삼각법 예제

$\frac{12 \sin^{2} (x) + 15 \sin (x) + 3}{3 \sin^{2} (x) + 9 \sin (x) + 6}$

단계 1

$12 \sin^{2} (x) + 15 \sin (x) + 3$ 및 $3 \sin^{2} (x) + 9 \sin (x) + 6$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 1.1

$12 \sin^{2} (x)$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$\frac{3 (4 \sin^{2} (x)) + 15 \sin (x) + 3}{3 \sin^{2} (x) + 9 \sin (x) + 6}$

단계 1.2

$15 \sin (x)$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$\frac{3 (4 \sin^{2} (x)) + 3 (5 \sin (x)) + 3}{3 \sin^{2} (x) + 9 \sin (x) + 6}$

단계 1.3

$3 (4 \sin^{2} (x)) + 3 (5 \sin (x))$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$\frac{3 (4 \sin^{2} (x) + 5 \sin (x)) + 3}{3 \sin^{2} (x) + 9 \sin (x) + 6}$

단계 1.4

$3$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$\frac{3 (4 \sin^{2} (x) + 5 \sin (x)) + 3 \cdot 1}{3 \sin^{2} (x) + 9 \sin (x) + 6}$

단계 1.5

$3 (4 \sin^{2} (x) + 5 \sin (x)) + 3 (1)$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$\frac{3 (4 \sin^{2} (x) + 5 \sin (x) + 1)}{3 \sin^{2} (x) + 9 \sin (x) + 6}$

단계 1.6

공약수로 약분합니다.

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단계 1.6.1

$3 \sin^{2} (x)$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$\frac{3 (4 \sin^{2} (x) + 5 \sin (x) + 1)}{3 (\sin^{2} (x)) + 9 \sin (x) + 6}$

단계 1.6.2

$9 \sin (x)$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$\frac{3 (4 \sin^{2} (x) + 5 \sin (x) + 1)}{3 (\sin^{2} (x)) + 3 (3 \sin (x)) + 6}$

단계 1.6.3

$3 (\sin^{2} (x)) + 3 (3 \sin (x))$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$\frac{3 (4 \sin^{2} (x) + 5 \sin (x) + 1)}{3 (\sin^{2} (x) + 3 \sin (x)) + 6}$

단계 1.6.4

$6$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$\frac{3 (4 \sin^{2} (x) + 5 \sin (x) + 1)}{3 (\sin^{2} (x) + 3 \sin (x)) + 3 \cdot 2}$

단계 1.6.5

$3 (\sin^{2} (x) + 3 \sin (x)) + 3 \cdot 2$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$\frac{3 (4 \sin^{2} (x) + 5 \sin (x) + 1)}{3 (\sin^{2} (x) + 3 \sin (x) + 2)}$

단계 1.6.6

공약수로 약분합니다.

$\frac{3 (4 \sin^{2} (x) + 5 \sin (x) + 1)}{3 (\sin^{2} (x) + 3 \sin (x) + 2)}$

단계 1.6.7

수식을 다시 씁니다.

$\frac{4 \sin^{2} (x) + 5 \sin (x) + 1}{\sin^{2} (x) + 3 \sin (x) + 2}$

단계 2

분자를 간단히 합니다.

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단계 2.1

$u = \sin (x)$ 로 정의합니다. 식에 나타나는 모든 $\sin (x)$ 를 $u$ 로 바꿉니다.

$\frac{4 u^{2} + 5 u + 1}{\sin^{2} (x) + 3 \sin (x) + 2}$

단계 2.2

공통인수를 이용하여 인수분해를 합니다.

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단계 2.2.1

$a x^{2} + b x + c$ 형태의 다항식에 대해 곱이 $a \cdot c = 4 \cdot 1 = 4$ 이고 합이 $b = 5$ 인 두 항의 합으로 중간항을 다시 씁니다.

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단계 2.2.1.1

$5 u$ 에서 $5$ 를 인수분해합니다.

$\frac{4 u^{2} + 5 (u) + 1}{\sin^{2} (x) + 3 \sin (x) + 2}$

단계 2.2.1.2

$5$ 를 $1$ + $4$ 로 다시 씁니다.

$\frac{4 u^{2} + (1 + 4) u + 1}{\sin^{2} (x) + 3 \sin (x) + 2}$

단계 2.2.1.3

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{4 u^{2} + 1 u + 4 u + 1}{\sin^{2} (x) + 3 \sin (x) + 2}$

단계 2.2.1.4

$u$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{4 u^{2} + u + 4 u + 1}{\sin^{2} (x) + 3 \sin (x) + 2}$

단계 2.2.2

각 그룹에서 최대공약수를 밖으로 뺍니다.

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단계 2.2.2.1

처음 두 항과 마지막 두 항을 묶습니다.

$\frac{(4 u^{2} + u) + 4 u + 1}{\sin^{2} (x) + 3 \sin (x) + 2}$

단계 2.2.2.2

각 그룹에서 최대공약수를 밖으로 뺍니다.

$\frac{u (4 u + 1) + 1 (4 u + 1)}{\sin^{2} (x) + 3 \sin (x) + 2}$

단계 2.2.3

최대공약수 $4 u + 1$ 을 밖으로 빼어 다항식을 인수분해합니다.

$\frac{(4 u + 1) (u + 1)}{\sin^{2} (x) + 3 \sin (x) + 2}$

단계 2.3

$u$ 를 모두 $\sin (x)$ 로 바꿉니다.

$\frac{(4 \sin (x) + 1) (\sin (x) + 1)}{\sin^{2} (x) + 3 \sin (x) + 2}$

단계 3

분모를 간단히 합니다.

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단계 3.1

$u = \sin (x)$ 로 정의합니다. 식에 나타나는 모든 $\sin (x)$ 를 $u$ 로 바꿉니다.

$\frac{(4 \sin (x) + 1) (\sin (x) + 1)}{u^{2} + 3 u + 2}$

단계 3.2

AC 방법을 이용하여 $u^{2} + 3 u + 2$ 를 인수분해합니다.

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단계 3.2.1

$x^{2} + b x + c$ 형태를 이용합니다. 곱이 $c$ 이고 합이 $b$ 인 정수 쌍을 찾습니다. 이 경우 곱은 $2$ 이고 합은 $3$ 입니다.

$1, 2$

단계 3.2.2

이 정수들을 이용하여 인수분해된 형태를 씁니다.

$\frac{(4 \sin (x) + 1) (\sin (x) + 1)}{(u + 1) (u + 2)}$

단계 3.3

$u$ 를 모두 $\sin (x)$ 로 바꿉니다.

$\frac{(4 \sin (x) + 1) (\sin (x) + 1)}{(\sin (x) + 1) (\sin (x) + 2)}$

단계 4

$\sin (x) + 1$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 4.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{(4 \sin (x) + 1) (\sin (x) + 1)}{(\sin (x) + 1) (\sin (x) + 2)}$

단계 4.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{4 \sin (x) + 1}{\sin (x) + 2}$