\cos (x)}) \sin (x) (1 - \frac{1}{\cos (x)})}{\tan^{2} (x) \sin^{2} (x)}$

단계 1.2.5

지수를 묶습니다.

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단계 1.2.5.1

$\sin (x)$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{\sin^{1} (x) \sin (x) (1 + \frac{1}{\cos (x)}) (1 - \frac{1}{\cos (x)})}{\tan^{2} (x) \sin^{2} (x)}$

단계 1.2.5.2

$\sin (x)$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{\sin^{1} (x) \sin^{1} (x) (1 + \frac{1}{\cos (x)}) (1 - \frac{1}{\cos (x)})}{\tan^{2} (x) \sin^{2} (x)}$

단계 1.2.5.3

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{{\sin (x)}^{1 + 1} (1 + \frac{1}{\cos (x)}) (1 - \frac{1}{\cos (x)})}{\tan^{2} (x) \sin^{2} (x)}$

단계 1.2.5.4

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\frac{\sin^{2} (x) (1 + \frac{1}{\cos (x)}) (1 - \frac{1}{\cos (x)})}{\tan^{2} (x) \sin^{2} (x)}$

단계 2

분모를 간단히 합니다.

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단계 2.1

$\tan (x)$ 를 사인과 코사인을 사용하여 다시 표현합니다.

$\frac{\sin^{2} (x) (1 + \frac{1}{\cos (x)}) (1 - \frac{1}{\cos (x)})}{{(\frac{\sin (x)}{\cos (x)})}^{2} \sin^{2} (x)}$

단계 2.2

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$\frac{\sin^{2} (x) (1 + \frac{1}{\cos (x)}) (1 - \frac{1}{\cos (x)})}{\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} \sin^{2} (x)}$

단계 3

$\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$ 와 $\sin^{2} (x)$ 을 묶습니다.

$\frac{\sin^{2} (x) (1 + \frac{1}{\cos (x)}) (1 - \frac{1}{\cos (x)})}{\frac{\sin^{2} (x) \sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}}$

단계 4

지수를 더하여 $\sin^{2} (x)$ 에 $\sin^{2} (x)$ 을 곱합니다.

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단계 4.1

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{\sin^{2} (x) (1 + \frac{1}{\cos (x)}) (1 - \frac{1}{\cos (x)})}{\frac{{\sin (x)}^{2 + 2}}{\cos^{2} (x)}}$

단계 4.2

$2$ 를 $2$ 에 더합니다.

$\frac{\sin^{2} (x) (1 + \frac{1}{\cos (x)}) (1 - \frac{1}{\cos (x)})}{\frac{\sin^{4} (x)}{\cos^{2} (x)}}$

단계 5

분자에 분모의 역수를 곱합니다.

$\sin^{2} (x) (1 + \frac{1}{\cos (x)}) (1 - \frac{1}{\cos (x)}) \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{4} (x)}$

단계 6

$\sin^{2} (x)$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 6.1

$\sin^{2} (x) (1 + \frac{1}{\cos (x)}) (1 - \frac{1}{\cos (x)})$ 에서 $\sin^{2} (x)$ 를 인수분해합니다.

$\sin^{2} (x) ((1 + \frac{1}{\cos (x)}) (1 - \frac{1}{\cos (x)})) \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{4} (x)}$

단계 6.2

$\sin^{4} (x)$ 에서 $\sin^{2} (x)$ 를 인수분해합니다.

$\sin^{2} (x) ((1 + \frac{1}{\cos (x)}) (1 - \frac{1}{\cos (x)})) \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x) \sin^{2} (x)}$

단계 6.3

공약수로 약분합니다.

$\sin^{2} (x) ((1 + \frac{1}{\cos (x)}) (1 - \frac{1}{\cos (x)})) \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x) \sin^{2} (x)}$

단계 6.4

수식을 다시 씁니다.

$(1 + \frac{1}{\cos (x)}) (1 - \frac{1}{\cos (x)}) \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

단계 7

FOIL 계산법을 이용하여 $(1 + \frac{1}{\cos (x)}) (1 - \frac{1}{\cos (x)})$ 를 전개합니다.

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단계 7.1

분배 법칙을 적용합니다.

$(1 (1 - \frac{1}{\cos (x)}) + \frac{1}{\cos (x)} (1 - \frac{1}{\cos (x)})) \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

단계 7.2

분배 법칙을 적용합니다.

$(1 \cdot 1 + 1 (- \frac{1}{\cos (x)}) + \frac{1}{\cos (x)} (1 - \frac{1}{\cos (x)})) \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

단계 7.3

분배 법칙을 적용합니다.

$(1 \cdot 1 + 1 (- \frac{1}{\cos (x)}) + \frac{1}{\cos (x)} \cdot 1 + \frac{1}{\cos (x)} (- \frac{1}{\cos (x)})) \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

단계 8

동류항끼리 묶고 식을 간단히 합니다.

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단계 8.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 8.1.1

$1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$(1 + 1 (- \frac{1}{\cos (x)}) + \frac{1}{\cos (x)} \cdot 1 + \frac{1}{\cos (x)} (- \frac{1}{\cos (x)})) \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

단계 8.1.2

$- \frac{1}{\cos (x)}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$(1 - \frac{1}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x)} \cdot 1 + \frac{1}{\cos (x)} (- \frac{1}{\cos (x)})) \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

단계 8.1.3

$\frac{1}{\cos (x)}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$(1 - \frac{1}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x)} (- \frac{1}{\cos (x)})) \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

단계 8.1.4

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$(1 - \frac{1}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x)} - \frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)}) \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

단계 8.1.5

$- \frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$ 을 곱합니다.

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단계 8.1.5.1

$\frac{1}{\cos (x)}$ 에 $\frac{1}{\cos (x)}$ 을 곱합니다.

$(1 - \frac{1}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x)} - \frac{1}{\cos (x) \cos (x)}) \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

단계 8.1.5.2

$\cos (x)$ 를 $1$ 승 합니다.

$(1 - \frac{1}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x)} - \frac{1}{\cos^{1} (x) \cos (x)}) \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

단계 8.1.5.3

$\cos (x)$ 를 $1$ 승 합니다.

$(1 - \frac{1}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x)} - \frac{1}{\cos^{1} (x) \cos^{1} (x)}) \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

단계 8.1.5.4

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$(1 - \frac{1}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x)} - \frac{1}{{\cos (x)}^{1 + 1}}) \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

단계 8.1.5.5

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$(1 - \frac{1}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x)} - \frac{1}{\cos^{2} (x)}) \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

단계 8.2

$- \frac{1}{\cos (x)}$ 를 $\frac{1}{\cos (x)}$ 에 더합니다.

$(1 + 0 - \frac{1}{\cos^{2} (x)}) \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

단계 8.3

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$(1 - \frac{1}{\cos^{2} (x)}) \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

단계 9

항을 간단히 합니다.

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단계 9.1

분배 법칙을 적용합니다.

$1 \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)} - \frac{1}{\cos^{2} (x)} \cdot \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

단계 9.2

$\frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)} - \frac{1}{\cos^{2} (x)} \cdot \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

단계 9.3

$\cos^{2} (x)$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 9.3.1

$- \frac{1}{\cos^{2} (x)}$ 의 마이너스 부호를 분자로 이동합니다.

$\frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)} + \frac{- 1}{\cos^{2} (x)} \cdot \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

단계 9.3.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)} + \frac{- 1}{\cos^{2} (x)} \cdot \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

단계 9.3.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)} - 1 \frac{1}{\sin^{2} (x)}$

단계 9.4

$- 1 \frac{1}{\sin^{2} (x)}$ 을 $- \frac{1}{\sin^{2} (x)}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)} - \frac{1}{\sin^{2} (x)}$

단계 9.5

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{\cos^{2} (x) - 1}{\sin^{2} (x)}$

단계 9.6

$\cos^{2} (x)$ 와 $- 1$ 을 다시 정렬합니다.

$\frac{- 1 + \cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

단계 9.7

$- 1$ 을 $- 1 (1)$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{- 1 (1) + \cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

단계 9.8

$\cos^{2} (x)$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{- 1 (1) - 1 (- \cos^{2} (x))}{\sin^{2} (x)}$

단계 9.9

$- 1 (1) - 1 (- \cos^{2} (x))$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{- 1 (1 - \cos^{2} (x))}{\sin^{2} (x)}$

단계 9.10

$- 1 (1 - \cos^{2} (x))$ 을 $- (1 - \cos^{2} (x))$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{- (1 - \cos^{2} (x))}{\sin^{2} (x)}$

단계 10

피타고라스의 정리를 적용합니다.

$\frac{- \sin^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

단계 11

$\sin^{2} (x)$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 11.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{- \sin^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

단계 11.2

$- 1$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$- 1$