삼각법 예제

$\cot^{2} (x) = - \frac{5}{2} \cdot \csc (x) - 2$

단계 1

항등식 $\cot^{2} (x) + 1 = \csc^{2} (x)$ 를 사용하여 $\cot^{2} (x)$ 를 $\csc^{2} (x) - 1$ 로 바꿉니다.

$\csc^{2} (x) - 1 = - \frac{5}{2} \cdot \csc (x) - 2$

단계 2

$\csc (x)$ 에 $u$ 를 대입합니다.

${(u)}^{2} - 1 = - \frac{5}{2} u - 2$

단계 3

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

$u$ 와 $\frac{5}{2}$ 을 묶습니다.

$u^{2} - 1 = - \frac{u \cdot 5}{2} - 2$

단계 3.2

$u$ 의 왼쪽으로 $5$ 이동하기

$u^{2} - 1 = - \frac{5 u}{2} - 2$

단계 4

방정식의 양변에 $\frac{5 u}{2}$ 를 더합니다.

$u^{2} - 1 + \frac{5 u}{2} = - 2$

단계 5

모든 항을 방정식의 좌변으로 옮기고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

방정식의 양변에 $2$ 를 더합니다.

$u^{2} - 1 + \frac{5 u}{2} + 2 = 0$

단계 5.2

$- 1$ 를 $2$ 에 더합니다.

$u^{2} + \frac{5 u}{2} + 1 = 0$

단계 6

식 전체에 최소공분모 $2$ 을 곱한 다음 식을 간단히 합니다.

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단계 6.1

분배 법칙을 적용합니다.

$2 u^{2} + 2 \frac{5 u}{2} + 2 \cdot 1 = 0$

단계 6.2

간단히 합니다.

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단계 6.2.1

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$2 u^{2} + 2 \frac{5 u}{2} + 2 \cdot 1 = 0$

단계 6.2.1.2

수식을 다시 씁니다.

$2 u^{2} + 5 u + 2 \cdot 1 = 0$

단계 6.2.2

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$2 u^{2} + 5 u + 2 = 0$

단계 7

근의 공식을 이용해 방정식의 해를 구합니다.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

단계 8

이차함수의 근의 공식에 $a = 2$ , $b = 5$ , $c = 2$ 을 대입하여 $u$ 를 구합니다.

$\frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2} - 4 \cdot (2 \cdot 2)}}{2 \cdot 2}$

단계 9

간단히 합니다.

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단계 9.1

분자를 간단히 합니다.

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단계 9.1.1

$5$ 를 $2$ 승 합니다.

$u = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot 2 \cdot 2}}{2 \cdot 2}$

단계 9.1.2

$- 4 \cdot 2 \cdot 2$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.1.2.1

$- 4$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$u = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 8 \cdot 2}}{2 \cdot 2}$

단계 9.1.2.2

$- 8$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$u = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 16}}{2 \cdot 2}$

단계 9.1.3

$25$ 에서 $16$ 을 뺍니다.

$u = \frac{- 5 \pm \sqrt{9}}{2 \cdot 2}$

단계 9.1.4

$9$ 을 $3^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$u = \frac{- 5 \pm \sqrt{3^{2}}}{2 \cdot 2}$

단계 9.1.5

양의 실수로 가정하여 근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$u = \frac{- 5 \pm 3}{2 \cdot 2}$

단계 9.2

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$u = \frac{- 5 \pm 3}{4}$

단계 10

두 해를 모두 조합하면 최종 답이 됩니다.

$u = - \frac{1}{2}, - 2$

단계 11

$u$ 에 $\csc (x)$ 를 대입합니다.

$\csc (x) = - \frac{1}{2}, - 2$

단계 12

각 식에 대하여 $x$ 를 구합니다.

$\csc (x) = - \frac{1}{2}$

$\csc (x) = - 2$

단계 13

$\csc (x) = - \frac{1}{2}$ 의 $x$ 에 대해 풉니다.

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단계 13.1

코시컨트의 범위는 $y \leq - 1$ 과 $y \geq 1$ 입니다. $- \frac{1}{2}$ 은 이 구간에 속하지 않으므로 해가 존재하지 않습니다.

해 없음

단계 14

$\csc (x) = - 2$ 의 $x$ 에 대해 풉니다.

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단계 14.1

코시컨트 안의 $x$ 를 꺼내기 위해 방정식 양변에 코시컨트의 역을 취합니다.

$x = arccsc (- 2)$

단계 14.2

우변을 간단히 합니다.

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단계 14.2.1

$arccsc (- 2)$ 의 정확한 값은 $- \frac{π}{6}$ 입니다.

$x = - \frac{π}{6}$

단계 14.3

The cosecant function is negative in the third and fourth quadrants. To find the second solution, subtract the solution from $2 π$ , to find a reference angle. Next, add this reference angle to $π$ to find the solution in the third quadrant.

$x = 2 π + \frac{π}{6} + π$

단계 14.4

두 번째 해를 구하기 위하여 수식을 간단히 합니다.

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단계 14.4.1

$2 π + \frac{π}{6} + π$ 에서 $2 π$ 을 뺍니다.

$x = 2 π + \frac{π}{6} + π - 2 π$

단계 14.4.2

결과 각인 $\frac{7 π}{6}$ 은 양의 값으로 $2 π$ 보다 작으며 $2 π + \frac{π}{6} + π$ 과 양변을 공유하는 관계입니다.

$x = \frac{7 π}{6}$

단계 14.5

$\csc (x)$ 주기를 구합니다.

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단계 14.5.1

함수의 주기는 $\frac{2 π}{| b |}$ 를 이용하여 구할 수 있습니다.

$\frac{2 π}{| b |}$

단계 14.5.2

주기 공식에서 $b$ 에 $1$ 을 대입합니다.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

단계 14.5.3

절댓값은 숫자와 0 사이의 거리를 말합니다. $0$ 과 $1$ 사이의 거리는 $1$ 입니다.

$\frac{2 π}{1}$

단계 14.5.4

$2 π$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$2 π$

단계 14.6

모든 음의 각에 $2 π$ 를 더하여 양의 각을 얻습니다.

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단계 14.6.1

$- \frac{π}{6}$ 에 $2 π$ 를 더하여 양의 각도를 구합니다.

$- \frac{π}{6} + 2 π$

단계 14.6.2

공통 분모를 가지는 분수로 $2 π$ 을 표현하기 위해 $\frac{6}{6}$ 을 곱합니다.

$2 π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

단계 14.6.3

분수를 통분합니다.

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단계 14.6.3.1

$2 π$ 와 $\frac{6}{6}$ 을 묶습니다.

$\frac{2 π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

단계 14.6.3.2

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{2 π \cdot 6 - π}{6}$

단계 14.6.4

분자를 간단히 합니다.

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단계 14.6.4.1

$6$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{12 π - π}{6}$

단계 14.6.4.2

$12 π$ 에서 $π$ 을 뺍니다.

$\frac{11 π}{6}$

단계 14.6.5

새 각을 나열합니다.

$x = \frac{11 π}{6}$

단계 14.7

함수 $\csc (x)$ 의 주기는 $2 π$ 이므로 양 방향으로 $2 π$ 라디안마다 값이 반복됩니다.

임의의 정수 $n$ 에 대해 $x = \frac{7 π}{6} + 2 π n, \frac{11 π}{6} + 2 π n$

단계 15

모든 해를 나열합니다.

임의의 정수 $n$ 에 대해 $x = \frac{7 π}{6} + 2 π n, \frac{11 π}{6} + 2 π n$