삼각법 예제

$\cot^{2} (x) + 4 \csc (x) = - 5$

단계 1

항등식 $\cot^{2} (x) + 1 = \csc^{2} (x)$ 를 사용하여 $\cot^{2} (x)$ 를 $\csc^{2} (x) - 1$ 로 바꿉니다.

$(\csc^{2} (x) - 1) + 4 \csc (x) = - 5$

단계 2

다항식을 다시 정렬합니다.

$\csc^{2} (x) + 4 \csc (x) - 1 = - 5$

단계 3

$\csc (x)$ 에 $u$ 를 대입합니다.

${(u)}^{2} + 4 (u) - 1 = - 5$

단계 4

방정식의 양변에 $5$ 를 더합니다.

$u^{2} + 4 u - 1 + 5 = 0$

단계 5

$- 1$ 를 $5$ 에 더합니다.

$u^{2} + 4 u + 4 = 0$

단계 6

완전제곱 법칙을 이용하여 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1

$4$ 을 $2^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$u^{2} + 4 u + 2^{2} = 0$

단계 6.2

중간 항이 첫 번째 항 및 세 번째 항에서 제곱되는 수를 곱한 값의 두 배인지 확인합니다.

$4 u = 2 \cdot u \cdot 2$

단계 6.3

다항식을 다시 씁니다.

$u^{2} + 2 \cdot u \cdot 2 + 2^{2} = 0$

단계 6.4

$a = u$ 이고 $b = 2$ 일 때 완전제곱 삼항식 법칙 $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ 을 이용하여 인수분해합니다.

${(u + 2)}^{2} = 0$

단계 7

$u + 2$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$u + 2 = 0$

단계 8

방정식의 양변에서 $2$ 를 뺍니다.

$u = - 2$

단계 9

$u$ 에 $\csc (x)$ 를 대입합니다.

$\csc (x) = - 2$

단계 10

코시컨트 안의 $x$ 를 꺼내기 위해 방정식 양변에 코시컨트의 역을 취합니다.

$x = arccsc (- 2)$

단계 11

우변을 간단히 합니다.

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단계 11.1

$arccsc (- 2)$ 의 정확한 값은 $- \frac{π}{6}$ 입니다.

$x = - \frac{π}{6}$

단계 12

The cosecant function is negative in the third and fourth quadrants. To find the second solution, subtract the solution from $2 π$ , to find a reference angle. Next, add this reference angle to $π$ to find the solution in the third quadrant.

$x = 2 π + \frac{π}{6} + π$

단계 13

두 번째 해를 구하기 위하여 수식을 간단히 합니다.

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단계 13.1

$2 π + \frac{π}{6} + π$ 에서 $2 π$ 을 뺍니다.

$x = 2 π + \frac{π}{6} + π - 2 π$

단계 13.2

결과 각인 $\frac{7 π}{6}$ 은 양의 값으로 $2 π$ 보다 작으며 $2 π + \frac{π}{6} + π$ 과 양변을 공유하는 관계입니다.

$x = \frac{7 π}{6}$

단계 14

$\csc (x)$ 주기를 구합니다.

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단계 14.1

함수의 주기는 $\frac{2 π}{| b |}$ 를 이용하여 구할 수 있습니다.

$\frac{2 π}{| b |}$

단계 14.2

주기 공식에서 $b$ 에 $1$ 을 대입합니다.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

단계 14.3

절댓값은 숫자와 0 사이의 거리를 말합니다. $0$ 과 $1$ 사이의 거리는 $1$ 입니다.

$\frac{2 π}{1}$

단계 14.4

$2 π$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$2 π$

단계 15

모든 음의 각에 $2 π$ 를 더하여 양의 각을 얻습니다.

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단계 15.1

$- \frac{π}{6}$ 에 $2 π$ 를 더하여 양의 각도를 구합니다.

$- \frac{π}{6} + 2 π$

단계 15.2

공통 분모를 가지는 분수로 $2 π$ 을 표현하기 위해 $\frac{6}{6}$ 을 곱합니다.

$2 π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

단계 15.3

분수를 통분합니다.

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단계 15.3.1

$2 π$ 와 $\frac{6}{6}$ 을 묶습니다.

$\frac{2 π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

단계 15.3.2

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{2 π \cdot 6 - π}{6}$

단계 15.4

분자를 간단히 합니다.

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단계 15.4.1

$6$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{12 π - π}{6}$

단계 15.4.2

$12 π$ 에서 $π$ 을 뺍니다.

$\frac{11 π}{6}$

단계 15.5

새 각을 나열합니다.

$x = \frac{11 π}{6}$

단계 16

함수 $\csc (x)$ 의 주기는 $2 π$ 이므로 양 방향으로 $2 π$ 라디안마다 값이 반복됩니다.

임의의 정수 $n$ 에 대해 $x = \frac{7 π}{6} + 2 π n, \frac{11 π}{6} + 2 π n$